कक्षा 10 गणित अध्याय 1 एनसीईआरटी समाधान – वास्तविक संख्याएँ

कक्षा 10 गणित पाठ 1 वास्तविक संख्याएँ एनसीईआरटी समाधान (नसरत सलूशन) सभी व्यायाम एक्सरसाइज प्रश्नवाली अभ्यास 1.1, 1.2, 1.3 और 1.4 के हल नीचे दी गई हैं। हिन्दी मीडियम विडियो तथा पीडीएफ़ समाधान दोनों ही दिए गए हैं। कक्षा 10 गणित के अध्याय 1 की प्रत्येक प्रश्नावली के सभी प्रश्न उत्तर हल सहित दिए गए हैं। अतिरिक्त प्रश्न भी अभ्यास के लिए दिए गए हैं।

कक्षा 10 गणित एनसीईआरटी समाधान पीडीएफ़ तथा ऑनलाइन

कक्षा 10 गणित अध्याय 1 वास्तविक संख्याएँ एनसीईआरटी समाधान ऑनलाइन तथा पीडीएफ़ फ़ाइल के प्रारूप में हिंदी और अंग्रेजी माध्यम में नए शैक्षणिक वर्ष 2021-2022 के लिए बनाए गए हैं। एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक समाधान एमपी बोर्ड, यूपी बोर्ड (हाई स्कूल) स्कूलों और सीबीएसई बोर्ड स्कूलों सभी के लिए उपयोगी हैं क्योंकि उत्तर प्रदेश बोर्ड में भी एनसीईआरटी की किताबों का ही अनुसरण हो रहा है। छात्र यहाँ से कक्षा 10 गणित अध्याय 1 के लिए यूपी बोर्ड और बिहार बोर्ड समाधान डाउनलोड कर सकते हैं। एनसीईआरटी बुक के सिलेबस पर आधारित यूपी बोर्ड या सीबीएसई या अन्य बोर्ड में ऑफ़लाइन उपयोग के लिए अन्य विषयों के लिए कक्षा 10 गणित ऑफलाइन ऐप डाउनलोड करें।

कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 1.1 और प्रश्नावली 1.2 समाधान विडियो

कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 1.1 समाधान
कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 1.2 समाधान

कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 1.3 और प्रश्नावली 1.4 समाधान विडियो

कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 1.3 समाधान
कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 1.4 समाधान

कक्षा 10 गणित अध्याय 1 वास्तविक संख्याएँ

10 वीं गणित के अध्याय 1 में, हम देखते हैं कि यूक्लिड के डिवीजन एल्गोरिदम को पूर्णांकों की विभाज्यता के साथ करना है। यूक्लिड के लेम्मा से प्राप्त परिणाम को समझने और समझने में काफी आसान है। कक्षा 10 के गणित में, पूर्णांकों की विभाज्यता गुणों से संबंधित कई अनुप्रयोग हैं। यहां, हम उनमें से कुछ को दो पूर्णांकों के HCF की गणना करने का प्रयास करेंगे।

यूक्लिड विभाजन एल्गॉरिथ्म की कार्यविधि

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से हम पूर्णांकों की विभाज्यता की जाँच करते हैं। इसके अनुसार, एक धनात्मक पूर्णांक a को किसी अन्य धनात्मक पूर्णांक b से इस प्रकार विभाजित किया जा सकता है कि शेषफल r प्राप्त हो, जो b से छोटा (कम) है। यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का यह परिणाम वैसे तो बहुत सरल है, परंतु पूर्णांकों की विभाज्यता के गुणों से संबंधित इसके कई महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं। इस अध्याय में हम मुख्यत: यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग दो धनात्मक पूर्णांकों का महत्तम समापवर्तक (HCF) परिकलित करने के लिए करेंगे।

अंकगणित की आधारभूत प्रमेय

अंकगणित की आधारभूत प्रमेय का संबंध धनात्मक पूर्णांकों के गुणन से है। हम जानते हैं कि प्रत्येक भाज्य संख्या को एक अद्वितीय रूप से अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इसी महत्वपूर्ण तथ्य को अंकगणित की आधारभूत प्रमेय कहते हैं। यूक्लिड विभाजन एल्गॉरिथ्म की तरह यह परिणाम भी कहने और समझने में बहुत सरल है, परंतु इसके गणित के क्षेत्र में बहुत व्यापक और सार्थक अनुप्रयोग हैं। यहाँ हम अंकगणित की आधारभूत प्रमेय का प्रयोग यह खोजने में करेंगे कि किसी परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार कब सांत होता है तथा कब असांत आवर्ती होता है और साथ ही साथ हम यह भी जाँच करेंगे की दी गई संख्या परिमेय है या नहीं।

