कक्षा 7 गणित अध्याय 1 एनसीईआरटी समाधान – पूर्णांक

बताइए कि निम्नलिखित कथन सही हैं अथवा गलत?

1. जब दो धनात्मक पूर्णांकों को जोड़ा जाता है, तो हमें एक धनात्मक पूर्णांक प्राप्त होता है।
2. जब दो ऋणात्मक पूर्णांकों को जोड़ा जाता है, तो हमें एक धनात्मक पूर्णांक प्राप्त होता है।
3. जब एक धनात्मक पूर्णांक और एक ऋणात्मक पूर्णांक को जोड़ा जाता है, तो हमें हमेशा एक ऋणात्मक पूर्णांक प्राप्त होता है।
4. पूर्णांक 8 का योज्य प्रतिलोम (- 8) है एवं पूर्णांक (- 8) का योज्य प्रतिलोम 8 है।
5. व्यवकलन के लिए, जिस पूर्णांक को घटाया जाना है उसके योज्य प्रतिलोम को दूसरे पूर्णांक में जोड़ देते हैं।

उपरोक्त सत्य असत्य प्रश्नों के उत्तर

1. सत्य
2. असत्य
3. असत्य
4. सत्य
5. सत्य

पूर्ण संख्या, धनात्मक प्राकृतिक संख्या, ऋणात्मक प्राकृतिक संख्या तथा शून्य के समूह को कहते हैं -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. सभी धनात्मक एवं ऋणात्मक संख्याओं को पूर्णांक संख्या कहते हैं। किसी संख्या रेखा पर पूर्णांकों का विश्लेषण:

• (i) एक धनात्मक पूर्णांक को जोड़ते हैं, तो दार्इं ओर चलते हैं ।
• (ii) एक ऋणात्मक पूर्णांक को जोड़ते हैं, तो बार्इं ओर चलते हैं ।
• (iii) एक धनात्मक पूर्णांक को घटाते हैं, तो बार्इं ओर चलते हैं ।
• (iv) एक ऋणात्मक पूर्णांक को घटाते हैं, तो दार्इं ओर चलते है ।

• योग के अंतर्गत संवृत
  दो पूर्ण संख्याओं का योग पुन: एक पूर्ण संख्या ही होती है ।
  उदाहरण: 17 + 24 = 41 है, जो कि पुन: एक पूर्ण संख्या है । यह गुण पूर्ण संख्याओं के योग का संवृत गुण कहलाता है ।
• व्यवकलन के अंतर्गत संवृत
  पूर्णांक व्यवकलन के अंतर्गत संवृत होते हैं। अत:, यदि a और b दो पूर्णांक हैं, तो a – b भी एक पूर्णांक होता है।
• क्रमविनिमेय गुण
  3 + 5 = 5 + 3 = 8 है, अर्थात्‌ दो पूर्ण संख्याओं को किसी भी क्रम में जोड़ा जा सकता है । दूसरे शब्दों में, पूर्ण संख्याओं के लिए योग क्रमविनिमेय होता है। इसी कथन को हम पूर्णांकों के लिए भी कह सकते हैं हम पाते हैं कि 5 + (- 6) = -1 और (- 6) + 5 = -1 है। इसलिए 5 + (- 6) = (- 6) + 5 है।
• साहचर्य गुण
  पूर्णांकों के लिए योग सहचारी (associative) होता है। व्यापक रूप में, पूर्णांकों a, b और c के लिए हम कह सकते हैं कि
  a + (b + c) = (a + b) + c

पूर्णाकों का गुणन

1. दो धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल भी एक धनात्मक पूर्णांक होता है।
   a x b = ab
2. एक धनात्मक पूर्णांक या एक ऋणात्मक पूर्णांक को शून्य से गुणा करने पर गुणनफल शून्य होता है।
   a x 0 = 0, -b x 0 = 0
3. एक धनात्मक पूर्णांक और एक ऋणात्मक पूर्णांक को गुणा करने पर गुणनफल ऋणात्मक होता है
   +a x – b = – ab
4. दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल हमेशा धनात्मक होता है।
   -a x –b = + ab

पूर्णांकों का विभाजन

1. पूर्ण संख्याओं के लिए भाग क्रम विनिमेय नहीं है।
   9 ÷ 3 ≠ 3 ÷ 9
2. पूर्ण संख्याओं की तरह, किसी भी पूर्णांक को शून्य से भाग करना अर्थहीन है और शून्येतर पूर्णांक से शून्य को भाग देने पर शून्य प्राप्त होता है, अर्थात्‌ किसी भी पूर्णांक a के लिए a ÷ 0 परिभाषित नहीं है । परंतु 0 ÷ a = 0, a ≠ 0 के लिए है।
3. जब हम किसी पूर्ण संख्या को 1 से भाग देते हैं, तो हमें वही पूर्ण संख्या प्राप्त होती है ।
   a ÷ 1 = a
   यह ऋणात्मक पूर्णांकों के लिए भी सत्य है।
   (– 8) ÷ 1 = (– 8)