कक्षा 6 गणित अध्याय 7 एनसीईआरटी समाधान – भिन्न

भिन्न: एक भिन्न का अर्थ है एक समूह का अथवा एक क्षेत्र का एक भाग। 5/12 एक भिन्न है। हम इसे ‘पाँच-बारहांश’ पढ़ते हैं।
भिन्न संबंधी मुख्य अवधारणाएँ और परिणाम:

1. एक भिन्न वह संख्या है जो एक संपूर्ण का भाग निरूपित करती है। यह संपूर्ण एक अकेली वस्तु या वस्तुओं का एक संग्रह हो सकता है।
2. वह भिन्न जिसका अंश उसके हर से छोटा होता है उचित भिन्न कहलाती है, अन्यथा वह एक विषम (या अनुचित) भिन्न कहलाती है।
3. 3(5/7), 8(4/9), 2(1/5), इत्यादि प्रकार की संख्याएँ मिश्रित भिन्न (या संख्याएँ) कहलाती हैं।
4. एक विषम भिन्न को एक मिश्रित भिन्न में तथा एक मिश्रित भिन्न को एक विषम भिन्न के रूप में परिवर्तित किया जा सकता है।
5. एक दी हुई भिन्न के तुल्य भिन्न उस भिन्न के अंश और हर को एक ही शून्येतर संख्या से गुणा करके या भाग देकर प्राप्त की जा सकती है।
6. वह भिन्न जिसके अंश और हर में 1 के अतिरिक्त कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखण्ड न हो अपने सरलतम या न्यूनतम रूप (या पदों) में व्यक्त भिन्न कही जाती है।
7. समान हर वाली भिन्न समान भिन्न कहलाती है तथा असमान हरों वाली भिन्न असमान भिन्न कहलाती है।
8. भिन्नों की तुलना उनको समान भिन्नों में परिवर्तित करके (या बदल कर) की जा सकती है और फिर उन्हें आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया जा सकता है।
9. समान भिन्नों के अंशों को जोड़कर (या घटाकर) उन्हें जोड़ा या घटाया जा सकता है।
10. असमान भिन्नों का जोड़ना (या घटाना) उन्हें समान भिन्नों में बदल कर किया जा सकता है।

• विषम भिन्न: जब किसी भिन्न का अंश उसके हर से बड़ा होता है तो वह भिन्न विषम भिन्न कहलाती है। विषम भिन्नों के अंश का परम मान उनके हर के परम मान से ज़्यादा होता है, इसे असमान भिन्न भी कहा जाता हैं। जैसे:
  5/4, 9/7 आदि।
• मिश्रित भिन्न: ऐसा भिन्न जिसमें साधारण संख्या और उचित भिन्न का मिश्रण हो उसे मिश्रित भिन्न कहा जायेगा। और अनुचित भिन्न को हल करने पर मिश्रित भिन्न प्राप्त होता हैं। जैसे: 1(1/4), 3(2/3), आदि तुल्य भिन्न हैं। किसी भिन्न के अंश और हर को समान संख्या से गुणा करके हम समतुल्य भिन्न प्राप्त कर सकते हैं। जैसे: 1/2, 2/4, 3/6
• भिन्नों का योग:
  1. अगर दी गयी भिन्नों के हर समान हैं तो हम समान हर रखकर दोनों अंशों को जोड़ देंगे एवं भिन्न को सरल कर लेंगे।
  2. लेकिन अगर दोनों भिन्नों के हर अलग अलग हैं तो भिन्नों का योग करने के लिए हमें सबसे पहले दोनों या तीनों भिन्नों के हर को समान करना पड़ेगा। उदाहरण: एक चाय की दुकान वाली अपनी दुकान पर सुबह 2(1/2) लीटर दूध और शाम को 1(1/2) लीटर दूध का प्रयोग चाय बनाने में करती है। अपनी दुकान पर वह एक दिन में कितना दूध प्रयोग करती है?
  उपरोक्त उदाहरण में एक दिन में प्रयुक्त होने वाले दूध की मात्रा
  = 2(1/2) + (1(1/2)
  = 5/2 + 3/2
  = 8/2
  = 4 लीटर
  अतः कह सकते हैं कि एक दिन में प्रयुक्त होने वाले दूध की मात्रा 4 लीटर है।

भिन्नों का व्यवकलन (घटाना)
1. अगर दी गयी भिन्नों के हर समान हैं तो हम समान हर रखकर दोनों अंशों को घटा देंगे एवं भिन्न को सरल कर लेंगे।
2. लेकिन अगर दोनों भिन्नों के हर अलग अलग हैं तो भिन्नों को घटाने के लिए हमें सबसे पहले दोनों या तीनों भिन्नों के हर (denominator) को समान करना पड़ेगा।
उदाहरण: 5/7 – 2/5 = (5/7) x (5/5) – (2/5) x (7/7)
= 25/35 – 14/35 = (25 – 14)/35 = 11/35

निम्नलिखित में क्या गलती है?
7/4 + 5/2 = (7 + 5)/(4 + 2) = 12/6
उत्तर:
(7 + 5)/(4 + 2) लिखना गलत है।
इसे नीचे दर्शाए अनुसार करना चाहिए:
7/4 + 10/4 (समान भिन्नों में बदलने पर)
= (7 + 10)/4 = 17/4 (केवल अंशों को ही जोड़ा जाता है)