एनसीईआरटी समाधान कक्षा 7 गणित प्रकाश अध्याय 2 अंकगणितीय व्यंजक

आप अपनी पसंदीदा संख्या चुनिए और उस मान के लिए आप जितने व्यंजक लिख सकते हैं, उतने लिखिए।
उत्तर:
आइए संख्या 20 चुनते हैं। यहाँ कुछ व्यंजक दिए गए हैं जिनका मान 20 है:
– 15 + 5
– 30 – 10
– 4 x 5
– 100 / 5
– 2 x (7 + 3)
– (6 x 5) – 10
– 18 + (10 / 5)

1. बराबर ‘=’ के चिह्न के दोनों ओर के व्यंजकों को समान बनाने के लिए रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए—
(a) 13 + 4 = __ + 6
उत्तर:
बायाँ पक्ष = 13 + 4 = 17.
दायाँ पक्ष = __ + 6.
हमें __ + 6 = 17 चाहिए।
रिक्त स्थान 17 – 6 = 11 है।

(b) 22 + __ = 6 x 5
उत्तर:
RHS = 6 x 5 = 30.
LHS = 22 + __.
हमें 22 + __ = 30 चाहिए।
रिक्त स्थान 30 – 22 = 8 है।

(c) 8 x __ = 64 / 2
उत्तर:
RHS = 64 / 2 = 32.
LHS = 8 x __.
हमें 8 x __ = 32 चाहिए।
रिक्त स्थान 32 / 8 = 4 है।

(d) 34 – __ = 25
उत्तर:
हमें 34 – __ = 25 चाहिए।
रिक्त स्थान 34 – 25 = 9 है।

2. निम्नलिखित व्यंजकों को उनके मानों के बढ़ते क्रम में व्यवस्थित कीजिए।
(a) 67 – 19
(b) 67 – 20
(c) 35 + 25
(d) 5 × 11
(e) 120 ÷ 3
उत्तर:
सबसे पहले, प्रत्येक व्यंजक का मान ज्ञात करें:
(a) 67 – 19 = 48
(b) 67 – 20 = 47
(c) 35 + 25 = 60
(d) 5 x 11 = 55
(e) 120 / 3 = 40
अब इन मानों (48, 47, 60, 55, 40) को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: 40, 47, 48, 55, 60.
आरोही क्रम में संबंधित व्यंजक हैं:
120 / 3, 67 – 20, 67 – 19, 5 x 11, 35 + 25.

दिए गए व्यंजकों में से प्रत्येक व्यंजक की तुलना करने के लिए ‘>’ या ‘<‘ अथवा ‘=’ का उपयोग कीजिए। क्या आप इसे जटिल गणनाओं के बिना कर सकते हैं? प्रत्येक स्थिति के लिए अपना अनुमान व्यक्त कीजिए।
(a) 245 + 289 ___ 246 + 285
उत्तर:
>
तर्क: LHS (बाएं पक्ष) की RHS (दाएं पक्ष) से तुलना करें। 245, 246 से 1 कम है। 289, 285 से 4 अधिक है। इसलिए, LHS 1 कम से शुरू होता है लेकिन RHS की तुलना में 4 अधिक जोड़ता है। कुल अंतर LHS के लिए +3 है। इसलिए, LHS > RHS।

(b) 273 – 145 ___ 272 – 144
उत्तर:
=
तर्क: 273, 272 से 1 अधिक है। 145, 144 से 1 अधिक है (इसलिए -145 का अर्थ है -144 की तुलना में 1 अधिक घटाना)। LHS 1 अधिक से शुरू होता है लेकिन RHS की तुलना में 1 अधिक घटाता भी है। कुल अंतर 0 है। इसलिए, LHS = RHS।

(c) 364 + 587 ___ 363 + 589
उत्तर:
<
तर्क: 364, 363 से 1 अधिक है। 587, 589 से 2 कम है। LHS 1 अधिक से शुरू होता है लेकिन RHS की तुलना में 2 कम जोड़ता है। कुल अंतर LHS के लिए -1 है। इसलिए, LHS < RHS।

(d) 124 + 245 ___ 129 + 245
उत्तर:
<
तर्क: दूसरी संख्या (+245) दोनों तरफ समान है। पहली संख्याओं की तुलना करने पर, 124, 129 से कम है। इसलिए, LHS < RHS।

(e) 213 – 77 ___ 214 – 76
उत्तर:
<
तर्क: 213, 214 से 1 कम है। 77, 76 से 1 अधिक है (इसलिए -77 का अर्थ है -76 की तुलना में 1 अधिक घटाना)। LHS 1 कम से शुरू होता है और RHS की तुलना में 1 अधिक घटाता भी है। कुल अंतर LHS के लिए -2 है। इसलिए, LHS < RHS

मान लीजिए हमारे पास बिना किसी कोष्ठक का व्यंजक 30 + 5 × 4 है। क्या इसका कोई अर्थ नहीं है?
उत्तर:
तरीका 1 (जोड़ पहले): यदि आप पहले 30 और 5 को जोड़ते हैं, तो यह (30 + 5) × 4 = 35 × 4 = 140 हो जाता है।
2. तरीका 2 (गुणा पहले): यदि आप पहले 5 और 4 का गुणा करते हैं, तो यह 30 + (5 × 4) = 30 + 20 = 50 हो जाता है।
गणितीय नियम (जैसे BODMAS) के अनुसार, गुणा और भाग को हमेशा जोड़ और घटाव से पहले किया जाना चाहिए। इस नियम के आधार पर, 30 + 5 × 4 का सही और मानक अर्थ 50 ही होगा।
कोष्ठक का उपयोग तब किया जाता है जब हम इन मानक नियमों को बदलना चाहते हैं। यदि हम चाहते हैं कि जोड़ की प्रक्रिया पहले हो, तो हमें अनिवार्य रूप से (30 + 5) × 4 लिखना होगा।
बिना कोष्ठक के इस व्यंजक का अर्थ “अस्पष्ट” है। एक स्पष्ट और सटीक उत्तर तक पहुँचने के लिए हमें या तो कोष्ठक का उपयोग करना चाहिए या गणितीय संक्रियाओं के क्रम के नियमों का पालन करना चाहिए।

अन्य उदाहरण लेकर जाँचिए कि घटाने को इस प्रकार जोड़ने से बदलने पर व्यंजक का मान नहीं बदलता है।
उत्तर:
घटाने की प्रक्रिया को उसके प्रतिलोम के जोड़ में बदलने पर व्यंजक का मान नहीं बदलता है। इसे a – b = a + (-b) के रूप में समझा जा सकता है।
यहाँ कुछ संक्षिप्त उदाहरण दिए गए हैं:
स्थिति 1: 15 – 7 = 8 और 15 + (-7) = 8
स्थिति 2: 10 – 25 = -15 और 10 + (-25) = -15
स्थिति 3: -12 – 5 = -17 और (-12) + (-5) = -17
स्थिति 4: 20 – (-8) = 28 और 20 + (8) = 28
निष्कर्ष: इन सभी उदाहरणों से स्पष्ट है कि संख्या घटाना और उसके प्रतिलोम को जोड़ना एक ही परिणाम देते हैं। यह नियम गणनाओं को व्यवस्थित करने में मदद करता है।

