एनसीईआरटी समाधान कक्षा 7 गणित प्रकाश अध्याय 1 हमारे आस-पास की बड़ी संख्याएँ

उत्तर:
यह जानने के लिए, हम 100 वर्षों में चखी गई किस्मों की कुल संख्या की गणना करते हैं।
– पहले, 100 वर्षों में दिनों की संख्या ज्ञात करें (लीप वर्षों को छोड़ते हुए): 100 वर्ष × 365 दिन/वर्ष = 36500 दिन।
– फिर, दिनों की संख्या को प्रतिदिन खाई जाने वाली किस्मों से गुणा करें: 36500 दिन × 2 किस्में/दिन = 73000 किस्में।
चूंकि 73,000 एक लाख (100,000) से कम है, इसलिए नहीं, यदि आप प्रतिदिन 2 किस्में खाते हैं तो आप 100 वर्षों में 1 लाख किस्मों का स्वाद नहीं ले पाएंगे।

उत्तर:
पहले प्रश्न के समान, हम प्रतिदिन 3 की दर से 100 वर्षों में चखी गई कुल किस्मों की गणना करते हैं।
– 100 वर्षों में दिनों की संख्या: 100 वर्ष × 365 दिन/वर्ष = 36500 दिन।
– चखी गई कुल किस्में: 36500 दिन × 3 किस्में/दिन = 109500 किस्में।
चूंकि 109,500 एक लाख (100,000) से अधिक है, हाँ, यदि आप प्रतिदिन 3 किस्में खाते हैं, तो आप 100 साल के जीवनकाल में सभी लाख किस्मों का स्वाद चख पाएंगे।

उत्तर:
आइए y के लिए दो मान चुनें और दिनों की संख्या की गणना करें, इसकी तुलना एक लाख (100,000) से करें।
हम प्रति वर्ष 365 दिन का उपयोग करते हैं।
विकल्प 1: y = 100 वर्ष
– दिनों की संख्या = y वर्ष x 365 दिन/वर्ष = 100 x 365 = 36500 दिन।
– 1 लाख के कितने करीब? 100000 – 36500 = 63500 दिन।
y=100 वर्षों के लिए, दिनों की संख्या (36,500) एक लाख से 63,500 दिन कम है।
विकल्प 2: y = 274 वर्ष
– दिनों की संख्या = y वर्ष x 365 दिन/वर्ष = 274 x 365 = 100010 दिन।
– 1 लाख के कितने करीब? 100010 – 100000 = 10 दिन।
y = 274 वर्षों के लिए, दिनों की संख्या (100,010) बहुत करीब है, एक लाख से केवल 10 दिन अधिक।

उत्तर:
यह जानने के लिए, हम एक लाख (100,000) में से जनसंख्या घटाते हैं।
– गणना: 100000 – 75000 = 25000.
तो, 75,000 एक लाख से 25,000 कम है।

उत्तर:
यह जानने के लिए, हम अनुमानित 2024 की जनसंख्या में से एक लाख (100,000) घटाते हैं।
– गणना: 106000 – 100000 = 6000.
तो, 1,06,000 एक लाख से 6,000 अधिक है।

उत्तर:
वृद्धि ज्ञात करने के लिए, हम 2024 की अनुमानित जनसंख्या में से 2011 की जनसंख्या घटाते हैं।
– गणना: 106000 (2024 जन.) – 75000 (2011 जन.) = 31000.
2011 से 2024 तक जनसंख्या में 31,000 की वृद्धि हुई।

उत्तर:
सबसे पहले, एक मंजिल की ऊंचाई निर्धारित करें।
– एक मंजिल की ऊंचाई = 4 x सोमू की ऊंचाई = 4 x 1 मीटर = 4 मीटर।
इमारत की एकता कि प्रतिमा और जलप्रपात से तुलना करने वाली छवि बताती है कि इमारत लगभग 40 मीटर ऊंची है।
(मान लेते हैं कि 10 मंज़िलें हैं: 10 मंजिल x 4 मीटर/मंजिल = 40 मीटर)।
इमारत की अनुमानित ऊंचाई 40 मीटर है।

उत्तर:
एकता कि प्रतिमा की ऊंचाई (180 मीटर) की तुलना इमारत की अनुमानित ऊंचाई (40 मीटर) से करें।
– तुलना: 180 मीटर > 40 मीटर। एकता कि प्रतिमा अधिक ऊंची है।
– यह पता लगाने के लिए कि कितनी ऊंची है, मूर्ति की ऊंचाई में से इमारत की ऊंचाई घटाएं: 180 मीटर – 40 मीटर = 140 मीटर।
एकता कि प्रतिमा इमारत से 140 मीटर ऊंची है।

उत्तर:
कुंचिकल जलप्रपात की ऊंचाई (450 मीटर) की तुलना इमारत की अनुमानित ऊंचाई (40 मीटर) से करें।
– यह पता लगाने के लिए कि कितना ऊंचा है, जलप्रपात की ऊंचाई में से इमारत की ऊंचाई घटाएं: 450 मीटर – 40 मीटर = 410 मीटर।
कुंचिकल जलप्रपात सोमू की इमारत से 410 मीटर ऊंचा है।

उत्तर:
मंजिलों की संख्या ज्ञात करने के लिए, जलप्रपात की ऊंचाई को एक मंजिल की ऊंचाई से विभाजित करें।
– जलप्रपात की ऊंचाई = 450 मीटर। एक मंजिल की ऊंचाई = 4 मीटर।
– आवश्यक मंजिलों की संख्या = 450 मीटर / 4 मीटर प्रति मंजिल = 112.5 मंजिल।
कुंचिकल जलप्रपात जितना ऊंचा होने के लिए सोमू की इमारत में लगभग 112.5 (या 113) मंजिलें होनी चाहिए।

उत्तर:
– रॉक्सी को लगता है कि यह बड़ा है, वह चावल की किस्मों की बड़ी संख्या (एक लाख), एक लाख दिनों की लंबी अवधि (274 वर्ष), और एक लाख लोगों की कतार की लंबाई (38 किमी) का उदाहरण देती है।
– एस्टु को लगता है कि यह इतना बड़ा नहीं है, वह एक लाख से अधिक की स्टेडियम क्षमता, मानव सिर पर बालों की संख्या (लगभग एक लाख), और एक बार में एक लाख या अधिक अंडे देने वाली मछलियों का उल्लेख करता है।
इसलिए, “एक लाख” बड़ा है या छोटा – यह व्यक्ति की सोच पर निर्भर करता है और इस बात पर कि उसकी तुलना किससे की जा रही है।

(a) 3,00,600
उत्तर:
तीन लाख छह सौ।

(b) 5,04,085
उत्तर:
पांच लाख चार हजार पचासी।

(c) 27,30,000
उत्तर:
सत्ताईस लाख तीस हजार।

(d) 70,53,138
उत्तर:
सत्तर लाख तिरपन हजार एक सौ अड़तीस।

(a) एक लाख तेईस हजार चार सौ छप्पन
उत्तर:
1,23,456

(b) चार लाख सात हजार सात सौ चार
उत्तर:
4,07,704

(c) पचास लाख पाँच हजार पचास
उत्तर:
50,05,050

(d) दस लाख दो सौ पैंतीस
उत्तर:
10,00,235

यहाँ दहाइयों की भूमि में, विशेष बटनों वाले कुछ विशेष गणक (कैलकुलेटर) हैं।

(a) तीन हजार? 3 बार
उत्तर:
3 बार (3 x 1000 = 3000)

(b) 10,000? ___________
उत्तर:
10 बार (10 x 1000 = 10,000)

(c) तिरेपन हजार? ___________
उत्तर:
53 बार (53 x 1000 = 53,000)

(d) 90,000? ___________
उत्तर:
90 बार (90 x 1000 = 90,000)

(e) एक लाख? ___________
उत्तर:
100 बार (100 x 1000 = 1,00,000)

(f) __________ 153 बार
उत्तर:
153,000 (153 x 1000 = 153,000)

(g) 1 लाख बनाने के लिए कितने हजार चाहिए?
उत्तर:
100 हजार।

(a) पांच सौ? ___________
उत्तर:
50 बार

(b) 780? ___________
उत्तर:
78 बार

(c) 1000? ___________
उत्तर:
100 बार

(d) 3700? ___________
उत्तर:
370 बार

(e) 10,000? ___________
उत्तर:
1000 बार

(f) एक लाख? ___________
उत्तर:
10,000 बार

(g) __________ 435 बार?
उत्तर:
4,350

(a) चार सौ? __________ बार
उत्तर:
4 बार

(b) 3,700? __________
उत्तर:
37 बार

(c) 10,000? __________
उत्तर:
100 बार

(d) तिरेपन हजार? __________
उत्तर:
530 बार

(e) 90,000? __________
उत्तर:
900 बार

(f) 97,600? __________
उत्तर:
976 बार

(g) 1,00,000? __________
उत्तर:
1000 बार

(h) __________ 582?
उत्तर:
58,200

(i) दस हजार बनाने के लिए कितने सैकड़ों की आवश्यकता होती है?
उत्तर:
100 सैकड़ों (10,000 / 100 = 100)

(j) एक लाख बनाने के लिए कितने सैकड़ों की आवश्यकता होती है?
उत्तर:
1000 सैकड़ों (1,00,000 / 100 = 1000)

