एनसीईआरटी समाधान कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 7 संभावनाओं का गणित – प्रायिकता का परिचय

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 7 के त्वरित लिंक:

• प्रश्नावली 7.1
• प्रश्नावली 7.2
• प्रश्नावली 7.3
• प्रश्नावली 7.4
• अंतिम प्रश्नावली

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कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 7 प्रश्नावली 7.1 समाधान

(i) आगामी सोमवार रविवार के पश्चात आएगा।
(ii) मुंबई में जुलाई महीने में बर्फबारी होगी।
(iii) आज आपकी कक्षा से एक हाथी गुजरेगा।
(iv) कल आप अपने विद्यालय में कम-से-कम एक मित्र का अभिवादन करेंगे।
उत्तर:
(i) निश्चित – प्रायिकता = 1
कारण:
सप्ताह के दिन सदैव एक निश्चित क्रम का पालन करते हैं। रविवार के बाद हमेशा सोमवार ही आता है। यह निश्चित रूप से होगा, अतः इसकी प्रायिकता 1 है।
(ii) असंभव – प्रायिकता = 0
कारण:
मुंबई की जलवायु उष्णकटिबंधीय है। जुलाई में वहाँ मानसून का मौसम होता है, जिसमें गर्म और आर्द्र मौसम रहता है। वहाँ बर्फबारी संभव नहीं है। अतः यह घटना बिल्कुल भी नहीं हो सकती, इसकी प्रायिकता 0 है।
(iii) असंभव – प्रायिकता = 0
कारण:
सामान्य परिस्थितियों में, किसी हाथी का विद्यालय की कक्षा में चलकर आना संभव नहीं है। यह घटना व्यावहारिक रूप से नहीं हो सकती, अतः इसकी प्रायिकता 0 (या 0 के अत्यंत निकट) है।
(iv) अधिक संभव  – प्रायिकता 1 के निकट है, परंतु ठीक 1 नहीं
कारण:
विद्यालय में आपके आस-पास कई मित्र होते हैं। यह अत्यंत संभावित है कि आप कम-से-कम एक मित्र का अभिवादन करेंगे। इसकी संभावना बहुत अधिक है, अतः यह घटना “अधिक संभव” है। यह “निश्चित” नहीं है क्योंकि कुछ दुर्लभ परिस्थितियाँ हो सकती हैं (जैसे आप अनुपस्थित हों या विद्यालय बंद हो), परंतु सामान्यतः यह घटित होगी।

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 7 प्रश्नावली 7.2 समाधान

10 लाल मिठाइयाँ | 8 हरी मिठाइयाँ | 7 पीली मिठाइयाँ | 5 नीली मिठाइयाँ
(i) प्रतिदर्श से यादृच्छिक रूप से हरी मिठाई निकालने की प्रायिकता की गणना कीजिए।
(ii) यदि बड़े थैले में कुल 600 मिठाइयाँ हैं तो प्रतिदर्श के परिणामों के आधार पर आकलन कीजिए कि कितनी मिठाइयों के पीले रंग के होने की संभावना है?
उत्तर:
(i) हरी मिठाइयों की संख्या = 8
प्रतिदर्श में कुल मिठाइयाँ = 30
P(हरी) = 8/30 = 4/15 ≈ 0.267

(ii) पीली मिठाइयों की संख्या = 7
प्रतिदर्श में कुल मिठाइयाँ = 30
P(पीली) = 7/30
600 में पीली मिठाइयों की अनुमानित संख्या = (7/30) × 600 = 7 × 20 = 140
अतः, लगभग 140 मिठाइयों के पीले रंग की होने की संभावना है।

14 विद्यार्थी — विज्ञान क्लब | 11 विद्यार्थी — कला क्लब
9 विद्यार्थी — खेल क्लब | 6 विद्यार्थी — वाद-विवाद क्लब
मान लीजिए कि पूरे विद्यालय में 800 विद्यार्थी हैं।
(i) प्रतिदर्श से यादृच्छिक चयनित विद्यार्थी की प्राथमिकता कला क्लब के होने की प्रायिकता क्या है?
(ii) प्रतिदर्श के परिणामों का उपयोग करके आकलन कीजिए कि पूरे विद्यालय में कितने विद्यार्थी खेल क्लब को प्राथमिकता देंगे।
उत्तर:
(i) कला क्लब को प्राथमिकता देने वाले विद्यार्थियों की संख्या = 11
प्रतिदर्श में कुल विद्यार्थी = 40
P(कला क्लब) = 11/40 = 0.275