क्या आप कक्षा 6 की गणित की पाठ्यपुस्तक में पढ़े गए पूर्णांकों के टोकन मॉडल का उपयोग करके व्याख्या कर सकते हैं कि क्यों किसी संख्या को घटाना उसके प्रतिलोम को जोड़ने के समान है?
उत्तर:
व्याख्या: घटाना बनाम प्रतिलोम जोड़ना
संख्या को घटाने का अर्थ:
गणित में घटाने का अर्थ है ‘निकाल देना’। उदाहरण के लिए, यदि हम 5 में से 3 घटाते हैं (5 – 3), तो इसका मतलब है कि हमारे पास 5 धनात्मक टोकन हैं और हम उनमें से 3 धनात्मक टोकन निकाल देते हैं। हमारे पास 2 धनात्मक टोकन बचते हैं।
प्रतिलोम को जोड़ने का अर्थ:
3 का प्रतिलोम -3 है। यदि हम 5 में -3 जोड़ते हैं (5 + (-3)), तो इसका मतलब है कि हम 5 धनात्मक टोकन में 3 ऋणात्मक टोकन डाल रहे हैं। ये 3 ऋणात्मक टोकन, 3 धनात्मक टोकन के साथ मिलकर 3 ‘शून्य जोड़े’ बना लेंगे। अंत में हमारे पास फिर से 2 धनात्मक टोकन ही बचेंगे।
निष्कर्ष:
चूंकि ‘3 धनात्मक टोकन निकाल देना’ और ‘3 ऋणात्मक टोकन डालकर शून्य जोड़े बनाना’ दोनों ही स्थितियों में हमारे पास अंत में 2 धनात्मक टोकन ही बचते हैं, इसलिए किसी संख्या को घटाना उसके प्रतिलोम को जोड़ने के समान है।

नीचे दी गई सारणी में कुछ व्यंजक दिए गए हैं। सारणी को पूरा कीजिए।

उत्तर:
– व्यंजक: 5 + 6 x 3
पदों के योग के रूप में व्यंजक: (5) + (6 x 3)
पद: 5, (6×3)
– व्यंजक: 4 + 15 – 9
पदों के योग के रूप में व्यंजक: (4) + (15) + (-9)
पद: 4, 15, -9
– व्यंजक: 23 – 2 x 4 + 16
पदों के योग के रूप में व्यंजक: (23) + (-2 x 4) + (16)
पद: 23, (-2×4), 16
– व्यंजक: 28 + 19 – 8
पदों के योग के रूप में व्यंजक: (28) + (19) + (-8)
पद: 28, 19, -8

क्या पदों के योग के क्रम को परिवर्तित करने से अलग मान प्राप्त होता है?
उत्तर:
नहीं, जिस क्रम में पदों को जोड़ा जाता है उसे बदलने से अंतिम मान नहीं बदलता है। यह जोड़ के क्रमविनिमेय और साहचर्य गुणों के कारण है जो पूर्णांकों (धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं) पर लागू होते हैं।

क्या तब भी ऐसा ही होगा जब पदों में ऋणात्मक संख्याएँ भी हों? कुछ अन्य व्यंजक लीजिए और जाँच कीजिए।
उत्तर:
हाँ, पदों की अदला-बदली ऋणात्मक संख्याओं के साथ भी काम करती है क्योंकि पूर्णांकों का जोड़ क्रमविनिमेय (commutative) होता है।
उदाहरण 1: (-5) + 8 = 3। अदला-बदली: 8 + (-5) = 3। समान मान।
उदाहरण 2: (-2) + (-7) = -9। अदला-बदली: (-7) + (-2) = -9। समान मान।

क्या आप कक्षा 6 की गणित की पाठ्यपुस्तक में हमने जो पूर्णांकों का टोकन मॉडल देखा था, उसका उपयोग करके व्याख्या कर सकते हैं कि ऐसा क्यों हो रहा है?
उत्तर:
टोकन मॉडल का उपयोग करते हुए, जोड़ धनात्मक और ऋणात्मक टोकन के संग्रह को एक साथ मिलाने का प्रतिनिधित्व करता है। चाहे आप संग्रह A को संग्रह B के साथ मिलाएँ, या संग्रह B को संग्रह A के साथ, टोकन का अंतिम संयुक्त संग्रह बिल्कुल समान रहता है। यह दर्शाता है कि पूर्णांकों के लिए क्रमविनिमेय गुण (क्रम बदलना) लागू होता है।

आइए, व्यंजक (- 7) + 10 + (- 11) पर पुनः विचार करें। क्या होगा जब हम क्रम को बदल देते हैं और पहले – 7 और – 11 को जोड़ते हैं और फिर इस योगफल को 10 में जोड़ते हैं? क्या हमें पहले के समान ही योगफल प्राप्त होगा?

क्या किसी व्यंजक के पदों को किसी भी क्रम में जोड़ने पर समान मान प्राप्त होता है? कुछ और व्यंजक लीजिए और जाँचिए। 3 पदों से अधिक पदों वाले व्यंजकों पर भी विचार कीजिए।
उत्तर:
हाँ, किसी भी व्यंजक के पदों को किसी भी क्रम में जोड़ने पर हमेशा समान मान प्राप्त होता है। यह जोड़ के क्रमविनिमेय और साहचर्य गुणों के कारण संभव है।
उदाहरण 1 (3 पद):
व्यंजक: (-15) + 20 + (-5)
तरीका 1: (-15 + 20) + (-5) = 5 + (-5) = 0
तरीका 2: (-15 + -5) + 20 = -20 + 20 = 0
उदाहरण 2 (4 पद):
व्यंजक: 12 + (-8) + (-10) + 6
तरीका 1: (12 + 6) + (-8 + -10) = 18 + (-18) = 0
तरीका 2: (12 – 8) + (-10 + 6) = 4 + (-4) = 0
निष्कर्ष: पदों की संख्या 3 हो या उससे अधिक, यदि हम उन्हें ‘पदों के योग’ के रूप में देखते हैं, तो उनका क्रम बदलने से परिणाम नहीं बदलता। गणना को आसान बनाने के लिए अक्सर धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को अलग-अलग समूहों में जोड़ना बेहतर होता है।

