कक्षा 8 गणित अध्याय 6 एनसीईआरटी समाधान – वर्ग और वर्गमूल

एनसीईआरटी समाधान कक्षा 8 गणित अध्याय 6 वर्ग और वर्गमूल की अभ्यास (एक्सरसाइज) प्रश्नावली 6.1, 6.2, 6.3 और प्रश्नावली 6.4 के सवाल जवाब प्रश्नों के हल विस्तार पूर्वक यहाँ दिए गए हैं। वर्ग 8 गणित के विद्यार्थी पाठ 6 की सभी प्रश्नावली को सीबीएसई सत्र 2022-2023 के लिए यहाँ से प्राप्त कर सकते हैं। 8वीं कक्षा गणित के सभी समाधान निशुल्क हैं तथा ऑफलाइन प्रयोग के लिए कक्षा 8 गणित ऐप पर भी उपलब्ध हैं। शिक्षा संबंधित किसी भी परेशानी के लिए आप हमें संपर्क कर सकते हैं।

कक्षा 8 गणित अध्याय 6 के लिए एनसीईआरटी समाधान

कक्षा 8 गणित अध्याय 6 पर बहुविकल्पीय (MCQ) प्रश्न उत्तर

Q1

निम्न में से कौन एक विषम संख्या का वर्ग है?

[A]. 256
[B]. 400
[C]. 361
[D]. 144
Q2

निम्न में से किस संख्या में इकाई के स्थान पर 1 होगा?

[A]. 16²
[B]. 17²
[C]. 18²
[D]. 19²
Q3

18² और 19² के बीच में कितनी प्राकृत संख्याएँ स्थित हैं?

[A]. 37
[B]. 36
[C]. 30
[D]. 35
Q4

एक पूर्ण वर्ग में इकाई के स्थान पर कभी भी निम्न अंक नहीं हो सकता।

[A]. 1
[B]. 3
[C]. 5
[D]. 6

संख्याओं के वर्गों के नियम क्या हैं?

संख्याओं के वर्गों के नियम:

    • एक प्राकृत संख्या एक पूर्ण वर्ग कहलाती है, यदि वह किसी प्राकृत संख्या का वर्ग है। अर्थात्‌ यदि m = n² हो, तो m एक पूर्ण वर्ग है, जहाँ m और n प्राकृत संख्याएँ हैं।
    • जब किसी संख्या को स्वयं उसी से गुणा किया जाए तो उससे प्राप्त संख्या उस संख्या का वर्ग कहलाती है।
    • सम संख्याओं के वर्ग सम संख्याएँ होती हैं।
    • विषम संख्याओं के वर्ग विषम संख्याएँ होती हैं।
    • एक पूर्ण वर्ग (1 के अतिरिक्त) को सदैव समान अभाज्य गुणनखंडों के युग्मों के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
    • एक पूर्ण वर्ग की इकाई का अंक केवल 0, 1, 4, 5, 6 या 9 हो सकता है।
संख्या के वर्ग की इकाई का अंक

उस संख्या का वर्ग जिसकी इकाई का अंक –

    • 1 या 9 है, 1 पर समाप्त होता है।
    • 2 या 8 है, 4 पर समाप्त होता है।
    • 3 या 7 है, 9 पर समाप्त होता है।
    • 4 या 6 है, 6 पर समाप्त होता है।
    • 5 है, 5 पर समाप्त होता है।
संख्याओं के वर्गों में संबंध

संख्याएँ तथा उनके वर्ग:

    1. संख्या n और n + 1 के वर्गों के बीच में 2n प्राकृत संख्याएँ हैं।
    2. वह संख्या जिसके अंत में शून्यों की संख्या विषम हो, एक पूर्ण वर्ग नहीं होती है।
    3. प्रथम n विषम प्राकृत संख्याओं का योग n² से प्राप्त होता है।
    4. तीन प्राकृत a, b और c संख्याओं में, यदि a² + b² = c² हो, तो कहा जाता है कि उनसे एक पाइथागोरियन त्रिक बनती है।

कक्षा 8 अध्याय 6 के कुछ महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर

निम्नलिखित संख्याओं के वर्गों के इकाई के अंक क्या होंगे? (i) 81 (ii) 272 (iii) 799 (iv) 3853 (v) 1234

(i) 81 में इकाई के स्थान पर 1 है और 1 का वर्ग = 1, अतः, 81 के वर्ग में इकाई का अंक 1 होगा।
(ii) 272 में इकाई के स्थान पर 2 है और 2 का वर्ग = 4, अतः, 272 के वर्ग में इकाई का अंक 4 होगा।
(iii) 799 में इकाई के स्थान पर 9 है और 9 का वर्ग = 81, अतः, 799 के वर्ग में इकाई का अंक 1 होगा।
(iv) 3853 में इकाई के स्थान पर 3 है और 3 का वर्ग = 9, अतः, 3853 के वर्ग में इकाई का अंक 9 होगा।
(v) 1234 में इकाई के स्थान पर 4 है और 4 का वर्ग = 16, अतः, 1234 के वर्ग में इकाई का अंक 6 होगा।

निम्नलिखित संख्याओं में से किस संख्या का वर्ग विषम होगा? (i) 431 (ii) 2826 (iii) 7779 (iv) 82004

(i) 431 में इकाई के स्थान पर 1 है और 1 का वर्ग = 1, अतः, 431 का वर्ग विषम होगा।
(ii) 2826 में इकाई के स्थान पर 6 है और 6 का वर्ग = 36, अतः, 2826 का वर्ग विषम नहीं होगा।
(iii) 7779 में इकाई के स्थान पर 9 है और 9 का वर्ग = 81, अतः, 7779 का वर्ग विषम होगा।
(iv) 82004 में इकाई के स्थान पर 1 है और 1 का वर्ग = 16, अतः, 82004 का वर्ग विषम नहीं होगा।

121 को 11 विषम संख्याओं के योग के रूप में लिखिए।

11 का वर्ग = 121, इसलिए 11 क्रमागत विषम संख्याओं योग 121 है।
121 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21

बिना गणना किए वह संख्या बताएँ जो वास्तव में पूर्ण वर्ग नहीं है। (i) 153 (ii) 257 (iii) 408 (iv) 441

हम जानते हैं कि संख्याओं के वर्गों में इकाई का अंक 0, 1, 4, 5, 6 और 9 होता है।
(i) 153 में इकाई का अंक 3 है अतः यह संख्या पूर्ण वर्ग नहीं है।
(ii) 257 में इकाई का अंक 7 है अतः यह संख्या पूर्ण वर्ग नहीं है।
(iii) 408 में इकाई का अंक 8 है अतः यह संख्या पूर्ण वर्ग नहीं है।
(iv) 441 में इकाई का अंक 1 है अतः यह संख्या पूर्ण वर्ग है।