(k) समझदार सैकड़ा कहता है, “यहा कुछ संख्याएँ हैं जिन्हें दबंग दहाई’ और हँसमुख हजार नहीं दिखा सकता, परंतु मैं दिखा सकता हूँ।” क्या यह कथन सत्य है? सोचिए और खोजिए।
उत्तर:
हाँ, यह कथन सत्य है। समझदार सैकड़ा (+100) 100 के गुणकों (जैसे 3,700) को दिखा सकता है। ‘टेडियस दस’ (+10) केवल 10 के गुणकों को दिखा सकता है और ‘हँसमुख हजार’ (+1000) केवल 1000 के गुणकों को। इसलिए, समझदार सैकड़ा 3,700 जैसी संख्याएँ दिखा सकता है जिन्हें अन्य दो कैलकुलेटर सीधे नहीं बना सकते (हालाँकि ‘टेडियस दस’ 370 बार बटन दबाने पर वहां तक पहुँच सकता है)।

+1, +10, +100, +1000, +10000, +100000, और +1000000। इसमें सदेव काम करने के कई तरीके होते हैं। आप पूछ सकते है “ऐसा केसे?” संख्या 321 प्राप्त करने के वह +10 को 32 बार और +1 को एक बार दबाता है। क्या उसे 321 प्राप्त होगा? वैकल्पिक रूप से वह +100 को दो बार, +10 को बारह बार तथा +1 को एक बार दबा सकता है।
उत्तर:
हाँ, उसे 321 प्राप्त होगा।
गणना:
(32 × 10) + (1 × 1) = 320 + 1 = 321
वैकल्पिक रूप से:
(2 × 100) + (12 × 10) + (1 × 1) = 200 + 120 + 1 = 321

(a) (50 x 100) + (7 x 10) + (2 x 1) = 5072
(b) (3 x 1000) + (20 x 100) + (72 x 1) = 5072.
5072 प्राप्त करने कि एक अलग विधि ज्ञात कीजिए और उसी के लिए एक व्यंजक लिखिए।
उत्तर:
यहाँ एक और तरीका है: मानक स्थानीय मान विभाजन का उपयोग करें।
व्यंजक: (5 x 1000) + (0 x 100) + (7 x 10) + (2 x 1) = 5000 + 0 + 70 + 2 = 5072
एक और उदाहरण: (4 x 1000) + (10 x 100) + (7 x 10) + (2 x 1) = 4000 + 1000 + 70 + 2 = 5072

नीचे दी गई प्रत्येक संख्या के लिए संख्या को प्राप्त करने के लिए कम से कम दो भिन्न विधियों द्वारा बटन दबाकर व्यंजक लिखिए। चित्ती कि तरह सोचिये और रचनात्मक बनिए।
(a) 8300
उत्तर:
तरीका 1: (8 x 1000) + (3 x 100) = 8000 + 300 = 8300
तरीका 2: (83 x 100) = 8300

(b) 40629
उत्तर:
तरीका 1: (4 x 10000) + (6 x 100) + (2 x 10) + (9 x 1) = 40000 + 600 + 20 + 9 = 40629
तरीका 2: (40 x 1000) + (62 x 10) + (9 x 1) = 40000 + 620 + 9 = 40629

(c) 56354
उत्तर:
तरीका 1: (5 x 10000) + (6 x 1000) + (3 x 100) + (5 x 10) + (4 x 1) = 50000 + 6000 + 300 + 50 + 4 = 56354
तरीका 2: (56 x 1000) + (35 x 10) + (4 x 1) = 56000 + 350 + 4 = 56354

(d) 66666
उत्तर:
तरीका 1: (6 x 10000) + (6 x 1000) + (6 x 100) + (6 x 10) + (6 x 1) = 60000 + 6000 + 600 + 60 + 6 = 66666
तरीका 2: (66 x 1000) + (66 x 10) + (6 x 1) = 66000 + 660 + 6 = 66666

(e) 367813
उत्तर:
तरीका 1: (3 x 100000) + (6 x 10000) + (7 x 1000) + (8 x 100) + (1 x 10) + (3 x 1) = 300000 + 60000 + 7000 + 800 + 10 + 3 = 367813
तरीका 2: (367 x 1000) + (81 x 10) + (3 x 1) = 367000 + 810 + 3 = 367813

(a) आपको संख्या बनाने के लिए बटन को ठीक 30 बार दबाना हैं। आप 3 अंकों की सबसे बड़ी संख्या कौन सी बना सकते हैं? आप 3-अंकों की सबसे छोटी संख्या कौन सी बना सकते हैं?
उत्तर:
सबसे बड़ी 3-अंकों की संख्या: संख्या को अधिकतम करने के लिए, 3 अंकों के भीतर रहते हुए और 30 क्लिक का उपयोग करते हुए जितना संभव हो सके सबसे बड़े स्थानीय मान वाले बटन (+100) का उपयोग करें।
– (9 x 100) में 9 क्लिक हुए = 900. बचे हुए क्लिक = 30 – 9 = 21.
– (9 x 10) में 9 क्लिक हुए = 90. बचे हुए क्लिक = 21 – 9 = 12.
– (12 x 1) में 12 क्लिक हुए = 12.
– कुल = 900 + 90 + 12 = 1002 (यह 4 अंकों की संख्या है)।
आइए सैकड़ों के क्लिक को 1 कम करें।
– (8 x 100) में 8 क्लिक हुए = 800. बचे हुए क्लिक = 30 – 8 = 22.
– (9 x 10) में 9 क्लिक हुए = 90. बचे हुए क्लिक = 22 – 9 = 13.
– (13 x 1) में 13 क्लिक हुए = 13.
– कुल = 800 + 90 + 13 = 903. कुल क्लिक = 8 + 9 + 13 = 30.
आइए 100s और 10s को अलग तरह से अधिकतम करने का प्रयास करें:
– (9 x 100) में 9 क्लिक हुए = 900. बचे हुए क्लिक = 21.
– (8 x 10) में 8 क्लिक हुए = 80. बचे हुए क्लिक = 21 – 8 = 13.
– कुल = 900 + 80 + 13 = 993. कुल क्लिक = 9 + 8 + 13 = 30. यह सबसे बड़ी संभावित 3-अंकों की संख्या है।
सबसे छोटी 3-अंकों की संख्या: संख्या को न्यूनतम करने के लिए, जितना संभव हो सके सबसे छोटे स्थानीय मान वाले बटनों (+1) का उपयोग करें, यह सुनिश्चित करते हुए कि संख्या कम से कम 100 हो और 30 क्लिक का उपयोग करे।
– कम से कम एक +100 बटन (1 क्लिक) का उपयोग करना चाहिए। मान = 100. बचे हुए क्लिक = 29.
– बाकी के लिए केवल +1 का उपयोग करना: (29 x 1) में 29 क्लिक हुए। मान = 29.
– कुल = 100 + 29 = 129. कुल क्लिक = 1 + 29 = 30.
क्या हम +10 का उपयोग करके इसे छोटा बना सकते हैं?
– (1 x 100) में 1 क्लिक = 100. बचे हुए क्लिक = 29.
– (1 x 10) में 1 क्लिक = 10. बचे हुए क्लिक = 28.
– (28 x 1) में 28 क्लिक = 28.
– कुल = 100 + 10 + 28 = 138. कुल क्लिक = 1 + 1 + 28 = 30.
सबसे छोटी संख्या 129 लगती है।
सबसे बड़ी 3-अंकों की संख्या 993 है। सबसे छोटी 3-अंकों की संख्या 129 है।

(b) 25 बार बटन दबाकर 997 प्राप्त किया जा सकता है। क्या 997 को 25 से कम या अधिक बार बटन दबाकर बना सकते हैं?
उत्तर:
हाँ। न्यूनतम तरीका (साधारण सिप्पी के तर्क का उपयोग करते हुए) (9 x 100) + (9 x 10) + (7 x 1) है, जिसमें 9 + 9 + 7 = 25 क्लिक लगते हैं।
अन्य तरीके भी संभव हैं:
– उदाहरण: (8 x 100) + (19 x 10) + (7 x 1) = 800 + 190 + 7 = 997. क्लिक = 8 + 19 + 7 = 34 क्लिक।
– उदाहरण: (99 x 10) + (7 x 1) = 990 + 7 = 997. क्लिक = 99 + 7 = 106 क्लिक।
तो, हाँ, 997 को अलग-अलग संख्या में क्लिक (25 से अधिक) के साथ बनाया जा सकता है।

+1, +10, +100, +1000, +10000, +100000. इसका उपयोग यथासंभव कम से कम किया जाना चाहिए।
हम कम से कम बटन दबाकर संख्याएँ का (a) 5072, (b) 8300 कैसे प्राप्त कर सकते हैं?
उत्तर:
मानक स्थानीय मान विभाजन का उपयोग करें, उस स्थान के अंक के अनुरूप प्रत्येक स्थानीय मान बटन को दबाएं।
(a) 5072: (5 x 1000) + (0 x 100) + (7 x 10) + (2 x 1). न्यूनतम क्लिक = 5 + 0 + 7 + 2 = 14 क्लिक।
(b) 8300: (8 x 1000) + (3 x 100) + (0 x 10) + (0 x 1). न्यूनतम क्लिक = 8 + 3 + 0 + 0 = 11 क्लिक।

उत्तर:
हाँ। अध्याय के उदाहरण में 23 क्लिक ((5 x 1000) + (6 x 10) + (12 x 1)) का उपयोग करने वाला एक तरीका दिखाया गया था। न्यूनतम तरीका इससे भी कम क्लिक का उपयोग करता है।
न्यूनतम क्लिक व्यंजक: (5 x 1000) + (7 x 10) + (2 x 1)
क्लिक की संख्या = 5 + 7 + 2 = 14 क्लिक, जो 23 से कम है।