यदि दोसों की कुल संख्या 7 तक पहुँच जाती है और धन्यवाद राशि वही रहती है तो उन्हें कितने रुपये देने होंगे? इस स्थिति के लिए एक व्यंजक लिखिए और इसके पदों की पहचान कीजिए।
उत्तर:
7 डोसा की लागत = 7 x 23
टिप सहित कुल लागत = 7 डोसा की लागत + टिप
व्यंजक: (7 x 23) + 5
पद: (7 x 23) और 5
मान: 7 x 23 = 161। इसलिए, 161 + 5 = 166। उन्हें ₹166 का भुगतान करना होगा।

सोचिए और चर्चा कीजिए कि उसने यह क्यों लिखा? पदों के योग के रूप में लिखा गया व्यंजक है—
(6 × 5) + (3)
उत्तर:
पदों को ‘+’ द्वारा अलग किया जाता है। पद के भीतर गुणा पहले हल किया जाता है।
पदों के योग के रूप में व्यंजक: (6 x 5) + (3)

नीचे दी गई प्रत्येक स्थिति के लिए व्यंजक लिखिए और उसके पदों को पहचानिए—
यदि शिक्षक ने ‘4’ बोला होता तो रुबी लिखती _____________
यदि शिक्षक ने ‘7’ बोला होता तो रुबी लिखती _____________
उपरोक्त विधि के समान अपनी कक्षा के विद्यार्थियों की संख्या के लिए व्यंजक लिखिए।
उत्तर:
यदि शिक्षक ने ‘4’ पुकारा होता:
4-4 के समूह बनाने वाले 33 छात्र: 33/4 = 8 और शेषफल 1
व्यंजक: 8 x 4 + 1
पद: (8 x 4) और 1
मान = 32 + 1 = 33
यदि शिक्षक ने ‘7’ पुकारा होता:
7-7 के समूह बनाने वाले 33 छात्र: 33/7 = 4 और शेषफल 5
व्यंजक: 4 x 7 + 5
पद: (4 x 7) और 5
मान = 28 + 5 = 33

क्या आप किसी को ₹432 देने के कुछ अन्य तरीके सोच सकते हैं?
उत्तर:
हाँ, कई अन्य तरीके हैं। यहाँ कुछ उदाहरण हैं:
उदाहरण तरीका 3: ₹100 के 3 नोट, ₹20 के 6 नोट, ₹10 का 1 नोट, ₹1 के 2 सिक्के।
(व्यंजक: 3×100 + 6×20 + 1×10 + 2×1 = 300 + 120 + 10 + 2 = 432)
उदाहरण तरीका 4: ₹20 के 20 नोट, ₹20 का 1 नोट, ₹10 का 1 नोट, ₹1 के 2 सिक्के।
(व्यंजक: 20×20 + 1×20 + 1×10 + 2×1 = 400 + 20 + 10 + 2 = 432)

1. प्रत्येक स्थिति में पदों को लिखते हुए नीचे दिए गए व्यंजकों के मान ज्ञात कीजिए—
(a) 28 – 7 + 8
उत्तर:
पदों का योग: (28) + (-7) + (8)। पद: 28, -7, 8

(b) 5 x 12 – 6
उत्तर:
पदों का योग: (5 x 12) + (-6)। पद: (5 x 12), -6

(c) 40 – 10 + 10 + 10
उत्तर:
पदों का योग: (40) + (-10) + (10) + (10)। पद: 40, -10, 10, 10

(d) 39 – 2 x 6 + 11
उत्तर:
पदों का योग: (39) + (-2 x 6) + (11)। पद: 39, (-2×6), 11

(e) 6 x 3 – 4 x 8 x 5
उत्तर:
पदों का योग: (6 x 3) + (-4 x 8 x 5)। पद: (6×3), (-4x8x5)

(f) 48 – 10 x 2 + 16 / 2
उत्तर:
पदों का योग: (48) + (-10 x 2) + (16 / 2)। पद: 48, (-10×2), (16/2)

2. नीचे दिए गए व्यंजकों में से प्रत्येक के लिए एक कहानी या स्थिति लिखिए और व्यंजकों के मान ज्ञात कीजिए—
(a) 89 + 21 – 10
(b) 5 × 12 – 6
(c) 4 × 9 + 2 × 6
उत्तर:
(a) 89 + 21 – 10
स्थिति:
योगेश के पास ₹89 थे। उसके पिताजी ने उसे ₹21 और दे दिए। शाम को योगेश ने ₹10 का एक पेन खरीदा। अब उसके पास कितने रुपये बचे हैं?
व्यंजक का मान:
नियम के अनुसार पहले जोड़ेंगे, फिर घटाएंगे।
1. जोड़ें: 89 + 21 = 110
2. घटाएं: 110 – 10 = 100

(b) 5 × 12 – 6
उत्तर:
स्थिति:
एक पैकेट में 12 मोमबत्तियाँ आती हैं। रश्मि ने ऐसे 5 पैकेट खरीदे। घर आकर उसने देखा कि 6 मोमबत्तियाँ टूटी हुई थीं। बताइए अब उसके पास कितनी साबुत मोमबत्तियाँ बची हैं?
व्यंजक का मान:
BODMAS के अनुसार पहले गुणा करेंगे, फिर घटाएंगे।
1. गुणा करें: 5 × 12 = 60
2. घटाएं: 60 – 6 = 54

(c) 4 × 9 + 2 × 6
उत्तर:
स्थिति (Story):
एक स्कूल की लाइब्रेरी के लिए किताबें खरीदी जा रही हैं। ₹9 वाली 4 छोटी कहानियों की किताबें ली गईं और ₹6 वाली 2 सामान्य ज्ञान की किताबें ली गईं। किताबों का कुल मूल्य कितना होगा?
व्यंजक का मान:
यहाँ पहले दोनों तरफ के गुणा हल करेंगे, फिर उन्हें जोड़ेंगे।
1. पहला गुणा: 4 × 9 = 36
2. दूसरा गुणा: 2 × 6 = 12
3. जोड़ें: 36 + 12 = 48

3. नीचे दी गई स्थितियों में से प्रत्येक के लिए स्थिति का वर्णन करने वाला व्यंजक लिखिए, इसके पदों की पहचान कीजिए और व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।
(a) रानी आलिया ने पिछले वर्ष राजकुमारी एल्सा और राजकुमारी एना को 100 सोने के सिक्के दिए। राजकुमारी एल्सा ने सिक्कों का उपयोग एक व्यवसाय शुरू करने में किया और अपने सिक्कों को दुगना कर लिया। राजकुमारी एना ने आभूषण खरीदे और अब उसके पास केवल आधे सिक्के बचे हैं। राजकुमारी एल्सा और राजकुमारी एना दोनों के पास कितने सोने के सिक्के हैं, यह वर्णन करने के लिए एक व्यंजक लिखिए।
उत्तर:
व्यंजक: (2 x 100) + (100 / 2)
पद: (2 x 100), (100 / 2)
मान: 200 + 50 = 250 सिक्के