(ii) खेल क्लब को प्राथमिकता देने वाले विद्यार्थियों की संख्या = 9
प्रतिदर्श में कुल विद्यार्थी = 40
P(खेल क्लब) = 9/40
पूरे विद्यालय में अनुमानित संख्या = (9/40) × 800 = 9 × 20 = 180
अतः, पूरे विद्यालय में लगभग 180 विद्यार्थी खेल क्लब को प्राथमिकता देंगे।

(i) आपने कितनी बार चित प्राप्त किया?
(ii) आपने कितनी बार पट प्राप्त किया?
(iii) चित प्राप्त करने की प्रायोगिक प्रायिकता की गणना कीजिए।
(iv) यदि आप सिक्के को एक और बार उछालते हैं तब चित प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?
उत्तर:
(i) चित प्राप्त हुआ = 11 बार

(ii) पट प्राप्त हुआ = 9 बार

(iii) P(चित) = चित की संख्या / कुल उछालों की संख्या
= 11/20
= 0.55

(iv) यह एक नया स्वतंत्र उछाल है। किसी भी एकल निष्पक्ष सिक्के को उछालने पर पट प्राप्त होने की सैद्धांतिक प्रायिकता सदैव होती है।

उत्तर:
यह एक प्रायोगिक गतिविधि है। मान लीजिए इस प्रयोग से निम्नलिखित अवलोकन प्राप्त होते हैं:
तल = 35, ऊपरी भाग = 15, पार्श्व = 50
अतः:
P(तल) = तल पर गिरने की संख्या / 100
⇒ P(तल) = 35/100
P(ऊपरी भाग) = ऊपरी भाग पर गिरने की संख्या / 100
⇒ P(ऊपरी भाग) = 15/100
P(पार्श्व) = पार्श्व पर गिरने की संख्या / 100
⇒ P(पार्श्व) = 50/100

उत्तर:
कुल संभावित परिणाम S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
सम संख्याएँ = {2, 4, 6}
अतः, अनुकूल परिणामों की संख्या = 3
अतः, P(सम संख्या) = 3/6 = 1/2

(i) पासे पर ‘3’ आने की प्रायोगिक प्रायिकता क्या है?
(ii) पासे पर ‘3’ आने की सैद्धांतिक प्रायिकता क्या है?
(iii) इन प्रायिकताओं में भिन्नता क्यों हो सकती है? यदि आप पासे को 60, 600 या 6000 बार फेंके तो क्या प्राप्त होने की अपेक्षा करेंगे?
उत्तर:
(i) प्रायोगिक रूप से P(3) = 3/12 = 1/4

(ii) सैद्धांतिक रूप से P(3) = 1/6

(iii) प्रायोगिक प्रायिकता, सीमित संख्या में परीक्षणों के वास्तविक परिणामों पर आधारित होती है। केवल 12 बार फेंकने पर, संयोगवश परिणामों में काफी भिन्नता हो सकती है।
सैद्धांतिक प्रायिकता एक पूर्णतः निष्पक्ष पासे को मानकर चलती है, जिसमें सभी परिणाम समान रूप से संभावित होते हैं।
जैसे-जैसे परीक्षणों की संख्या बढ़ती है:

• 60 बार फेंकने पर: प्रायोगिक प्रायिकता 1/6 के निकट आ जाएगी, परंतु फिर भी कुछ भिन्नता हो सकती है।
• 600 बार फेंकने पर: यह 1/6 के अत्यंत निकट होगी।
• 6000 बार फेंकने पर: यह लगभग ठीक 1/6 के बराबर होगी।

यह बड़ी संख्याओं का नियम है – जैसे-जैसे परीक्षणों की संख्या बढ़ती है, प्रायोगिक प्रायिकता सैद्धांतिक प्रायिकता के निकट होती जाती है।

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 7 प्रश्नावली 7.3 समाधान

उत्तर:
जब एक षट्फलकीय पासा फेंका जाता है, तो संभावित परिणाम हैं: 1, 2, 3, 4, 5, 6
प्रतिदर्श समष्टि S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
अतः, संभावित परिणामों की कुल संख्या = 6
अर्थात n(S) = 6

(i) एक साथ एक पासा फेंकना और एक सिक्का उछालना।
(ii) −5 और +5 के मध्य एक पूर्णांक का यादृच्छिक चयन करना।
(iii) एक बक्से में 5 हरी और 7 लाल गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली गई।
उत्तर:
(i) एक साथ एक पासा फेंकना और एक सिक्का उछालना
पासे के परिणाम: 1, 2, 3, 4, 5, 6
सिक्के के परिणाम: H (चित), T (पट)
प्रत्येक परिणाम एक युग्म है: (पासे की संख्या, सिक्के का परिणाम)
अतः, S = {(1,H), (1,T), (2,H), (2,T), (3,H), (3,T), (4,H), (4,T), (5,H), (5,T), (6,H), (6,T)}
अतः, n(S) = 12

