एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 9.4

एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 9.4 अनुक्रम तथा श्रेणी के अभ्यास के प्रश्नों के उत्तर सीबीएसई और राजकीय बोर्ड सत्र 2022-2023 के लिए यहाँ से प्राप्त करें। कक्षा 11 गणित के विद्यार्थी यहाँ दिए गए विडियो समाधान से भी प्रश्नावली 9.4 के सभी प्रश्नों को आसानी से समझ सकते हैं।

एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 9.4

गुणोत्तर माध्य

दो धनात्मक संख्याओं a तथा b का गुणोत्तर माध्य संख्या √ab है। इसलिए 2 तथा 8 का गुणोत्तर माध्य 4 है। यदि दो धनात्मक संख्याएँ a तथा b दी गई हो तो उनके बीच इच्छित संख्याएँ रखी जा सकती हैं ताकि प्राप्त अनुक्रम एक गुणोत्तर श्रेणी बन जाए।
मान लीजिए a तथा b के बीच n संख्याएँ G₁, G₂, G₃ ,…,Gₙ इस प्रकार हैं कि a, G₁, G₂, G₃ ,…,Gₙ, b गुणोत्तर श्रेणी है। इस प्रकार b गुणोत्तर श्रेणी का (n + 2) वाँ पद है।
हम पाते हैंः
b = arⁿ⁺¹
r = 〖(b/a)〗^(1/(n+1))
G₁ = a〖(b/a)〗^(1/(n+1))
G₂ = ar² = a〖(b/a)〗^(2/(n+1))
Gₙ = arⁿ = a〖(b/a)〗^(n/(n+1))

समांतर माध्य तथा गुणोत्तर माध्य के बीच संबंध

माना कि A तथा G दी गई दो धनात्मक वास्तविक संख्याओं a तथा b के बीच क्रमशः समांतर माध्य तथा गुणोत्तर माध्य हैं। तो
A. M. = (a + b)/2
G. M. = √ab
इस प्रकार A – G = (a + b)/2 – √ab = {(a + b) – 2√ab}/2 = (√a – √b)²/2 ≥ 0
अतः A ≥ G

विशेष अनुक्रमों के n पदों का योगफल

अब हम कुछ विशेष अनुक्रमों के n पदों का योग ज्ञात करेंगे: वे निम्नलिखित हैं।
(i) 1 + 2 + 3 +… + n (प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग)
(ii) 1² + 2² + 3²+… + n² (प्रथम n प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग)
(iii) 1³ + 2³ + 3³+… + n³ (प्रथम n प्राकृत संख्याओं के घनों का योग)
इन अनुक्रमों का योगफल निम्न प्रकार से ज्ञात किया जा सकता है:
(i) Sₙ=1+ 2 + 3 + … + n, तो Sₙ= n (n + 1)/2
(ii) Sₙ= 1² + 2² + 3²+… + n² = n (n + 1) (2n + 1) /6
(iii) 1³ + 2³ + 3³+… + n³ = [n (n + 1)]²/4

महत्वपूर्ण प्रश्नों के हल

ऐसी 3 संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनको 1 तथा 256 के बीच रखने पर प्राप्त अनुक्रम एक गुणोत्तर श्रेणी बन जाए।
हल:
माना कि G₁, G₂, G₃ तीन गुणोत्तर माध्य 1 तथा 256 के बीच में है।
अतः 1, G₁, G₂, G₃, 256 गुणोतर श्रेणी में है
इसलिए 256 = r⁴ जिससे r = ± 4 (केवल वास्तविक मूल लेने पर), r = 4
इस प्रकार G₁ = ar = 1 × 4 = 4,
G₂ = ar² = 1 × 4² = 16,
G₃ = ar³ = 1 × 4³ = 64
अतः 1 तथा 256 के बीच तीन संख्याएँ 4, 16, 64 हैं।

अभ्यास के लिए प्रश्न

यदि दो धनात्मक संख्याओं a तथा b के बीच समांतर माध्य तथा गुणोत्तर माध्य क्रमशः 10 तथा 8 हैं, तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है A. M. = (a + b)/2 = 10
अर्थात a + b = 20 (1)
G. M. = √ab = 8
अर्थात् ab = 64 (2)
a और b का मान सर्वसमिका (a – b)² = (a + b)² – 4ab
(a – b)² = (20)² – 4(64) = 400 – 256 = 144

इसलिए, a – b = ± 12
इस प्रकार यदि a – b = 12 (3)
समीकरण 1और 3 को हल करने पर
a = 16 और b = 4
और यदि a – b = -12
तो a = 4 और b = 16
अतः संख्याएं a और b, 16, 4 या 4, 16 हैं।

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