उत्तर:
सबसे कम क्लिक की संख्या मानक स्थानीय मान विस्तार के बराबर होती है:
8300: व्यंजक: (8 x 1000) + (3 x 100) | क्लिक = 8 + 3 = 11
40629: व्यंजक: (4 x 10000) + (6 x 100) + (2 x 10) + (9 x 1) | क्लिक = 4 + 6 + 2 + 9 = 21
56354: व्यंजक: (5 x 10000) + (6 x 1000) + (3 x 100) + (5 x 10) + (4 x 1) | क्लिक = 5 + 6 + 3 + 5 + 4 = 23
66666: व्यंजक: (6 x 10000) + (6 x 1000) + (6 x 100) + (6 x 10) + (6 x 1) | क्लिक = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30
367813: व्यंजक: (3 x 100000) + (6 x 10000) + (7 x 1000) + (8 x 100) + (1 x 10) + (3 x 1) | क्लिक = 3 + 6 + 7 + 8 + 1 + 3 = 28

उत्तर:
हाँ। साधारण सिप्पी की विधि का उपयोग करके किसी संख्या को बनाने के लिए आवश्यक सबसे कम बटन क्लिक की संख्या, उस संख्या के अंकों के योग के बराबर होती है।

उत्तर:
यह कथन थोड़ा सटीक नहीं है। सबसे कम बटन क्लिक के व्यंजक मानक आधार-10 स्थानीय मान विस्तार (जो अंतरराष्ट्रीय स्तर पर उपयोग किया जाता है) को दर्शाते हैं, न कि विशेष रूप से भारतीय समूह प्रणाली (लाख, करोड़) को। यह विधि इसलिए काम करती है क्योंकि कैलकुलेटर के बटन सीधे 10 की घातों (1, 10, 100, 1000, आदि) के अनुरूप होते हैं। संख्याओं को लिखने का मानक तरीका इन 10 की घातों से गुणा किए गए अंकों के योग के रूप में संख्या को व्यक्त करने का एक तरीका है। क्लिक को कम करने के लिए, हम प्रत्येक स्थानीय मान बटन का उपयोग 9 बार से अधिक नहीं करते हैं।

क्या होगा यदि +10,00,000 के बटन को 10 बार दबाया जाए? आपको कौन सी संख्या प्राप्त होगी?
उत्तर:
1,00,00,000 (एक करोड़)।

इसमें कितने शून्य होंगे?
उत्तर:
7 शून्य।

हमें इसे क्या कहेंगे?
उत्तर:
एक करोड़ (भारतीय प्रणाली) या दस मिलियन (अंतरराष्ट्रीय प्रणाली)।

एक हजार लाख में कितने शून्य हैं?__________________
उत्तर:
1000 x 1,00,000 = 10,00,00,000. इसमें 8 शून्य होते हैं।

एक सौ हजार में कितने शून्य होते हैं? __________________
उत्तर:
एक लाख को 100,000 लिखा जाता है।
इसमें 5 शून्य होते हैं।

a) 4050678
उत्तर:
भारतीय नाम: चालीस लाख पचास हज़ार छह सौ अठहत्तर।
अमेरिकी नाम: चार मिलियन पचास हज़ार छः सौ अठहत्तर।

(b) 48121620
उत्तर:
भारतीय नाम: चार करोड़ इक्यासी लाख इक्कीस हज़ार छह सौ बीस।
अमेरिकी नाम: अड़तालिस मिलियन एक सौ इक्कीस हज़ार छः सौ बीस।

(c) 20022002
उत्तर:
भारतीय नाम: दो करोड़ बाईस हज़ार दो।
अमेरिकी नाम: बीस मिलियन बाईस हज़ार दो।

(d) 246813579
उत्तर:
भारतीय अंकन: 24,68,13,579
भारतीय नाम: चौबीस करोड़ अड़सठ लाख तेरह हज़ार पाँच सौ उन्यासी।
अमेरिकी नाम: दो सौ छियालीस मिलियन आठ सौ तेरह हज़ार पाँच सौ उन्यासी।

(e) 345000543
उत्तर:
भारतीय नाम: चौंतीस करोड़ पचास लाख पाँच सौ तैंतालीस।
अमेरिकी नाम: तीन सौ पैंतालीस मिलियन पाँच सौ तैंतालीस।

(f) 1020304050
उत्तर:
भारतीय नाम: एक अरब दो करोड़ तीन लाख चार हज़ार पचास (या एक सौ दो करोड़ तीन लाख चार हज़ार पचास)।
अमेरिकी नाम: एक बिलियन बीस मिलियन तीन सौ चार हज़ार पचास।

(a) एक करोड़ एक लाख एक हज़ार दस
उत्तर:
अंकों में: 1,01,01,010
स्थानीय मान विश्लेषण: 1 करोड़ + 01 लाख + 01 हज़ार + 010

(b) एक बिलियन एक मिलियन एक हज़ार एक
उत्तर:
संख्या: 1,001,001,001
भारतीय संकेतन: 1,00,10,01,001
शब्दों में: एक अरब दस लाख एक हज़ार एक

(c) दस करोड़ बीस लाख तीस हज़ार चालीस
उत्तर:
अंकों में: 10,20,30,040
स्थानीय मान विश्लेषण: 10 करोड़ + 20 लाख + 30 हज़ार + 040

(d) नौ बिलियन अस्सी मिलियन सात सौ हज़ार छह सौ
उत्तर:
संख्या: 9,080,700,600
भारतीय संकेतन: 9,08,07,00,600
शब्दों में: नौ अरब आठ करोड़ सात लाख छह सौ

(a) 30 हज़ार ___________ 3 लाख
उत्तर:
30,000 < 3,00,000 | 30 हज़ार < 3 लाख

(b) 500 लाख ___________ 5 मिलियन
उत्तर:
5,00,00,000 > 5,000,000 | 500 लाख > 5 मिलियन

(c) 800 हज़ार ___________ 8 मिलियन
उत्तर:
800,000 < 8,000,000 | 800 हज़ार < 8 मिलियन

(d) 640 करोड़ ___________ 60 बिलियन
उत्तर:
6,40,00,00,000 < 60,00,00,00,000 | 640 करोड़ < 60 बिलियन

उत्तर:
यह बातचीत सटीक संख्याओं और संनिकट मानों के बीच के अंतर को दर्शाती है। समाचारों की सुर्खियों में अक्सर पूर्णांकित संख्याओं का उपयोग किया जाता है जैसे “1 लाख लोग”, क्योंकि उन्हें समझना आसान होता है और सामान्य पैमाने (scale) को बताने के लिए हमेशा सटीक संख्या की आवश्यकता नहीं होती है। समाचार रिपोर्टिंग और रोज़मर्रा की बातचीत में संनिकट मानों का उपयोग करना एक आम बात है जब सटीकता बहुत महत्वपूर्ण न हो। लड़के की यह टिप्पणी कि “यदि वह नहीं जाता तो 99,999 लोग होते”, सुनने में मजाकिया है लेकिन तकनीकी रूप से गलत है, क्योंकि “1 लाख” का अनुमानित आंकड़ा संभवतः 100,000 के आसपास की किसी संख्या को दर्शाता है, न कि ठीक 100,000 को।

सोचिए और ऐसी परिस्थितियों को साझा कीजिए जहाँ यह उचित हो (a) ऊपर की और सन्निकटन (b) नीचे कि और सन्निकटन (c) या तो ऊपर कि ओर संनिकटन अथवा नीचे कि और संनिकटन सही हो और (d) जब यथार्थ संख्याओ कि आवश्यकता हो।
उत्तर:
(a) किसी कार्यक्रम के लिए सामान का ऑर्डर देते समय जैसे 732 लोगों के लिए स्कूल द्वारा 750 मिठाइयों का ऑर्डर देना) ताकि कमी न पड़े; प्रोजेक्ट पूरा होने के समय का अनुमान लगाते समय ताकि अतिरिक्त समय रहे, निर्माण कार्य के लिए सामग्री की गणना करते समय ताकि कमी न हो।
(b) एक दुकानदार किसी ग्राहक के लिए लागत का अनुमान लगाते समय उसे थोड़ा कम बता सकता है (जैसे 470 रुपये की वस्तु के लिए 450 रुपये कहना) ताकि वह आकर्षक लगे; सावधानी बरतने के लिए कार में बचे हुए ईंधन का अनुमान कम लगाना।
(c) बड़ी संख्याओं के बारे में सामान्य बातचीत जहाँ सटीकता महत्वपूर्ण नहीं है जैसे “शहर में लगभग 10 लाख लोग हैं”, योजना बनाने के लिए दूरी या यात्रा के समय का मोटा अनुमान लगाना।
(d) बैंक बैलेंस, वेतन, टैक्स, वैज्ञानिक माप और प्रयोग, इंजीनियरिंग विनिर्देश, आपातकालीन संपर्क नंबर जैसे रेलवे पूछताछ के लिए 139 डायल करना, न कि कोई राउंडेड नंबर, ऐसी रेसिपी जिनमें सामग्री की मात्रा बिल्कुल सटीक चाहिए।

