कक्षा 6 गणित अध्याय 11 एनसीईआरटी समाधान – बीजगणित

बीजगणित:
बीजगणित गणित की वह शाखा जिसके अंतर्गत संख्याओं के स्थान पर चिन्हों का इस्तेमाल किया जाता है। बीजगणित चर और अचर राशियों के समीकरण को हल करने तथा चर राशियों के मान को निकालने पर आधारित है।
मुख्य अवधारणाएँ एवं परिणाम

• 1. चर शब्द का अर्थ है कोई वस्तु जो विचरण कर सके, अर्थात्‌ बदल (या परिवर्तित हो) सके। एक चर का मान निश्चित नहीं होता। हम एक संख्या को निरूपित करने के लिए चर का प्रयोग करते हैं तथा इसे किसी अक्षर जैसे: l, m, n, p, x, y, z, इत्यादि से व्यक्त करते हैं।
• 2. एक चर किसी भी व्यावहारिक स्थिति में संबंध को व्यक्त करने तथा ज्यामिति, बीजगणित इत्यादि वे अनेक सामान्य नियमों और गुणों को व्यक्त करने में हमें समर्थ बनाता है।
• 3. एक चर और समता के चिह्न (=) वाला व्यंजक एक समीकरण कहलाता है।
• 4. चर का वह मान जो एक समीकरण को संतुष्ट करता है उस समीकरण का एक हल कहलाता है।

चर
चर वह राशि होती हैं जिनका मान गणितीय समीकरण में बदलता रहता है।
n चर का एक उदाहरण है। इसका मान स्थिर नहीं है; यह कोई भी मान 1, 2, 3, 4, …. ले सकता है।
सामान्य नियमों में चरों का प्रयोग
वर्ग का परिमाप: एक बहुभुज (3 या अधिक रेखाखंडों से बनी बंद आकृति) का परिमाप उसकी भुजाओं की लंबाइयों का योग होता है। वर्ग में चार भुजाएँ होती हैं और प्रत्येक की लंबाई बराबर होती है।
अत:, वर्ग का परिमाप = वर्ग की भुजाओं की लंबाइयों का योग
= l + l + l + l = 4 × l = 4l यहाँ पर l एक चार राशि है।
इसी प्रकार आयत का परिमाप = 2l + 2b, यहाँ l लम्बाई है तथा b चौड़ाई है।
दो संख्याओं के योग की क्रमविनिमेयता
किसी भी दो पूर्ण संख्याओं के लिए यह सत्य है। संख्याओं का यह गुण संख्याओं के योग की क्रमविनिमेयता है। a + b = b + a
माना, a = 3, b = 4
3 + 4 = 4 + 3
दो संख्याओं के गुणन की क्रमविनिमेयता
गुणन में संख्याओं के क्रम को बदलने पर गुणनफल में कोई परिवर्तन नहीं आता है। उदाहणार्थ,
a x b = b x a
4 × 3 = 12 और 3 × 4 = 12
अतः, 4 × 3 = 3 × 4
संख्याओं का यह गुण संख्याओं के गुणन की क्रमविनिमेयता कहलाता है।
संख्याओं की वितरणता
a × (b + c) = a × b + a × c
7 × 38 = 7 × (30 + 8)
= 7 × 30 + 7 × 8
= 210 + 56
= 266