(ii) −5 और +5 के मध्य एक पूर्णांक का यादृच्छिक चयन करना
−5 और +5 के मध्य पूर्णांक (दोनों सिरों सहित):
−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5
अतः, S = {−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
अतः, n(S) = 11

(iii) एक बक्से में 5 हरी और 7 लाल गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली गई।

• स्थिति 1: यदि गेंदें एक-दूसरे से अभिन्न हैं।
  गेंदों के दो प्रकार हैं: हरी (G) और लाल (R)
  S = {हरी गेंद, लाल गेंद} या S = {G, R}
  n(S) = 2
• स्थिति 2: यदि गेंदें एक-दूसरे से भिन्न हैं।
  यदि गेंदें व्यक्तिगत रूप से पहचान योग्य हों, तो S में 12 अवयव होंगे: G₁, G₂, G₃, G₄, G₅, R₁, R₂, R₃, R₄, R₅, R₆, R₇, परंतु इस स्तर पर प्रायिकता के प्रयोजन के लिए रंग-आधारित प्रतिदर्श समष्टि ही मानक होती है।

(i) नाश्ते और पेय के सभी संभव संयोजन जो एक व्यक्ति मेले में चयनित कर सकता है, के प्रतिदर्श समष्टि सूचीबद्ध कीजिए।
(ii) ‘समोसे को नाश्ते के रूप में चयनित करने’ की घटना को सूचीबद्ध कीजिए।
उत्तर:
(i) S = {(समोसा, चाय), (समोसा, लस्सी), (पकौड़ा, चाय), (पकौड़ा, लस्सी), (भाजी, चाय), (भाजी, लस्सी)}
n(S) = 6

(ii) E = {(समोसा, चाय), (समोसा, लस्सी)}
इस घटना में कुल 6 परिणामों में से 2 परिणाम हैं।
P(समोसा) = 2/6 = 1/3

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 7 प्रश्नावली 7.4 समाधान

(i) फलों के सभी संभावित युग्मों को दर्शाता हुआ एक वृक्ष आरेख खींचिए।
(ii) प्रतिदर्श समष्टि को सूचीबद्ध कीजिए।
(iii) एक सेब और एक केला निकालने की प्रायिकता क्या होगी?
उत्तर:
(i) वृक्ष आरेख

सभी संभावित युग्म हैं:
(सेब, केला), (सेब, आम), (संतरा 1, केला), (संतरा 1, आम), (संतरा 2, केला), (संतरा 2, आम)

(ii) प्रतिदर्श समष्टि
S = {(सेब, केला), (सेब, आम), (संतरा 1, केला), (संतरा 1, आम), (संतरा 2, केला), (संतरा 2, आम)}

(iii) एक सेब और एक केला निकालने की प्रायिकता
अनुकूल परिणामों की संख्या = 1 [(सेब, केला)]
कुल परिणामों की संख्या = 4
प्रायिकता = 1/4

(i) पेन के रंगों के संभावित परिणाम क्या हैं? क्या आप संभावित परिणामों को दर्शाता हुआ एक वृक्ष आरेख खींच सकते हैं?
(ii) क्या आप वृक्ष आरेख का उपयोग कर अनुमान लगा सकते हैं कि आप और आपके मित्र द्वारा एक ही रंग के पेन निकालने की प्रायिकता क्या होगी?
उत्तर:
(i) पेन के रंगों के संभावित परिणाम
संभावित रंग हैं: लाल, काला, हरा
अतः, प्रतिदर्श समष्टि है:
S = {(लाल, लाल), (लाल, काला), (लाल, हरा), (काला, लाल), (काला, काला), (काला, हरा), (हरा, लाल), (हरा, काला), (हरा, हरा)}
वृक्ष आरेख:

अतः सभी संभावित परिणाम हैं:
{(लाल, लाल), (लाल, काला), (लाल, हरा), (काला, लाल), (काला, काला), (काला, हरा), (हरा, लाल), (हरा, काला), (हरा, हरा)}
इस प्रकार, कुल 9 संभावित परिणाम हैं।

(ii) दोनों द्वारा एक ही रंग के पेन निकालने की प्रायिकता
प्रतिदर्श समष्टि से, वे परिणाम जिनमें दोनों एक ही रंग के पेन निकालते हैं
(लाल, लाल), (काला, काला), (हरा, हरा)
अनुकूल परिणामों की संख्या = 3
कुल परिणामों की संख्या = 9
अतः, प्रायिकता = 3/9 = 1/3
अतः, दोनों द्वारा एक ही रंग के पेन निकालने की प्रायिकता 1/3 है।

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 7 अंतिम प्रश्नावली के समाधान