(a) 3,87,69,957
उत्तर:
निकटतम हज़ार: 3,87,70,000 (चूंकि 957 ≥ 500 है, इसलिए हज़ार के अंक को बढ़ाएँ)
निकटतम दस हज़ार: 3,87,70,000 (चूंकि 69,957 ≥ 5,000 है, इसलिए दस हज़ार के अंक को बढ़ाएँ)
निकटतम लाख: 3,88,00,000 (चूंकि 69,957 ≥ 50,000 है, इसलिए लाख के अंक को बढ़ाएँ)
निकटतम दस लाख: 3,90,00,000 (चूंकि 87,69,957 ≥ 5,00,000 है, इसलिए दस लाख के अंक को बढ़ाएँ)
निकटतम करोड़: 4,00,00,000 (चूंकि 87,69,957 ≥ 50,00,000 है, इसलिए करोड़ के अंक को बढ़ाएँ)

(b) 29,05,32,481
उत्तर:
निकटतम हज़ार: 29,05,32,000 (चूंकि 481 < 500 है, इसलिए घटाएँ)
निकटतम दस हज़ार: 29,05,30,000 (चूंकि 2,481 < 5,000 है, इसलिए घटाएँ)
निकटतम लाख: 29,05,00,000 (चूंकि 32,481 < 50,000 है, इसलिए घटाएँ)
निकटतम दस लाख: 29,10,00,000 (चूंकि 5,32,481 ≥ 5,00,000 है, इसलिए बढ़ाएँ)
निकटतम करोड़: 29,00,00,000 (चूंकि 05,32,481 < 50,00,000 है, इसलिए घटाएँ)

मेरे पास एक संख्या है जिसके लिए सभी पाँच निकटतम पड़ोसी 5,00,00,000 हैं। यह संख्या क्या हो सकती है? ऐसी यहाँ कितनी संख्याएँ हैं?
उत्तर:
किसी संख्या के सभी सन्निकटन 5,00,00,000 होने के लिए, उसे सबसे छोटे स्थानीय मान (निकटतम हज़ार) की शर्त को पूरा करना होगा। निकटतम हज़ार 5,00,00,000 है: संख्या [4,99,99,500 से 5,00,00,499] की सीमा में होनी चाहिए। इस सीमा के भीतर का कोई भी पूर्णांक सही उत्तर होगा।
4,99,99,500 से 5,00,00,499 तक की संख्याओं को गिनें:
कुल संख्याएँ = अंतिम संख्या – पहली संख्या + 1 गणना: 5,00,00,499 – 4,99,99,500 + 1 = 999 + 1 = 1000
ऐसी कुल 1000 संख्याएँ हैं।
उदाहरण: 4,99,99,500; 5,00,00,000; 5,00,00,499 प्रश्न रोक्सी और ऐस्तु सरल व्यंजकों के मानों का अनुमान लगा रहे हैं।

1. 4,63,128 + 4,19,682 रोक्सी: “इनका योगफल 8,00,000 के निकट है और 8,00,000 से अधिक है।” ऐस्तु: “इनका योगफल 9,00,000 के निकट है और 9,00,000 से कम है।”
(a) क्या ये अनुमान सही हैं? किसका अनुमान योगफल के निकटतम है?
उत्तर:
सटीक योग: 4,63,128 + 4,19,682 = 8,82,810 रोक्सी का अनुमान (8 लाख के करीब, > 8 लाख) सही है। (अंतर = 882810 – 800000 = 82,810)
ऐस्तु का अनुमान (9 लाख के करीब, < 9 लाख) सही है। (अंतर = 900000 – 882810 = 17,190)
दोनों अनुमान दिशा के हिसाब से सही हैं, लेकिन ऐस्तु का अनुमान (9,00,000) सटीक योग के अधिक करीब है।

(b) क्या इनका योगफल 8,50,000 से अधिक होगा या 8,50,000 से कम होगा? आप ऐसा क्यों सोचते हैं?
उत्तर:
योग (8,82,810) 8,50,000 से अधिक है।
कारण: 4,63,128 की संख्या 4,50,000 से बड़ी है और 4,19,682 की संख्या 4,00,000 से बड़ी है। यदि हम इन निचली सीमाओं (lower bounds) को जोड़ें, तो 4.5 लाख + 4 लाख = 8.5 लाख होता है। चूँकि दोनों संख्याएँ इन सीमाओं से काफी बड़ी हैं (विशेष रूप से 4,63,128 vs 4,50,000), इसलिए इनका योग 8,50,000 से अधिक ही होगा।
वैकल्पिक रूप से, यदि हम केवल अनुमानित मानों को देखें तो 4,60,000 + 4,10,000 = 8,70,000 होता है, जो पहले से ही 8,50,000 से अधिक है।

(c) क्या इनका योगफल 8,83,128 से अधिक होगा या 8,83,128 से कम होगा? आपको ऐसा क्यों लगता है?
उत्तर:
योग (8,82,810), 8,83,128 से कम है।
तर्क: दूसरी संख्या (4,19,682) की तुलना 8,83,128 और पहली संख्या (4,63,128) के बीच के अंतर से करें। अंतर = 8,83,128 – 4,63,128 = 4,20,000 है। चूँकि 4,19,682 की संख्या 4,20,000 से कम है, इसलिए वास्तविक योग 8,83,128 से कम होगा।

(d) 4,63,128 + 4,19,682 का यथार्थ मान = ________________ है।
उत्तर:
8,82,810 है।

2. 14,63,128 – 4,90,020
रोक्सी: “इनका अंतर 10,00,000 के निकट है और 10,00,000 से कम है।”
ऐस्तु: “इनका अंतर 9,00,000 के निकट है और 9,00,000 से अधिक है।”
(a) क्या ये अनुमान सही हैं? किसका आकलन अंतर के निकटतम है?
उत्तर:
सटीक अंतर: 14,63,128 – 4,90,020 = 9,73,108
रोक्सी का अनुमान (10 लाख के करीब, < 10 लाख) सही है। (अंतर = 26,892) ऐस्तु का अनुमान (9 लाख के करीब, > 9 लाख) सही है। (अंतर = 73,108)
रोक्सी का अनुमान (10,00,000) सटीक अंतर के अधिक करीब है।

(b) क्या इनमे अंतर 9,50,000 से अधिक होगा या 9,50,000 से कम होगा? आपको ऐसा क्यों लगता है?
उत्तर:
अंतर (9,73,108) 9,50,000 से अधिक है।
कारण: मोटा अनुमान: 14.6 लाख – 4.9 लाख। चूँकि 4.9 लाख, 5 लाख से थोड़ा कम है, इसलिए इसे 14.6 लाख में से घटाने पर 14.6 – 5 = 9.6 लाख से थोड़ा अधिक बचेगा। 9.6 लाख (9,60,000) की संख्या 9,50,000 से बड़ी है।

(c) क्या अंतर 9,63,128 से अधिक होगा या 9,63,128 से कम होगा? आपको ऐसा क्यों लगता है?
उत्तर:
वास्तविक अंतर 14,63,128 – 4,90,020 = 9,73,108 है। यह 9,63,128 से बड़ा है।
तर्क: घटाई जाने वाली संख्या (4,90,020) की तुलना पहली संख्या और लक्ष्य संख्या के बीच के अंतर (14,63,128 – 9,63,128 = 5,00,000) से करते हैं। चूँकि 4,90,020 की संख्या 5,00,000 से कम है, इसलिए हम ठीक 9,63,128 तक पहुँचने के लिए आवश्यक मात्रा से कम घटा रहे हैं। अतः, परिणाम 9,63,128 से अधिक होगा।

(d) 14,63,128 – 4,90,020 का सटीक मान = _______________ ?
उत्तर:
9,73,108

1. इन आँकड़ों के विषय में आपका सामान्य अवलोकन क्या है? कक्षा के साथ साझा कीजिए।
उत्तर:
एक सामान्य अवलोकन यह है कि 2001 की जनगणना और 2011 की जनगणना के बीच सूचीबद्ध अधिकांश, या लगभग सभी भारतीय शहरों की जनसंख्या में महत्वपूर्ण वृद्धि हुई है। वृद्धि की दर अलग-अलग शहरों में भिन्न है, कुछ में बहुत बड़ी वृद्धि देखी गई है। इन दो जनगणना वर्षों के बीच जनसंख्या के आधार पर शहरों की रैंकिंग में भी थोड़ा बदलाव आया होगा।

2. उपर्युक्त तालिका के लिए उपयुक्त शीर्षक क्या है?
उत्तर:
एक उपयुक्त शीर्षक हो सकता है: चयनित प्रमुख भारतीय शहरों की जनसंख्या (2001 और 2011 की जनगणना)” या “भारत के शहरों की जनसंख्या की तुलना: 2001 बनाम 2011”

3. 2011 में पुणे की जनसंख्या कितनी है? 2001 की तुलना में इसमें लगभग कितनी वृद्धि हुई है?
उत्तर:
2011 में पुणे की जनसंख्या: 31,15,431
2001 में पुणे की जनसंख्या: 25,38,473
वृद्धि = 2011 की जनसंख्या – 2001 की जनसंख्या
गणना: 31,15,431 – 2,538,473 = 5,76,958
अनुमानित: जनसंख्या में लगभग 5.8 लाख या करीब 6 लाख की वृद्धि हुई है।

4. 2001 और 2011 के बीच किस नगर की जनसंख्या में सबसे अधिक वृद्धि हुई?
उत्तर:
सबसे बड़ी वृद्धि का पता लगाने के लिए, हम कुछ शीर्ष शहरों के अंतर की गणना करते हैं:
मुंबई: 1,24,42,373 – 1,19,78,450 = 4,63,923
नई दिल्ली: 1,10,07,835 – 98,79,172 = 11,28,663
बेंगलुरु: 84,25,970 – 43,01,326 = 41,24,644
हैदराबाद: 68,09,970 – 36,37,483 = 31,72,487
सूरत: 44,67,797 – 24,33,835 = 20,33,962
इन वृद्धियों की तुलना करने पर, बेंगलुरु में 2001 और 2011 के बीच सबसे अधिक जनसंख्या वृद्धि हुई।