(b) दो स्टेशनों के बीच मेट्रो ट्रेन का टिकट वयस्क के लिए ₹40 का और बच्चे के लिए ₹20 का है। टिकटों की कुल लागत कितनी है—
(i) चार वयस्क और तीन बच्चों के लिए?
(ii) दो समूहों के लिए जिसमें से प्रत्येक में तीन वयस्क हों?
उत्तर:
(i) चार वयस्क और तीन बच्चों के लिए?
व्यंजक: (4 x 40) + (3 x 20)
पद: (4 x 40), (3 x 20)
मान: 160 + 60 = ₹220

(ii) दो समूहों के लिए जिनमें प्रत्येक में तीन वयस्क हों?
उत्तर:
व्यंजक: 2 x (3 x 40)
पद: 2 x (3 x 40)
मान: 2 x 120 = ₹240

(c) चित्र में दर्शाए गए मापों के बीच संबंधों का वर्णन करते हुए एक व्यंजक लिखकर खिड़की की कुल ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर:
हिस्से: ऊपरी बॉर्डर (3 सेमी), ग्रिल (12 सेमी), गैप (5 सेमी), ग्रिल (12 सेमी), गैप (5 सेमी), ग्रिल (12 सेमी), निचला बॉर्डर (3 सेमी)।
व्यंजक: (2 x 3) + (3 x 12) + (2 x 5)
पद: (2 x 3), (3 x 12), (2 x 5)
मान गणना: 6 + 36 + 10 = 52 सेमी
खिड़की की कुल ऊँचाई: 52 सेमी

यदि हम एक व्यंजक के किसी एक पद का मान बढ़ाते या घटाते हैं तो व्यंजक के मान पर क्या प्रभाव पड़ता है?
उत्तर:
व्यंजक के किसी एक पद का मान बदलने पर प्रभाव:
जोड़ने वाला पद (+): पद का मान बढ़ाने पर व्यंजक का मान बढ़ता है, और घटाने पर घटता है।
घटाने वाला पद (-): पद का मान बढ़ाने पर व्यंजक का मान घटता है, और घटाने पर बढ़ता है।
गुणा वाला पद (x): पद का मान बढ़ाने पर व्यंजक का मान बढ़ता है।
भाग वाला पद (/): भाजक (जिससे भाग दे रहे हैं) का मान बढ़ाने पर व्यंजक का मान घटता है।
सीधे शब्दों में, व्यंजक का मान उस पद के साथ लगे गणितीय चिह्न (+, -, x, /) के अनुसार बदलता है।

नीचे तीन स्तंभों में कुछ व्यंजक दिए गए हैं। प्रत्येक स्तंभ में पहले व्यंजक के एक या दो पदों को बदला गया है। पहले स्तंभ में उदाहरण को देखिए और जितनी संभव हो उतनी कम गणना करके रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए।

उत्तर:
कॉलम 1:
– दिया है: 53 + (-16) = 37
– गणना: 54 + (-16) = ?
उत्तर:
38 (चूंकि 54, 53 से 1 अधिक है, इसलिए योग 37 से 1 अधिक होगा)।

– गणना: 52 + (-16) = ?
उत्तर:
36 (चूंकि 52, 53 से 1 कम है, इसलिए योग 37 से 1 कम होगा)।
कॉलम 2:
– दिया है: 53 + (-16) = 37

– गणना: 53 + (-15) = ?
उत्तर:
38 (चूंकि -15, -16 से 1 अधिक है, इसलिए योग 37 से 1 अधिक होगा)।

– गणना: 53 + (-17) = ?
उत्तर:
36 (चूंकि -17, -16 से 1 कम है, इसलिए योग 37 से 1 कम होगा)।
कॉलम 3:
– दिया है: -87 – 16 = -87 + (-16) = -103

– गणना: -88 + (-15) = ?
उत्तर:
-103 (-87 + (-16) से तुलना करें। -88, 1 कम है। -15, 1 अधिक है।
कुल बदलाव = -1 + 1 = 0। मान समान रहेगा)।

– गणना: -86 + (-18) = ?
उत्तर:
-104 (-87 + (-16) से तुलना करें। -86, 1 अधिक है। -18, 2 कम है। कुल बदलाव = +1 – 2 = -1। मान -103 से 1 कम होगा)।

1. रिक्त स्थानों को संख्याओं से और रिक्त बक्सों को संक्रियाओं तथा चिह्नों से इस प्रकार भरिए कि बराबर चिह्न के दोनों ओर समान व्यंजक हों।
(a) 24 + (6 – 4) = 24 + 6 ___ 4
उत्तर:
– (‘+’ के बाद कोष्ठक हटाने पर आंतरिक चिह्न नहीं बदलते हैं: 24 + 6 – 4)

(b) 38 + ( ___ ) = 38 + 9 – 4
उत्तर:
19 (RHS = 38+9-4 = 47-4 = 43. हमें चाहिए 38 + ___ = 43. रिक्त स्थान = 43 – 38 = 5)

(c) 24 – (6 + 4) = 24 ___ 6 – 4
उत्तर:
-, – (‘-‘ के बाद कोष्ठक हटाने पर अंदर के पदों के चिह्न बदल जाते हैं: 24 – 6 – 4)

(d) 24 – 6 – 4 = 24 – 6 (__) ______
उत्तर:
-, + (LHS = 24-10 = 14. हमें RHS = 14 चाहिए। जांच करें 24 – (6+4) = 24-10 = 14. इसलिए, 24 – (6 + 4))

(e) 27 – (8 + 3) = 27 ___ 8 ___ 3
उत्तर:
-, – (‘-‘ के बाद कोष्ठक हटाने पर चिह्न बदल जाते हैं: 27 – 8 – 3)

(f) 27 – ( ___ ) = 27 – 8 + 3
उत्तर:
8 – 3 (या 5) (RHS = 27-8+3 = 19+3 = 22. हमें चाहिए 27 – ___ = 22. रिक्त स्थान = 5. इसे 8-3 लिखा जा सकता है)

2. कोष्ठक को हटाइए और समान मान वाला व्यंजक लिखिए।
(a) 14 + (12 + 10)
(b) 14 – (12 + 10)
(c) 14 + (12 – 10)
(d) 14 – (12 – 10)
(e) -14 + (12 – 10)
(f) 14 – (-12 – 10)
उत्तर:
(a) 14 + (12 + 10)
= 14 + 12 + 10