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका

दो धनात्मक पूर्णांक a और b दिए रहने पर, ऐसी अद्वितीय पूर्ण संख्याएँ q और r विद्यमान हैं कि a = bq + r, 0 r < b है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से हम दो धनात्मक पूर्णांकों का HCF परिकलित कर सकते हैं। दो धनात्मक पूर्णांकों a और b का HCF वह सबसे बड़ा पूर्णांक है, जो a और b दोनों को (पूर्णतया) विभाजित करता है।

    • 1. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका और यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म परस्पर इतने अंतर्निहित हैं कि लोग प्राय: यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका को ही यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म कहते हैं।
    • 2. यद्यपि यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका/एल्गोरिथ्म को केवल धनात्मक पूर्णांकों के लिए ही लिखा गया है, परंतु इसे सभी पूर्णांकों (शून्य को छोड़कर) के लिए लागू किया जा सकता है। यद्यपि, हम यहाँ इस तथ्य पर विचार नहीं करेंगे।
कक्षा 10 गणित अध्याय 1 में कम समय में अच्छे अंक किस प्रकार प्राप्त किए जा सकते हैं?

10वीं कक्षा गणित एनसीईआरटी पाठ 1 में कुल 4 प्रश्नावली हैं। प्रश्नावली 1.1 को करने के लिए हमें केवल एक प्रश्न को अच्छी तरह से हल करते हुए यूक्लिड एल्गॉरिथ्म को समझना होता है। इस प्रकार शेष प्रश्न करने में हमें कोई कठिनाई नहीं होगी। प्रश्नावली 1.2 में हमें प्रत्येक संख्या को अद्वितीय प्रकार से गुणनखंडित करना होता है जो अपने आप में काफी आसान काम होता है। प्रश्नावली 1.3 में दी गई संख्याओं को अपरिमेय सिद्ध करना होता है। यदि हम एक प्रश्न को हल करने के चरण अच्छी तरह से करते हैं तो शेष प्रश्न भी उसी चरणबद्ध तरीके से होंगे केवल संखाएँ ही बदलती हैं। अंतिम प्रश्नावली 1.4 के प्रश्न आसान तथा वस्तुनिष्ठ प्रकार के हैं।

कक्षा 10 गणित अध्याय 1 वास्तविक संख्याएँ में कौन कौन से मुख्य विषय-बिन्दु हैं?

दसवीं कक्षा गणित के अध्याय 1 में मुख्य रूप से हमें यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका तथा अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के बारे में पढ़ना होता है। प्रश्नावली 1.1 यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका पर आधारित है जबकि प्रश्नावली 1.2 अंकगणित की आधारभूत प्रमेय पर।

10वीं कक्षा गणित के अध्याय 1 में कितनी प्रश्नावली हैं?

कक्षा 10 गणित अध्याय 1 में कुल चार प्रश्नावली हैं। पहली प्रश्नावली में यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से संबंधित प्रश्न हैं। प्रश्नावली 1.2 में प्रश्न अंकगणित की आधारभूत प्रमेय पर आधारित हैं। प्रश्नावली 1.3 में कुछ अपरिमेय संख्याएँ दी गई हैं और हमें वह सिद्ध करना हैं कि वह अपरिमेय क्यों हैं। चौथी और अंतिम प्रश्नावली 1.4, परिमेय संखाओं और उनके दशमलव प्रसार से संबंधित है।

सीबीएसई वार्षिक परीक्षा की दृष्टि में, कक्षा 10 गणित अध्याय 1 की कौन सी प्रश्नावली सर्वाधिक उपयोगी है?

सीबीएसई परीक्षा तथा स्कूल की परीक्षाओं में भी कक्षा 10 गणित अध्याय 1 की प्रश्नावली 1.1 और 1.3 के प्रश्न अक्सर पूंछे जाते हैं। प्रश्नावली 1.2 और 1.4 में से समान्यतः वस्तुनिष्ठ प्रश्न या लघुउत्तरीय प्रश्न ही आते हैं। इस प्रकार प्रत्येक प्रश्नावली महत्वपूर्ण हैं परंतु यदि समय कम हो और हमें एक या दो ही प्रश्नावली करनी हो तो प्रश्नावली 1.3 जरूर करें। लगभग सभी परीक्षाओं में इस अभ्यास से एक प्रश्न अवश्य आता है।

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