5. क्या यहाँ ऐसे नगर हैं जिनकी जनसंख्या लगभग दो गुनी हो गई है? यह कौन से नगर हैं?
उत्तर:
“लगभग दोगुनी” का अर्थ है कि 2011 की जनसंख्या, 2001 की जनसंख्या के दोगुने के करीब या उससे अधिक है।
बेंगलुरु: 2011 जन. = 84.3 लाख; 2001 का दोगुना = 2 x 43.0 लाख = 86.0 लाख (बहुत करीब)।
हैदराबाद: 2011 जन. = 68.1 लाख; 2001 का दोगुना = 2 x 36.4 लाख = 72.8 लाख दोगुने से कम)।
सूरत: 2011 जन. = 44.7 लाख; 2001 का दोगुना = 2 x 24.3 लाख = 48.6 लाख (करीब)।
वड़ोदरा: 2011 जन. = 35.5 लाख; 2001 का दोगुना = 2 x 16.9 लाख = 33.8 लाख (हाँ, दोगुने से अधिक)।
“लगभग दोगुनी” के मामले में बेंगलुरु बहुत करीब है, जबकि वड़ोदरा की जनसंख्या वास्तव में दोगुनी से अधिक हो गई है।

6. पटना की जनसंख्या को किस संख्या से गुणा किया जाए कि वह मुंबई कि जनसंख्या के लगभग समान हो जाए?
उत्तर:
पटना 2011 जनसंख्या (लगभग) = 16.8 लाख (16,84,222)
मुंबई 2011 जनसंख्या (लगभग) = 124.4 लाख (1,24,42,373)
गुणक = मुंबई की जन./पटना की जन.
गणना: 124.4 / 16.8 ≈ 7.4
हमें मुंबई की जनसंख्या के करीब पहुँचने के लिए पटना की जनसंख्या को लगभग 7 से गुणा करना चाहिए।

क्या आप गुणन और विभाजन के अर्थ का उपयोग करते हुए स्पष्ट कर सकते हैं कि किसी संख्या को 5 से गुणा करना या उसे 2 से भाग करके 10 से गुणा करने के समान संख्या क्यों प्राप्त होती है?
उत्तर:
5 से गुणा करने को (10/2) से गुणा करने के रूप में सोचा जा सकता है।
इसलिए, संख्या × 5 = संख्या × (10/2)।
गुणा और भाग के साहचर्य गुण का उपयोग करते हुए, इसे (संख्या × 10)/2 या (संख्या/2) × 10 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
अभिव्यक्ति (संख्या/2) × 10 (पहले 2 से भाग देना फिर 10 से गुणा करना) तब आसान होती है जब संख्या सम हो।
अभिव्यक्ति (संख्या × 10)/2 (पहले 10 से गुणा करना फिर 2 से भाग देना) हमेशा काम करती है। दोनों ही 5 से गुणा करने के बराबर हैं।

1. इन गुणनफलों का शीघ्र परिकलन करने की विधियाँ ज्ञात कीजिए—
(a) 2 × 1768 × 50
उत्तर:
क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके पुनर्व्यवस्थित करें: (2 × 50) × 1768 = 100 × 1768 = 1,76,800

(b) 72 × 125 [संकेत: 125 = 1000/8]
उत्तर:
72 × (1000/8) = (72/8) × 1000 = 9 × 1000 = 9,000।

(c) 125 × 40 × 8 × 25
उत्तर:
पुनर्व्यवस्थित करें और समूह बनाएं: (125 × 8) × (40 × 25) = 1000 × 1000 = 10,00,000।

2. इन गुणनफलों का परिकलन शीघ्र कीजिए—
(a) 25 × 12 = ______________
उत्तर:
25 × 12 = (100/4) × 12 = 100 × (12/4) = 100 × 3 = 300।

(b) 25 × 240 = ______________
उत्तर:
25 × 240 = (100/4) × 240 = 100 × (240/4) = 100 × 60 = 6,000।

(c) 250 × 120 = ______________
उत्तर:
250 × 120 = (1000/4) × 120 = 1000 × (120/4) = 1000 × 30 = 30,000।

(d) 2500 × 12 = ______________
उत्तर:
2500 × 12 = (10000/4) × 12 = 10000 × (12/4) = 10000 × 3 = 30,000।

(e) ___ × ___ = 120,000,000
उत्तर:
इसके कई उत्तर संभव हैं। यह संख्या 12 करोड़ है।
उदाहरण 1: 12 × 1,00,00,000 = 12,00,00,000
उदाहरण 2: 1,20,000 × 1,000 = 12,00,00,000
उदाहरण 3: 3,000 × 40,000 = 12,00,00,000

गुणनफल कितना लंबा है?
नीचे दिए गए प्रत्येक बक्से में गुणन के रोचक पैटर्न दिखाई देते हैं। पैटर्न ज्ञात करने के लिए उन्हें हल कीजिए। ज्ञात पैटर्न के आधार पर गुणन को आगे बढ़ाइए।

प्रतिरूप सेट 1:
11 × 11 = 121
111 × 111 = 12321
1111 × 1111 = 1234321
(प्रतिरूप: अंक 1 से N तक बढ़ते हैं, फिर N-1 से 1 तक घटते हैं, जहाँ N ‘1’ की संख्या है)।

प्रतिरूप सेट 2:
66 × 66 = 4356
666 × 666 = 443556
6666 × 6666 = 44435556
(प्रतिरूप: N-1 बार 4, फिर एक 3, फिर N-1 बार 5, फिर एक 6, जहाँ N ‘6’ की संख्या है)।

प्रतिरूप सेट 3:
3 × 5 = 15
33 × 35 = 1155
333 × 335 = 111555
(प्रतिरूप: N बार 1 और उसके बाद N बार 5 आता है, जहाँ N पहले गुणक में ‘3’ की संख्या है)।

प्रतिरूप सेट 4:
101 × 101 = 10201
102 × 102 = 10404
103 × 103 = 10609
(प्रतिरूप: ये 100 से ठीक ऊपर की संख्याओं के वर्ग हैं। (100+n)² = 10000 + 200n + n²। परिणाम 1 से शुरू होता है, फिर 2n, और फिर n² आता है, आवश्यकतानुसार शून्य (zeros) जोड़ते हुए, जैसे 10000 + 400 + 4 = 10404)

गुणा की जाने वाली दोनों संख्याओं में अंकों की संख्याओं और प्रत्येक स्तिथि मे उनके गुणनफल को ध्यान से देखिये। क्या गुणा की जाने वाली संख्याओं में और उनके गुणनफल में अंकों की संख्याओं के बीच कोई संबंध है?
उत्तर:
हाँ, एक संबंध है। यदि आप एक M-अंकों वाली संख्या को N-अंकों वाली संख्या से गुणा करते हैं, तो गुणनफल में या तो (M + N – 1) अंक होंगे या (M + N) अंक होंगे।
– अंकों की न्यूनतम संख्या तब होती है जब गुणनफल अपेक्षाकृत छोटा होता है (जैसे, 10 x 10 = 100; M = 2, N = 2, M + N – 1 = 3 अंक)।
– अंकों की अधिकतम संख्या तब होती है जब गुणनफल अपेक्षाकृत बड़ा होता है (जैसे, 99 x 99 = 9801; M = 2, N = 2, M + N = 4 अंक)।

रोक्सी कहती है कि दो 2-अंकों कि दो संख्याओं का गुणनफल केवल 3 या 4 अंकों की संख्या ही हो सकता है। क्या वह सही है?
उत्तर:
हाँ, रोक्सी सही है।
– दो 2-अंकों वाली संख्याओं का सबसे छोटा गुणनफल 10 x 10 = 100 है (जिसमें 3 अंक हैं)।
– दो 2-अंकों वाली संख्याओं का सबसे बड़ा गुणनफल 99 x 99 = 9801 है (जिसमें 4 अंक हैं)।
इसलिए, गुणनफल में या तो 3 या 4 अंक होने चाहिए?