(b) 14 – (12 + 10)
= 14 – 12 – 10

(c) 14 + (12 – 10)
= 14 + 12 – 10

(d) 14 – (12 – 10)
= 14 – 12 + 10

(e) -14 + (12 – 10)
= -14 + 12 – 10

(f) 14 – (-12 – 10)
= 14 + 12 + 10

3. नीचे दिए गए व्यंजकों के मान ज्ञात कीजिए। प्रत्येक युग्म के लिए, पहले यह अनुमान लगाने का प्रयत्न कीजिए कि क्या उनके मान समान हैं। दोनों व्यंजक कब समान हैं?
(a) (6 + 10) – 2 और 6 + (10 – 2)
(b) 16 – (8 – 3) और (16 – 8) – 3
(c) 27 – (18 + 4) और 27 + (-18 – 4)
उत्तर:
(a) (6 + 10) – 2 और 6 + (10 – 2)
उत्तर:
मान: (6+10)-2 = 16-2 = 14. 6+(10-2) = 6+8 = 14.
अनुमान: बराबर। वे बराबर हैं। यह दिखाता है कि इस तरह से संरचित होने पर साहचर्य (associativity) लागू होती है।

(b) 16 – (8 – 3) और (16 – 8) – 3
उत्तर:
मान: 16-(8-3) = 16-5 = 11. (16-8)-3 = 8-3 = 5.
अनुमान: बराबर नहीं। वे बराबर नहीं हैं। यह दिखाता है कि घटाव (subtraction) साहचर्य नहीं है।

(c) 27 – (18 + 4) और 27 + (-18 – 4)
उत्तर:
मान: 27-(18+4) = 27-22 = 5. 27+(-18-4) = 27+(-22) = 5.
अनुमान: बराबर। वे बराबर हैं। यह दिखाता है कि एक योग को घटाना, ऋणात्मक पदों के योग को जोड़ने के समान है।

4. दिए गए व्यंजकों के प्रत्येक समूह में उन समूहों को पहचानिए जिनके मान समान हैं। आपको इनके मान ज्ञात नहीं करने हैं, किंतु इसके स्थान पर अपने पदों की समझ का उपयोग कीजिए।
(a) 319 + 537, 319 – 537, – 537 + 319, 537 – 319
(b) 87 + 46 – 109, 87 + 46 – 109, 87 + 46 – 109, 87 – 46 + 109, 87 – (46 + 109), (87 – 46) + 109
उत्तर:
(a) 319 + 537, 319 – 537, 537 + 319, -537 + 319, 537 – 319
समूह 1 (बराबर): 319 + 537, 537 + 319 (क्रमविनिमेय नियम)
समूह 2 (बराबर): 319 – 537, -537 + 319 (ऋणात्मक पद के साथ क्रमविनिमेय नियम)
समूह 3 (अद्वितीय): 537 – 319

(b) 87 + 46 – 109, -(46 + 109), 87 – (46 – 109), (87 – 46) + 109, 87 + (-46 – 109)
व्यंजक 1: 87 + 46 – 109
व्यंजक 2: -(46 + 109) = -46 – 109
व्यंजक 3: 87 – (46 – 109) = 87 – 46 + 109
व्यंजक 4: (87 – 46) + 109 = 87 – 46 + 109
व्यंजक 5: 87 + (-46 – 109) = 87 – 46 – 109
समान मान वाले समूह:
समूह 1: { 87 – (46 – 109), (87 – 46) + 109 }
अन्य व्यंजक इस सेट में अद्वितीय हैं।

5. व्यंजकों में उचित स्थानों पर कोष्ठकों का उपयोग कीजिए जिससे दर्शाए गए मान प्राप्त हों।
(a) 34 – 9 + 12 = 13
(b) 56 – 14 – 8 = 34
(c) -22 – 12 + 10 + 22 = – 22
उत्तर:
(a) 34 – 9 + 12 = 13
34 – (9 + 12) = 34 – 21 = 13.
कोष्ठक के साथ व्यंजक: 34 – (9 + 12)

(b) 56 – 14 – 8 = 34
गणना डिफ़ॉल्ट रूप से बाएं-से-दाएं चलती है: (56 – 14) – 8 = 42 – 8 = 34.
कोष्ठक के साथ व्यंजक: (56 – 14) – 8 (या किसी कोष्ठक की आवश्यकता नहीं है क्योंकि बाएं-से-दाएं काम करता है)।

(c) -22 – 12 + 10 + 22 = -22
अंतिम तीन पदों का योग शून्य होना चाहिए जब उन्हें घटाया जाए। 12 + 10 – 22 = 22 – 22 = 0.
कोष्ठक के साथ व्यंजक: -22 – (12 + 10 – 22)

6. पद के मान बदलने के तर्कों का उपयोग करते हुए रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए जिससे बराबर (=) चिह्न के दोनों ओर के व्यंजक समान हों।
(a) 423 + ___ = 419 + ___
उत्तर:
419, 423 से 4 कम है। योग को बराबर रखने के लिए, 419 में जोड़ी गई संख्या 423 में जोड़ी गई संख्या से 4 अधिक होनी चाहिए।
उदाहरण: 423 + 5 = 419 + 9 (जहाँ 9, 5 से 4 अधिक है)।

(b) 207 – 68 = 210 – ___
उत्तर:
71 (RHS पर पहली संख्या, 210, LHS पर पहली संख्या, 207 से 3 अधिक है। समानता बनाए रखने के लिए, हमें RHS पर LHS की तुलना में 3 अधिक घटाना चाहिए। इसलिए, 68 + 3 = 71 घटाएं)। जाँच करें: 207-68=139. 210-71=139.

7. आवश्यकता के अनुसार संख्याओं 2, 3 और 5 का उपयोग करते हुए और संक्रियाओं ‘+’ और ‘-‘ व कोष्ठकों का उपयोग करते हुए जितने विभिन्न मान संभव हों उतने मानों वाले व्यंजक बनाइए। उदाहरण के लिए, 2 – 3 + 5 = 4 और 3 – (5 – 2) = 0
उत्तर:
– 2 + 3 + 5 = 10
– 5 + 3 – 2 = 6
– 3 – (2 – 5) = 3 – (-3) = 6
– (5 – 2) + 3 = 3 + 3 = 6
– 2 – 3 + 5 = -1 + 5 = 4
– 5 + 2 – 3 = 7 – 3 = 4
– 2 – (3 – 5) = 2 – (-2) = 4
– 5 – (2 + 3) = 5 – 5 = 0
– 3 + 2 – 5 = 5 – 5 = 0
– 3 – (5 – 2) = 3 – 3 = 0
– 5 – 3 – 2 = 2 – 2 = 0
– 3 – 2 – 5 = 1 – 5 = -4
– 2 – (3 + 5) = 2 – 8 = -6
– 2 – 3 – 5 = -1 – 5 = -6
प्राप्त संभावित मान: 10, 6, 4, 0, -4, -6.