यह जानने के लिए कि रॉक्सी का कथन सही है, क्या हमें 2 अंकों कि संख्याओं के साथ सभी संभव गुणन का प्रयास करना चाहिए? या पता लगाने का कोई उपयुक्त विधि है?
उत्तर:
नहीं, हमें सभी संभावित गुणा करके देखने की आवश्यकता नहीं है। एक बेहतर तरीका चरम सीमाओं की जाँच करना है: सबसे छोटी संभव 2-अंकों वाली संख्याओं (10 x 10) के गुणनफल और सबसे बड़ी संभव 2-अंकों वाली संख्याओं (99 x 99) के गुणनफल की गणना करें। यह परिणाम में अंकों की न्यूनतम और अधिकतम संभव संख्या निर्धारित करता है।

क्या 3 अंकों की संख्या को दूसरी 3 अंकों की संख्या से गुणा करने पर 4 अंकों की संख्या प्राप्त होगी?
उत्तर:
नहीं।
– दो 3-अंकों वाली संख्याओं का सबसे छोटा गुणनफल 100 x 100 = 10,000 है (जिसमें 5 अंक हैं)।
– दो 3-अंकों वाली संख्याओं का सबसे बड़ा गुणनफल 999 x 999 = 998,001 है (जिसमें 6 अंक हैं)।
गुणनफल में हमेशा 5 या 6 अंक होंगे।

क्या 4 अंकों की संख्या को 2 अंकों की संख्या के साथ गुणा करने पर 5-अंकों की संख्या प्राप्त होगी?
उत्तर:
हाँ।
– 4-अंकों और 2-अंकों वाली संख्या का सबसे छोटा गुणनफल 1000 x 10 = 10,000 है (जिसमें 5 अंक हैं)।
– सबसे बड़ा गुणनफल 9999 x 99 = 989,901 है (जिसमें 6 अंक हैं)।
गुणनफल में 5 या 6 अंक हो सकते हैं।

नीचे दिए गए गुणन के कथनों को देखिये। क्या आप कोई पैटर्न देखते हैं? देखिए कि क्या यह पैटर्न अन्य संख्याओं पर भी लागू होता है।
उत्तर:
1-अंक x 1-अंक = 1-अंक या 2-अंक
2-अंक x 1-अंक = 2-अंक या 3-अंक
2-अंक x 2-अंक = 3-अंक या 4-अंक
3-अंक x 3-अंक = 5-अंक या 6-अंक
5-अंक x 5-अंक = 9-अंक या 10-अंक (न्यूनतम अंक = 5 + 5 – 1 = 9; अधिकतम अंक = 5 + 5 = 10)
8-अंक x 3-अंक = 10-अंक या 11-अंक (न्यूनतम अंक = 8 + 3 – 1 = 10; अधिकतम अंक = 8 + 3 = 11)
12-अंक x 13-अंक = 24-अंक या 25-अंक (न्यूनतम अंक = 12 + 13 – 1 = 24; अधिकतम अंक = 12 + 13 = 25)

1. 1250 x 380 = ? (पुरंदरदास द्वारा रचित कीर्तनों की संख्या)
उत्तर:
गणना: 1250 x 380 = 125 x 10 x 38 x 10 = (125 x 38) x 100
= (125 x (40 – 2)) x 100 = ((125 x 40) – (125 x 2)) x 100
= (5000 – 250) x 100 = 4750 x 100 = 4,75,000.
परिणाम: 4,75,000 कीर्तन (चार लाख पचहत्तर हजार कीर्तन)।

2. पुरंदरदास के बारे में प्रश्न: यदि उन्होंने 4,75,000 गीतों की रचना की, तो उन्हें प्रति वर्ष कितने गीतों की रचना करनी पड़ी?
उत्तर:
पाठ में उन वर्षों की संख्या नहीं दी गई है जितने वर्षों तक पुरंदरदास जीवित रहे या रचना की। उस समयावधि को जाने बिना जिसके दौरान इन गीतों की रचना की गई थी, हम प्रति वर्ष रचित गीतों की संख्या की गणना नहीं कर सकते।

3. 2100 x 70,000 = ? (पृथ्वी-सूर्य की अनुमानित दूरी किमी में)
उत्तर:
गणना: 2100 x 70,000 = (21 x 100) x (7 x 10,000)
= (21 x 7) x (100 x 10,000) = 147 x 1,000,000 = 14,70,00,000.
परिणाम: 14,70,00,000 किमी (चौदह करोड़ सत्तर लाख किमी)।

1. पृथ्वी-सूर्य की दूरी के बारे में प्रश्न: उन्होंने सूर्य और पृथ्वी के बीच की दूरी को कैसे मापा होगा?
उत्तर:
दिए गए पाठ में पृथ्वी और सूर्य के बीच की दूरी मापने के लिए उपयोग की जाने वाली विधि की व्याख्या नहीं की गई है। (ऐतिहासिक रूप से विधियों में लंबन जैसी तकनीकें शामिल हैं, और आधुनिक विधियों में रडार माप और ग्रहों की गति के केप्लर के नियम शामिल हैं)।

2. 6400 x 62,500 = ? (अमेज़न नदी का औसत लीटर/सेकंड जल विसर्जन)
उत्तर:
गणना: 6400 x 62,500 = (64 x 100) x (625 x 100)
= (64 x 625) x (100 x 100)
64 x 625 की गणना करने के लिए: 64 x 625 = 64 x (600 + 25) = (64 x 600) + (64 x 25) = 38400 + 1600 = 40,000.
परिणाम = 40,000 x 10,000 = 40,00,00,000.
परिणाम: 40,00,00,000 लीटर/सेकंड (चालीस करोड़ लीटर/सेकंड)।

3. 13,95,000/150 = ? (एकल-ट्रेन की सबसे लंबी यात्रा की किमी में दूरी)
उत्तर:
गणना: 13,95,000/150 = 1,39,500/15
= (1,35,000 + 4,500)/15 = (1,35,000/15) + (4,500/15)
= 9,000 + 300 = 9,300.
परिणाम: 9,300 किमी।

1. 10,50,00,000 / 700 = ? (एक वयस्क ब्लू व्हेल का वजन इससे अधिक हो सकता है)
उत्तर:
गणना: 10,50,00,000 / 700 = 10,50,000 / 7
= (7,00,000 + 3,50,000) / 7 = (7,00,000 / 7) + (3,50,000 / 7)
= 1,00,000 + 50,000 = 1,50,000.
परिणाम: 1,50,000 किग्रा।

2. 52,00,00,00,000 / 130 = ? (2021 में उत्पन्न वैश्विक प्लास्टिक कचरे का वजन टन में)
उत्तर:
गणना: 52,00,00,00,000 / 130 = 5,20,00,00,000 / 13
चूंकि 52 / 13 = 4, इसलिए 5,20,00,00,000 / 13 = 40,00,00,000.
परिणाम: 40,00,00,000 टन (चालीस करोड़ टन)।

क्या मुंबई की पूरी जनसंख्या एक लाख बसों में समा सकती है?
उत्तर:
– एक बस की क्षमता 50 लोग मान लें।
– 1 लाख बसों की कुल क्षमता = 1,00,000 बसें x 50 लोग/बस = 50,00,000 लोग (50 लाख)।
– मुंबई की जनसंख्या (पेज 12 से) 1,24,42,373 है (1 करोड़ 24 लाख से अधिक)।
चूंकि 50 लाख, 1 करोड़ 24 लाख से बहुत कम है, इसलिए नहीं, मुंबई की पूरी आबादी 1 लाख बसों में नहीं समा सकती।

आर.एम.एस टाइटैनिक जहाज पर लगभग 2,500 यात्री सवार थे। क्या मुंबई की जनसंख्या ऐसे 5000 जहाजों में समा सकती है?
उत्तर:
सबसे पहले, टाइटैनिक के आकार के 5000 जहाजों की कुल क्षमता की गणना करें।
– क्षमता = 5000 जहाज x 2500 यात्री/जहाज = 1,25,00,000 यात्री।
यह क्षमता 1 करोड़ 25 लाख है। मुंबई की जनसंख्या 1,24,42,373 है (1 करोड़ 24 लाख से कुछ अधिक)।
चूंकि क्षमता (1.25 करोड़) मुंबई की जनसंख्या (लगभग 1.24 करोड़) से थोड़ी अधिक है, इसलिए हाँ, मुंबई की आबादी ऐसे 5000 जहाजों में (मुश्किल से) समा सकती है।

“यदि मैं 100 किलोमीटर की यात्रा प्रत्येक दिन करूँ तो क्या मैं चाँद तक 10 वर्षों में पहुँच सकती हूँ?” (पृथ्वी और चाँद के बीच की दुरी 3,84,400 किलोमीटर है।)
उत्तर:
10 वर्षों में तय की गई कुल दूरी की गणना करें।
– प्रति वर्ष दूरी = 100 किमी/दिन x 365 दिन/वर्ष = 36,500 किमी।
– 10 वर्षों में दूरी = 36,500 किमी/वर्ष x 10 वर्ष = 3,65,000 किमी।
तय की गई दूरी (3,65,000 किमी) की तुलना चंद्रमा की दूरी (3,84,400 किमी) से करें।
चूंकि 3,65,000 किमी, 3,84,400 किमी से कम है, इसलिए नहीं, आप प्रतिदिन 100 किमी की यात्रा करके 10 वर्षों में चंद्रमा तक नहीं पहुँच पाएंगे।

यदि आप प्रतिदिन 1000 किलोमीटर की यात्रा करते हैं तो पता लगाइए कि क्या आप अपने जीवनकाल में सूर्य तक पहुँच सकते हैं? (आपने पृथ्वी और सूर्ये के बीच की दुरी को पिछले ‘पृष्ठ 16’ मे देखा था।)
उत्तर:
जीवन भर (100 वर्ष मानकर) में तय की गई दूरी की गणना करें।
– प्रति वर्ष दूरी = 1000 किमी/दिन x 365 दिन/वर्ष = 3,65,000 किमी।
– 100 वर्षों में दूरी = 3,65,000 किमी/वर्ष x 100 वर्ष = 3,6,500,000 किमी (3 करोड़ 65 लाख किमी)।
तय की गई दूरी (लगभग 3.65 करोड़ किमी) की तुलना सूर्य की दूरी (14.7 करोड़ किमी) से करें।
चूंकि 3,65,00,000 किमी, 14,70,00,000 किमी से बहुत कम है, इसलिए नहीं, आप प्रतिदिन 1000 किमी की यात्रा करके 100 साल के जीवनकाल में सूर्य तक नहीं पहुँच सकते।