8. यशोदा को जब कभी भी किसी संख्या में से 9 घटाना होता है तो वह 10 घटाती है और इसमें 1 जोड़ देती है। उदाहरण के लिए, 36 – 9 = 26 + 1
(a) क्या आप सोचते हैं कि उसे हमेशा सही उत्तर मिलता है? क्यों?
उत्तर:
हाँ, उसे हमेशा सही उत्तर मिलता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि -9 गणितीय रूप से -10 + 1 के बराबर है। N – 9 जैसे व्यंजक में (-9) के लिए (-10 + 1) प्रतिस्थापित करने पर N + (-10 + 1) प्राप्त होता है जो साहचर्य गुण द्वारा (N – 10) + 1 के बराबर होता है।

(b) क्या आप ऐसी ही अन्य युक्तियों के विषय में सोच सकते हैं? कुछ उदाहरण दीजिए।
उत्तर:
हाँ।
– 8 घटाने के लिए: 10 घटाएं, 2 जोड़ें (चूंकि -8 = -10 + 2)। उदा: 55 – 8 = (55 – 10) + 2 = 45 + 2 = 47.
– 19 घटाने के लिए: 20 घटाएं, 1 जोड़ें (चूंकि -19 = -20 + 1)। उदा: 72 – 19 = (72 – 20) + 1 = 52 + 1 = 53.
– 9 जोड़ने के लिए: 10 जोड़ें, 1 घटाएं (चूंकि +9 = +10 – 1)। उदा: 46 + 9 = (46 + 10) – 1 = 56 – 1 = 55.
– 98 जोड़ने के लिए: 100 जोड़ें, 2 घटाएं (चूंकि +98 = +100 – 2)। उदा: 130 + 98 = (130 + 100) – 2 = 230 – 2 = 228.

9. इन दो व्यंजकों पर विचार कीजिए— (a) 73 – 14 + 1, (b) 73 – 14 – 1
प्रत्येक व्यंजक के लिए नीचे दिए गए समूह में से व्यंजकों को पहचानिए जो इनके समान हों।
(i) 73 – (14 + 1)
(ii) 73 – (14 – 1)
(iii) 73 + (-14 + 1)
(iv) 73 + (-14 – 1)
उत्तर:
लक्ष्यों का मूल्यांकन करें: (a) 73 – 14 + 1 = 59 + 1 = 60. (b) 73 – 14 – 1 = 59 – 1 = 58.
विकल्पों का मूल्यांकन करें:
(i) 73 – (14 + 1) = 73 – 15 = 58. यह (b) से मेल खाता है।
(ii) 73 – (14 – 1) = 73 – 13 = 60. यह (a) से मेल खाता है।
(iii) 73 + (-14 + 1) = 73 + (-13) = 60. यह (a) से मेल खाता है।
(iv) 73 + (-14 – 1) = 73 + (-15) = 58. यह (b) से मेल खाता है।
(a) [मान 60] के बराबर: (ii), (iii).
(b) [मान 58] के बराबर: (i), (iv).

यदि उनका एक अन्य मित्र संगमू उनसे आकर मिलता है और खाने की वही वस्तुएँ मँगवाता है तो चुकाए जाने वाले कुल रुपयों के लिए व्यंजक क्या होगा?
उत्तर:
प्रति व्यक्ति लागत = 43 + 24.
3 लोगों के लिए कुल लागत = 3 x (प्रति व्यक्ति लागत)।
व्यंजक: 3 x (43 + 24).
वैकल्पिक रूप से, वितरण गुण का उपयोग करते हुए: (3 x 43) + (3 x 24).
मान: 3 x (67) = 201. या (3 x 43) + (3 x 24) = 129 + 72 = 201. कुल लागत ₹201 है।

निम्नलिखित गुणनफलों को ज्ञात करने के लिए इस विधि का प्रयोग कीजिए—
(a) 95 x 8
उत्तर:
95 x 8 = (100 – 5) x 8 = (100 x 8) – (5 x 8) = 800 – 40 = 760.

(b) 104 x 15
उत्तर:
104 x 15 = (100 + 4) x 15 = (100 x 15) + (4 x 15) = 1500 + 60 = 1560.

(c) 49 x 50
उत्तर:
49 x 50 = (50 – 1) x 50 = (50 x 50) – (1 x 50) = 2500 – 50 = 2450.

उपरोक्त गुणनफल के समान कौन-से अन्य गुणनफल शीघ्र प्राप्त किए जा सकते हैं?
उत्तर:
यह विधि तब उपयोगी होती है जब संख्याओं में से कोई एक 10, 100, 1000 आदि के करीब हो।
उदाहरण:
38 x 7 = (40 – 2) x 7
102 x 9 = (100 + 2) x 9
19 x 15 = (20 – 1) x 15
998 x 4 = (1000 – 2) x 4

1. रिक्त स्थानों को संख्याओं से और बक्सों को चिह्नों से भरिए जिससे कि दोनों ओर के व्यंजक समान हों
(a) 3 × (6 + 7) = 3 × 6 + 3 × 7
(b) (8 + 3) × 4 = 8 × 4 + 3 × 4
(c) 3 × (5 + 8) = 3 × 5 ☐ 3 × ____
(d) (9 + 2) × 4 = 9 × 4 ☐ 2 × ____
(e) 3 × (____ + 4) = 3 × ____ + ____
(f) (____ + 6) × 4 = 13 × 4 + ____
(g) 3 × (____ + ____) = 3 × 5 + 3 × 2
(h) (____ + ____) × ____ = 2 × 4 + 3 × 4
(i) 5 × (9 − 2) = 5 × 9 − 5 × ____
(j) (5 − 2) × 7 = 5 × 7 − 2 × ____
(k) 5 × (8 − 3) = 5 × 8 ☐ 5 × ____
(l) (8 − 3) × 7 = 8 × 7 ☐ 3 × 7
(m) 5 × (12 − ____) = ____ ☐ 5 × ____
(n) (15 − ) × 7 = ____ ☐ 6 × 7
(o) 5 × ( − ) = 5 × 9 − 5 × 4
(p) ( − ____) × ____ = 17 × 7 − 9 × 7
उत्तर:
(a) 3 x (6 + 7) = 3 x 6 + 3 x 7
(b) (8 + 3) x 4 = 8 x 4 + 3 x 4
(c) 3 x (5 + 8) = 3 x 5 [+] 3 x [8]
(d) (9 + 2) x 4 = 9 x 4 [+] [2] x 4
(e) 3 x ([5] + 4) = 3 x [5] + [3 x 4]
(f) ([13] + 6) x 4 = 13 x 4 + [6 x 4]
(g) 3 x ([5] + [2]) = 3 x 5 + 3 x 2
(h) ([2] + [3]) x [4] = 2 x 4 + 3 x 4
(i) 5 x (9 – 2) = 5 x 9 – 5 x [2]
(j) (5 – 2) x 7 = 5 x 7 – 2 x [7]
(k) 5 x (8 – 3) = 5 x 8 [-] 5 x [3]
(l) (8 – 3) x 7 = 8 x 7 [-] [3] x 7
(m) 5 x (12 [-] [7]) = [5 x 12] [-] 5 x [7]
(n) (15 – [6]) x 7 = [15 x 7] [-] 6 x 7
(o) 5 x ([9] – [4]) = 5 x 9 – 5 x 4
(p) ([17] – [9]) x [7] = 17 x 7 – 9 x 7