आवश्यक तर्कसंगत कल्पना कीजिए और नीचे दिए गए प्रश्नों के उत्तर दीजिए—
(a) यदि कागज की एक शीट (पत्रक) का भार 5 ग्राम हो, तो क्या आप एक लाख कागज की शीटो को एक साथ उठा सकते हो?
उत्तर:
कुल वजन की गणना करें।
– कुल वजन = 1,00,000 शीट x 5 ग्राम/शीट = 5,00,000 ग्राम।
– किलोग्राम में बदलें: 5,00,000 ग्राम / 1000 ग्राम/किग्रा = 500 किग्रा।
धारणा: एक सामान्य व्यक्ति 500 किग्रा नहीं उठा सकता।
निष्कर्ष: नहीं, आप एक साथ एक लाख कागज की शीट नहीं उठा सकते।

(b) यदि पुरे विश्व में प्रत्येक मिनट मे 250 शिशु जन्म लेते हैं तो क्या एक दिन में 10 लाख (1 मिलियन) शिशु जन्म ले सकते हैं?
उत्तर:
एक दिन में पैदा होने वाले बच्चों की संख्या की गणना करें।
– प्रति घंटे बच्चे = 250 बच्चे/मिनट x 60 मिनट/घंटा = 15,000 बच्चे/घंटा।
– प्रति दिन बच्चे = 15,000 बच्चे/घंटा x 24 घंटे/दिन = 3,60,000 बच्चे/दिन।
इसकी तुलना दस लाख (10,00,000) से करें।
चूंकि 3,60,000 दस लाख से कम है, इसलिए नहीं, इस दर पर एक दिन में दस लाख बच्चे पैदा नहीं होंगे।

(c) क्या आप 10 लाख सिक्कें को एक दिन में गिन सकते हैं? मान लीजिए कि आप प्रत्येक सेकंड में 1 सिक्का गिन सकते हो।
उत्तर:
एक दिन में सेकंडों की संख्या की गणना करें।
– प्रति दिन सेकंड = 60 सेकंड/मिनट x 60 मिनट/घंटा x 24 घंटे/दिन = 86,400 सेकंड।
यदि आप प्रति सेकंड 1 सिक्का गिनते हैं, तो आप एक दिन में 86,400 सिक्के गिन सकते हैं।
इसकी तुलना दस लाख (1,00,0000) से करें।
चूंकि 86,400 दस लाख से बहुत कम है, इसलिए नहीं, आप प्रति सेकंड 1 की दर से एक दिन में 10 लाख सिक्के नहीं गिन सकते।

1. 10 अंकों की संख्या बनाने के लिए 0 से 9 तक सभी अंकों को एक बार (पहला अंक 0 नहीं हो सकता) प्रयोग करते हुए लिखिए—
(a) 5 का सबसे बड़ा गुणज
उत्तर:
सबसे बड़ी संख्या बनाने के लिए, अंकों को अवरोही क्रम (descending order) में व्यवस्थित करें: 9876543210। 5 का गुणज होने के लिए, संख्या के अंत में 0 या 5 होना चाहिए। अंत में 0 रखने से सबसे बड़ी संख्या प्राप्त होती है।
5 का सबसे बड़ा गुणज: 9,876,543,210

(b) सबसे छोटी सम संख्या
उत्तर:
सबसे छोटी संख्या बनाने के लिए, अंकों को आरोही क्रम (ascending order) में व्यवस्थित करें, यह सुनिश्चित करते हुए कि पहला अंक 0 न हो। संख्या एक सम अंक (0, 2, 4, 6, 8) पर समाप्त होनी चाहिए।
सबसे छोटी शुरुआत: 10234… सबसे छोटी सम संख्या बनाने के लिए अंतिम अंक सम होना चाहिए। हमारे पास उपलब्ध अंक 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 हैं।
छोटी संख्या 10234567 से शुरू होती है। बचे हुए अंक 8 और 9 हैं। इसे सम बनाने के लिए इसे 8 पर समाप्त होना चाहिए।
सबसे छोटी सम संख्या: 1,023,456,798

2. संख्या 10,30,285 शब्दों में दस लाख तीस हजार दो सौ पिचासी है जिसमें 14 अक्षर है। 7 अंकों की ऐसी संख्या का नाम लिखिए जिसमें अक्षरों की संख्या अधिकतम हो।
उत्तर:
7-अंकीय संख्या जिसमें हिंदी अक्षरों की संख्या अधिकतम है
संख्या: 77,77,777
शब्दों में: सतहत्तर लाख सतहत्तर हज़ार सात सौ सतहत्तर
अक्षरों की गणना: सतहत्तर(5) + लाख(2) + सतहत्तर(5) + हज़ार(3) + सात(2) + सौ(2) + सतहत्तर(5) = 24 अक्षर।
व्याख्या: सतहत्तर (77) शब्द हिंदी गिनती के सबसे लंबे शब्दों में से एक है, जिसमें 5 अक्षर (स, त, ह, त्त, र) आते हैं।
यदि हम ‘अठासी’ (88) जैसी अन्य लंबी संख्याओं को चुनते हैं, तो उसमें केवल 4 अक्षर होते हैं।
इसलिए, 77,77,777 वह संख्या है जो हिंदी में लिखने पर सबसे अधिक अक्षरों वाली 7-अंकीय संख्या बनती है।

3. 9 अंकों की ऐसी संख्या लिखिए जिसमें किन्हीं दो अंकों को परस्पर बदलने पर एक बड़ी संख्या प्राप्त हो। ऐसी कितनी संख्याएँ हैं?
उत्तर:
किसी भी अंक के आदान-प्रदान से बड़ी संख्या प्राप्त करने के लिए, मूल संख्या के अंक बाएं से दाएं कड़ाई से घटते क्रम में होने चाहिए।
1 से 9 तक के अलग-अलग अंकों का उपयोग करते हुए: एकमात्र संभावना 987,654,321 है।
9-अंकों की केवल 1 ऐसी संख्या है: 987,654,321

4. संख्या 12345123451234512345 में से 10 अंको को इस प्रकार काटिए कि शेष संख्या संभवत: बड़ी से बड़ी हो।
उत्तर:
मूल संख्या में 20 अंक हैं। सबसे बड़ी संख्या बनाने के लिए हमें 10 अंक रखने होंगे। हम बाएं से दाएं देखते हुए उन अंकों को रखेंगे जो संख्या को बड़ा बनाते हैं।
प्रक्रिया: पहले चार ‘1234’ को काटें और ‘5’ रखें। इसी तरह अगले ‘1234’ को काटकर दूसरा ‘5’ रखें। अंत में बचे हुए अंकों में से बड़े अंकों को प्राथमिकता दें।
(नोट: पूर्ण समाधान के लिए रणनीतिक रूप से बड़े अंकों जैसे 5, 4, 5 आदि को बचाना होगा)।

5. शब्द ‘बारह’ और ‘तेरह’ मे अक्षर (र और ह) समान है। शब्द ‘तेरह’ और ‘चौदह’ मे अक्षर (ह) समान है और शब्द ‘चौदह’ और ‘पंद्रह’ मे अक्षर (द और ह) समान हैं। ऐसी दो क्रमागत संख्याओ को ज्ञात करने के लिए आपको कहाँ तक गिनना होगा जिसमें कोई भी अक्षर उभयनिष्ठ न हो?
उत्तर:
हमें ऐसी दो लगातार संख्याएँ ढूँढनी हैं जिनके नाम लिखने पर उनमें कोई भी अक्षर एक जैसा (Common) न हो।
जब हम 18 और 19 पर पहुँचते हैं, तो यह शर्त पूरी होती है:
18 (अठारह): इसमें अ, ठा, र, ह अक्षर हैं।
19 (उन्नीस): इसमें उ, न्, नी, स अक्षर हैं।
जैसा कि आप देख सकते हैं, ‘अठारह’ और ‘उन्नीस’ के अक्षरों में कुछ भी एक जैसा नहीं है। इसलिए आपको उन्नीस (19) तक गिनना होगा।
वह दो क्रमागत संख्याएँ अठारह (18) और उन्नीस (19) हैं।

6. मान लीजिए कि आप सभी संख्याओं 1, 2, 3, 4, …, 9, 10, 11, … लिखते हैं। आपके द्वारा लिखा गया दसवां अंक ‘1’ है और ग्यारहवां अंक ‘0’ है संख्या 10 का भाग है।
(a) 1000वां अंक क्या होगा? यह किस संख्या पर आएगा?
उत्तर:
1 से 9 तक: 9 अंक।
10 से 99 तक: 180 अंक (90 संख्याएँ × 2 अंक)।
99 तक कुल अंक हो गए = 189।
हमें 1,000 तक पहुँचने के लिए और अंक चाहिए = 1,000 – 189 = 811।
99 के बाद हर संख्या 3 अंकों की है।
811 ÷ 3 = 270 पूरी संख्याएँ और 1 शेष अंक।
इसका मतलब 99 के बाद 270वीं संख्या 369 है।
अगली संख्या 370 है और शेष 1 अंक का मतलब इसका पहला अंक।
1,000वाँ अंक 3 है और यह संख्या 370 पर आएगा।

(b) किस संख्या में 10 लाखवाँ अंक आएगा?
उत्तर:
99,999 तक कुल अंक: 4,88,889 होते हैं।
10,00,000 तक पहुँचने के लिए और अंक चाहिए = 5,11,111
अब हर संख्या 6 अंकों की है।
5,11,111 ÷ 6 = 85,185 पूरी संख्याएँ और 1 शेष अंक।
संख्या = 99,999 + 85,185 = 1,85,184
अगली संख्या 1,85,185 है।
10 लाखवाँ अंक संख्या 1,85,185 में आएगा।