2. दाईं और बाईं ओर के व्यंजकों का विश्लेषण करके नीचे बक्सों में ‘>’, ‘<' या '=' भरिए। इसका पता लगाने के लिए व्यंजकों को हल किए बिना, तर्क और पदों व कोष्ठकों की समझ का उपयोग कीजिए। (a) (8 − 3) × 29 ☐ (3 − 8) × 29 (b) 15 + 9 × 18 ☐ (15 + 9) × 18 (c) 23 × (17 − 9) ☐ 23 × 17 + 23 × 9 (d) (34 − 28) × 42 ☐ 34 × 42 − 28 × 42 उत्तर:
(a) (8 – 3) x 29 [ > ] (3 – 8) x 29
तर्क: LHS = (धनात्मक 5) x 29, जो धनात्मक है।
RHS = (ऋणात्मक 5) x 29, जो ऋणात्मक है। धनात्मक > ऋणात्मक।

(b) 15 + 9 x 18 [ < ] (15 + 9) x 18 तर्क: LHS = 15 + (9 x 18)। RHS = (15 + 9) x 18 = 15 x 18 + 9 x 18। तुलना करने पर: LHS में केवल 15 है जबकि RHS में 15 x 18 है। चूंकि 15, 15 x 18 से बहुत छोटा है, इसलिए LHS छोटा है। (c) 23 x (17 - 9) [ < ] 23 x 17 + 23 x 9 तर्क: LHS = 23 x (8)। RHS = 23 x (17 + 9) = 23 x (26)। चूंकि 8, 26 से बहुत छोटा है, इसलिए LHS छोटा है। (d) (34 - 28) x 42 [ = ] 34 x 42 - 28 x 42 तर्क: RHS, वितरण गुण (distributive property) का उपयोग करके LHS का विस्तारित रूप है। इसलिए, वे बराबर हैं। 3. यहाँ 14 बनाने का एक तरीका 2 × (1 + 6) = 14 है। क्या 14 प्राप्त करने के अन्य तरीके भी हैं? उन्हें नीचे दिए गए रिक्त स्थानों में भरिए— (a) ____ × (____ + ____) = 14 (b) ____ × (____ + ____) = 14 (c) ____ × (____ + ____) = 14 (d) ____ × (____ + ____) = 14 उत्तर:
(a) 7 x (1 + 1) = 14 या 2 x (3 + 4) = 14
(b) 1 x (10 + 4) = 14 या 7 x (0 + 2) = 14
(c) 2 x (1 + 2 + 4) = 14 या 1 x (5 + 6 + 3) = 14
(d) 7 x (1 + 1 + 0) = 14 या 2 x (2 + 3 + 2) = 14

4. नीचे दिए गए प्रत्येक चित्र में संख्याओं का योगफल (कम से कम दो अलग तरीकों से) ज्ञात कीजिए। व्याख्या कीजिए कि आपने इसे व्यंजकों के द्वारा कैसे हल किया?

उत्तर:
(a) चित्र 1 (4 के 5 वर्ग, 8 के 4 वृत्त):
तरीका 1 (संख्या के अनुसार समूह): (4 की संख्या x 4) + (8 की संख्या x 8) = (5 x 4) + (4 x 8) = 20 + 32 = 52.
तरीका 2 (पंक्तियों का योग): (पंक्ति 1) + (पंक्ति 2) + (पंक्ति 3) = (4+8+4) + (8+4+8) + (4+8+4) = 16 + 20 + 16 = 52.

(b) चित्र 2 (5 के 8 वृत्त, 6 के 8 वृत्त):
तरीका 1 (संख्या के अनुसार समूह): (5 की संख्या x 5) + (6 की संख्या x 6) = (8 x 5) + (8 x 6) = 40 + 48 = 88.
तरीका 2 (वितरण गुण का उपयोग): तरीका 1 से, (8 x 5) + (8 x 6) = 8 x (5 + 6) = 8 x 11 = 88.
तरीका 3 (पंक्तियों का योग): प्रत्येक पंक्ति का योग 5 + 6 + 6 + 5 = 22 है। ऐसी 4 पंक्तियाँ हैं। कुल = 4 x 22 = 88.

1. आगे दी गई स्थितियों को पढ़िए। उनमें से प्रत्येक के लिए उचित व्यंजक लिखिए और उनके मान ज्ञात कीजिए।
(a) बेगूर में जिला बाजार सप्ताह के सातों दिन खुलता है। रहीम अपने बगीचे से प्रत्येक दिन 9 किलोग्राम आम और श्याम अपने बगीचे से प्रत्येक दिन 11 किलोग्राम आम इस बाजार में भेजता है। स्थानीय जिला बाजार में उनके द्वारा एक सप्ताह में भेजे गए आमों की मात्रा ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
विधि 1 व्यंजक: (कुल दैनिक आपूर्ति) x दिन = (9 + 11) x 7। मान = 20 x 7 = 140 किलो।
विधि 2 व्यंजक: (रहीम की साप्ताहिक आपूर्ति) + (श्याम की साप्ताहिक आपूर्ति) = (9 x 7) + (11 x 7)। मान = 63 + 77 = 140 किलो।

(b) बीनू प्रत्येक माह ₹20,000 अर्जित करती है। वह प्रत्येक माह ₹5000 किराए पर, ₹5000 भोजन पर और ₹2000 अन्य वस्तुओं पर खर्च करती है। एक वर्ष के अंत में बीनू कितने रुपयों की बचत करेगी?
उत्तर:
मासिक खर्च = 5000 + 5000 + 2000 = 12000.
मासिक बचत = मासिक कमाई – मासिक खर्च = 20000 – 12000 = 8000.
वार्षिक बचत = मासिक बचत x 12.
व्यंजक: (20000 – (5000 + 5000 + 2000)) x 12.
मान = 12 x 8000 = ₹96,000.

(c) एक घोंघा दिन के समय एक खंभे पर 3 से.मी. चढ़ता है और रात के समय सोते हुए गलती से 2 से.मी. फिसल जाता है। यह खंभा 10 से.मी. ऊँचा है और इसके ऊपरी भाग पर एक स्वादिष्ट भोजन है। घोंघे को कितने दिनों में भोजन मिलेगा?
उत्तर:
एक पूरे दिन-रात के चक्र में शुद्ध चढ़ाई = 3 सेमी – 2 सेमी = 1 सेमी.
7वें दिन के अंत तक शुद्ध चढ़ाई: 7 सेमी.
8वें दिन के दौरान: घोंघा 7 सेमी से शुरू करता है और 3 सेमी चढ़ता है, जिससे वह 10 सेमी (शिखर) पर पहुँच जाता है।
वह 8वें दिन इनाम प्राप्त कर लेगा।

2. मेल्विन मंगलवार और शनिवार के अतिरिक्त प्रत्येक दिन दो पृष्ठों की एक कहानी पढ़ता है। वह 8 सप्ताहों में कितनी कहानियाँ पूरी पढ़ लेगा? निम्नलिखित में से कौन-सा व्यंजक इस स्थिति को दर्शाता है?
(a) 5 × 2 × 8
(b) (7 – 2) × 8
(c) 8 × 7
(d) 7 × 2 × 8
(e) 7 × 5 – 2
(f) (7 + 2) × 8
(g) 7 × 8 – 2 × 8
(h) (7 – 5) × 8
उत्तर:
गणना:
– प्रति सप्ताह पढ़ने के दिन = 7 दिन – 2 दिन (जब नहीं पढ़ता) = 5 दिन।
– प्रति सप्ताह पढ़े गए पेज = 5 दिन/सप्ताह * 2 पेज/दिन = 10 पेज/सप्ताह।
– प्रति सप्ताह कहानियाँ (चूंकि कहानी 2 पेज की है) = 10 पेज / 2 पेज प्रति कहानी = 5 कहानियाँ/सप्ताह।
– 8 सप्ताह में कहानियाँ = 5 कहानियाँ/सप्ताह * 8 सप्ताह = 40 कहानियाँ।
व्यंजकों की जाँच:
(b) (7-2)x8 = 5×8 = 40 (कुल कहानियों से मेल खाता है)।
(g) 7×8 – 2×8 = (कुल दिन) – (बिना पढ़ने वाले दिन) = 56 – 16 = 40 (यह भी 40 के बराबर है, यहाँ वितरण गुण का उपयोग हुआ है)।
सही विकल्प: (b) और (g)

3. नीचे दिए गए व्यंजकों के मान ज्ञात करने की विभिन्न विधियाँ ज्ञात कीजिए—
(a) 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + 9 – 10
उत्तर:
तरीका 1 (बाएँ-से-दाएँ): 1-2 = -1, फिर -1+3 = 2, इसी तरह आगे बढ़ते हुए अंत में -5 आएगा।
तरीका 2 (जोड़े बनाकर): (1-2) + (3-4) + (5-6) + (7-8) + (9-10) = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = -5.
तरीका 3 (धनात्मक और ऋणात्मक): (1+3+5+7+9) – (2+4+6+8+10) = 25 – 30 = -5.

(b) 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1
उत्तर:
तरीका 1 (बाएँ-से-दाएँ): 0+1-1+1-1… अंत में 0 आएगा।
तरीका 2 (जोड़े बनाकर): (1-1) + (1-1) + (1-1) + (1-1) + (1-1) = 0+0+0+0+0 = 0.

4. नीचे दिए गए व्यंजकों के युग्मों की तुलना ‘<‘, ‘>’ या ‘=’ से या फिर तर्क के उपयोग द्वारा कीजिए।
(a) 49 − 7 + 8 ☐ 49 − 7 + 8
(b) 83 × 42 − 18 ☐ 83 × 40 − 18
(c) 145 − 17 × 8 ☐ 145 − 17 × 6
(d) 23 × 48 − 35 ☐ 23 × (48 − 35)
(e) (16 − 11) × 12 ☐ −11 × 12 + 16 × 12
(f) (76 − 53) × 88 ☐ 88 × (53 − 76)
(g) 25 × (42 + 16) ☐ 25 × (43 + 15)
(h) 36 × (28 − 16) ☐ 35 × (27 − 15)
उत्तर:
(a) 49 – 7 + 8 [ > ] 49 – (7 + 8)
LHS = 50, RHS = 34. 7 घटाकर 8 जोड़ना, दोनों के योग को घटाने से अलग है।

(b) 83 x 42 – 18 [ > ] 83 x 40 – 18
83×42, 83×40 से बड़ा है। दोनों से 18 घटाने पर भी संबंध नहीं बदलेगा।

(c) 145 – 17 x 8 [ < ] 145 – 17 x 6 बड़ी संख्या (17×8) घटाने पर परिणाम छोटा आता है। (d) 23 x 48 – 35 [ > ] 23 x (48 – 35)
LHS में 23×48 बहुत बड़ा है, 35 घटाने पर भी वह 23×13 से बड़ा ही रहेगा।

(e) (16 – 11) x 12 [ = ] -11 x 12 + 16 x 12
RHS को वितरण गुण से (16-11)x12 लिखा जा सकता है।

(f) (76 – 53) x 88 [ > ] 88 x (53 – 76)
धनात्मक संख्या हमेशा ऋणात्मक संख्या से बड़ी होती है।

(g) 25 x (42 + 16) [ = ] 25 x (43 + 15)
कोष्ठक के अंदर का योग (58) दोनों तरफ बराबर है।

(h) 36 x (28 – 16) [ > ] 35 x (27 – 15)
(उत्तर: LHS = 36×12, RHS = 35×12. चूंकि 36 > 35, इसलिए LHS बड़ा है।

5. गणना किए बिना पहचानिए कि दिए गए व्यंजक के बराबर कौन-सा व्यंजक है। आप पदों का उपयोग करके और कोष्ठकों को हटाकर व्यंजकों को पुन: लिख सकते हैं। दिए गए व्यंजक के बराबर एक से अधिक व्यंजक हो सकते हैं।
(a) 83 – 37 – 12
(i) 84 – 38 – 12
(i) 84 – (37 + 12)
(iii) 83 – 38 – 13
(iv) -37 + 83 – 12
उत्तर:
दिए गए व्यंजक के पद हैं (83), (-37), और (-12)। विकल्प (iv) में यही पद हैं, बस क्रम बदला गया है।
सही विकल्प: (iv) -37 + 83 – 12.

(b) दिया गया है: 93 + 37 x 44 + 76
विकल्प: (i) 37 + 93 x 44 + 76, (ii) 93 + 37 x 76 + 44, (iii) (93 + 37) x (44 + 76), (iv) 37 x 44 + 93 + 76
उत्तर:
दिए गए व्यंजक के पद हैं (93), (37 x 44), और (76)। विकल्प (iv) में यही पद हैं।
सही विकल्प: (iv) 37 x 44 + 93 + 76.

6. एक संख्या चुनिए और उस मान वाले दस भिन्न व्यंजक बनाइए।
उत्तर:
चुनी गई संख्या: 15
10 + 5
20 – 5
3 x 5
30 / 2
7 + 8
1 + (2 x 7)
(5 x 5) – 10
45 / (1 + 2)
12 + 6 / 2
2 x 8 – 1