(c) आपने अंक 5 को 5000वीं बार कब लिखा होगा?
उत्तर:
1 से 10,000 तक: अंक ‘5’ कुल 4,000 बार आता है।
अब हमें 1,000 बार और ‘5’ चाहिए।
जैसे ही हम 15,000 वाली गिनती शुरू करते हैं, हर संख्या के शुरू में ‘5’ आता है (जैसे 15,000, 15,001…), जिससे गिनती बहुत तेज़ी से बढ़ती है।
पूरी गणना के अनुसार, जब आप संख्या 15,406 पर पहुँचेंगे, तब आप ‘5’ को 5,000वीं बार लिख चुके होंगे।
अंक ‘5’ को 5,000वीं बार आप संख्या 15,406 पर लिखेंगे।

7. एक गणक में केवल ‘+10,000’ और ‘+100’ के ही बटन हैं। निम्नलिखित संख्याओं को बनाने के लिए बटनों को दबाने की संख्या का वर्णन करते हुए एक व्यंजक लिखिए—
(a) 20,800
उत्तर:
(2 x +10,000) + (8 x +100)। क्लिक = 2 + 8 = 10

(b) 92,100
उत्तर:
(9 x +10,000) + (21 x +100)। क्लिक = 9 + 21 = 30

(c) 1,20,500
उत्तर:
(12 x +10,000) + (5 x +100)। क्लिक = 12 + 5 = 17

(d) 65,30,000
उत्तर:
(653 x +10,000) + (0 x +100)। क्लिक = 653 + 0 = 653

(e) 70,25,700
उत्तर:
(702 x +10,000) + (57 x +100)। क्लिक = 702 + 57 = 759

8. कितने लाख मिलकर एक बिलियन बनते हैं?
उत्तर:
एक बिलियन 1,000,000,000 होता है। एक लाख 1,00,000 होता है।
लाख की संख्या = 1,000,000,000 / 1,00,000 = 10,000।
अतः, 10,000 लाख मिलकर एक बिलियन बनाते हैं।

9. आपको 1 से 9 तक संख्यांकित संख्या पत्रकों के दो समूह दिए गए हैं। नीचे दिए गए प्रत्येक बक्शे में एक संख्या पत्रक को रखकर निम्न परिणामों को प्राप्त कीजिए:
(a) सबसे बड़ा संभावित योगफल
(b) दो परिणामी संख्याओं का सबसे छोटा संभावित अंतर

उत्तर:
(a) सबसे बड़ा संभावित योगफल
सबसे बड़ा योग पाने के लिए हर स्थान पर सबसे बड़ी संख्या (9) रखना सबसे अच्छा रहेगा।
7-अंकीय संख्या = 9999999
5-अंकीय संख्या = 99999
योग = 9999999 + 99999 = 10099998
अधिकतम योग = 1,00,99,998

(b) दो परिणामी संख्याओं का सबसे छोटा संभावित अंतर
अंतर को न्यूनतम करने के लिए:
बड़ी (7-अंकीय) संख्या को जितना छोटा हो सके बनाएं
छोटी (5-अंकीय) संख्या को जितना बड़ा हो सके बनाएं
7-अंकीय संख्या = 1111111
5-अंकीय संख्या = 99999
अंतर = 1111111 − 99999 = 1011112
न्यूनतम अंतर = 10,11,112

10. आपको कुछ संख्या पत्रक— 4000, 13000, 300, 70000, 150000, 20 और 5 दिए गए हैं। इन पत्रकों का उपयोग करके आप अपनी इच्छानुसार किन्हीं भी संक्रियाओं का उपयोग करके नीचे दि गई संख्याओं के जितना हो सके उतना निकटतम पँहुच सकते हैं। एक विशिष्ट संख्या को बनाने के लिए प्रत्येक पत्रक का उपयोग केवल एक बार किया जा सकता है।
(a) 1,10,000— मै इसका निकटतम 4000 × (20 + 5) + 13000 = 1,13,000
उत्तर:
4000 × (20 + 5) + 13000 = 1,13,000
= 4000 × 25 + 13000
= 1,00,000 + 13000 = 1,13,000
यहाँ एक और तरीका है जिससे 1,10,000 के और भी करीब (1,10,320) पहुँच सकते हैं
70000 + (4000 × 5) + 13000 + 300 + 20 = 70000 + 20000 + 13000 + 300 + 20 = 103,320.

(b) 2,00,000—
उत्तर:
प्रयास: 150000 + 70000 – (4000 × 5) = 2,00,000 (सटीक उत्तर)

(c) 5,80,000—
उत्तर:
प्रयास: 150000 × (20/5) – 13000 – 4000 = 5,83,000

(d) 12,45,000—
उत्तर:
प्रयास: (70000 × 20) – 150000 – 5 = 12,49,995

(e) 20,90,800—
उत्तर:
प्रयास: (4000 × (150000/300)) + 70000 + 13000 + (20 × 5) = 20,83,100

11. पता लगाइए ‘एकता कि प्रतिमा’ की ऊंचाई से मिलान करने के लिए कितने सिक्कों का ढेर लगाना चाहिए। मान लीजिए कि प्रत्येक सिक्के की मोटाई 1 मिलीलीटर है।
उत्तर:
मूर्ति की ऊंचाई मिमी में = 180 मीटर × 1000 = 1,80,000 मिमी।
सिक्कों की संख्या = 1,80,000 मिमी / 1 मिमी = 1,80,000 सिक्के।
लगभग 1,80,000 सिक्कों की आवश्यकता है।

12. एक बहुत बड़े समुंद्री पक्षी एल्बाट्रॉस के पंखो का फैलाव 7 फीट चौड़ा होता है। वे कई महासागरों में स्थानांतरण के लिए जाने जाते है। एल्बाट्रॉस एक दिन लगभग 900 से 1000 किलोमीटर की दूरी तय कर सकता हैं। रिकॉर्ड मे सबसे लंबी एकल यात्रा 12,000 किलोमीटर है। प्रशांत महासागर को पार करने मे एसी यात्रा मे लगभग कितने दिन लगेंगे?
उत्तर:
कुल दूरी: 12,000 किलोमीटर
एक दिन की दूरी: 900 से 1000 किलोमीटर
स्थिति 1 यदि 1000 किमी प्रतिदिन उड़े:
12,000 ÷ 1000 = 12दिन।
स्थिति 2 यदि 900 किमी प्रतिदिन उड़े:
12,000 ÷ 900 = 13.33 दिन
प्रशांत महासागर को पार करने वाली 12,000 किलोमीटर की इस लंबी यात्रा में एल्बाट्रास को लगभग 12 से 14 दिन का समय लगेगा।

13. लिमोसा (एक पक्षी) के नाम सबसे लंबी अविरत उड़ान का रिकॉर्ड दर्ज है। बिना रुके अलास्का से ऑस्ट्रेलिया 13,560 किलोमीटर कि। यह यात्रा 13 अक्टूबर 2022 से आरंभ होकर 11 दिन लगातार चली। उसके द्वारा प्रत्येक दिन में तय की गई लगभग दुरी ज्ञात कीजिए। पता लगाइए कि उसने प्रत्येक घंटे कितनी दुरी तय कि।
उत्तर:
कुल दूरी: 13,560 किलोमीटर
कुल समय (दिनों में): 11 दिन
प्रतिदिन तय की गई दूरी:
प्रतिदिन की औसत दूरी निकालने के लिए हम कुल दूरी को दिनों की संख्या से भाग करते हैं।
13,560 ÷ 11 = 1,232.72 किमी
पक्षी ने प्रतिदिन लगभग 1,233 किलोमीटर की दूरी तय की।
प्रति घंटे तय की गई दूरी:
एक दिन में 24 घंटे होते हैं। इसलिए, प्रति घंटे की दूरी निकालने के लिए हम प्रतिदिन की दूरी को 24 से भाग करेंगे।
1,232.72 ÷ 24 = 51.36 किमी
पक्षी ने प्रत्येक घंटे लगभग 51 किलोमीटर की दूरी तय की।
प्रतिदिन की दूरी: 1,233 किमी (लगभग)
प्रति घंटे की दूरी: 51 किमी (लगभग)

14. बॉल्ड ईगल को भूतल से 4500 से 6000 मीटर की ऊंचाई तक उड़ने के लिए जाना जाता है। माउंट एवरेस्ट कि ऊँचाई लगभग 8850 मीटर है। हवाई जहाज 10,000 से 12,800 मीटर की ऊँचाई तक उड़ सकता हैं। सोमू के भवन की तुलना में ये ऊंचाइयां कितनी गुना बड़ी हैं?
उत्तर:
बॉल्ड ईगल की ऊँचाई:
अधिकतम ऊँचाई: 6,000 मीटर
तुलना: 6000 ÷ 40 = 150
बॉल्ड ईगल सोमू के भवन से 150 गुना अधिक ऊँचाई पर उड़ता है।
माउंट एवरेस्ट की ऊँचाई:
ऊँचाई: 8,850 मीटर
तुलना: 8850 ÷ 40 = 221.25
माउंट एवरेस्ट सोमू के भवन से लगभग 221 गुना ऊँचा है।
हवाई जहाज की ऊँचाई:
अधिकतम ऊँचाई: 12,800 मीटर
तुलना: 12800 ÷ 40 = 320
हवाई जहाज सोमू के भवन से 320 गुना अधिक ऊँचाई पर उड़ सकता है।