(i) असंभव घटना की प्रायिकता _____ है।
(ii) एक यादृच्छिक प्रयोग के सभी संभव परिणामों के समुच्चय को _____ कहा जाता है।
(iii) एक निश्चित ही घटित होने वाली घटना की प्रायिकता _____ है।
(iv) निष्पक्ष सिक्का उछालने पर चित आने की प्रायिकता _____ है।
उत्तर:
(i) असंभव घटना की प्रायिकता 0 है।
(ii) एक यादृच्छिक प्रयोग के सभी संभव परिणामों के समुच्चय को प्रतिदर्श समष्टि कहा जाता है।
(iii) एक निश्चित ही घटित होने वाली घटना की प्रायिकता 1 है।
(iv) निष्पक्ष सिक्का उछालने पर चित आने की प्रायिकता 1/2 है।

उत्तर:
फुटबॉल पसंद करने वाले विद्यार्थियों की संख्या 15 है और सापेक्षिक आवृत्ति  है:
15/50
= 3/10
= 0.3

(i) एक चालक कार को चालू करने का प्रयास कर रहा है। कार चालू होती है या नहीं होती है।
(ii) निष्पक्ष सिक्का एक बार उछालना।
(iii) निष्पक्ष षट्फलकीय पासा फेंकना।
(iv) एक थैली से यादृच्छिक रूप से एक कंचा निकालना, जिसमें 3 लाल कंचे और 7 नीले कंचे हों।
(v) एक बच्चे का जन्म हुआ है। यह एक लड़का है या लड़की है।
उत्तर:
(i) समप्रायिक नहीं
कार का चालू होना कार की स्थिति, ईंधन, बैटरी आदि पर निर्भर करता है। सामान्य परिस्थितियों में दोनों परिणाम (चालू होना/न होना) समप्रायिक नहीं हैं।

(ii) हाँ, समप्रायिक है
चित और पट दोनों की प्रायिकता = 1/2 है। एक निष्पक्ष सिक्का दोनों परिणामों को समान अवसर देता है।

(iii) हाँ, समप्रायिक है
6 फलकों (1 से 6) में से प्रत्येक की प्रायिकता समान = 1/6 है।

(iv) समप्रायिक नहीं
P(लाल) = 3/10 और P(नीला) = 7/10। दोनों रंगों की प्रायिकताएँ भिन्न हैं।

(v) हाँ, समप्रायिक है
जैविक रूप से, लड़का या लड़की होने की प्रायिकता प्रत्येक के लिए लगभग 1/2 है, अतः इन्हें लगभग समप्रायिक माना जा सकता है।

(i) एक ही समय पर दो सिक्कों को उछाला जाता है। कम-से-कम एक चित आने की प्रायिकता क्या है?
(ii) 10 सर्वसम पत्ते 1 से 10 तक संख्यांकित करके एक बक्से में रखे गए हैं। एक पत्ता यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है। एक सम संख्या वाले पत्ते के आने की प्रायिकता क्या है?
(iii) एक पासा एक बार फेंका जाता है। 4 से बड़ी संख्या आने की प्रायिकता क्या है?
(iv) एक थैले में 3 लाल गेंदें, 2 नीली गेंदें और 1 हरी गेंद हैं। एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गेंद लाल नहीं होगी?
(v) तीन सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है। ठीक दो चित आने की प्रायिकता क्या है?
उत्तर:
(i) S = {HH, HT, TH, TT}
⇒ n(S) = 4
घटना E = कम-से-कम एक चित = {HH, HT, TH}
⇒ n(E) = 3
P(कम-से-कम एक चित) = n(E)/n(S) = 3/4

(ii) S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
⇒ n(S) = 10
सम संख्याएँ = {2, 4, 6, 8, 10}
⇒ n(E) = 5
अतः, P(सम संख्या) = n(E)/n(S) = 5/10 = 1/2

(iii) S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
⇒ n(S) = 6
4 से बड़ी संख्याएँ = {5, 6}
⇒ n(E) = 2
P(4 से बड़ी संख्या) = n(E)/n(S) = 2/6 = 1/3

(iv) कुल गेंदें = 3 + 2 + 1 = 6
लाल नहीं = नीली + हरी = 2 + 1 = 3
P(लाल नहीं) = 3/6 = 1/2

(v) S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
⇒ n(S) = 8
ठीक दो चित = {HHT, HTH, THH}
⇒ n(E) = 3
P(ठीक दो चित) = n(E)/n(S) = 3/8

उत्तर:
S = {स्ट्रॉबेरी, नींबू, पुदीना}
⇒ n(S) = 3
n(E) = 1 [स्ट्रॉबेरी]
P(स्ट्रॉबेरी) = 1/3

उत्तर:
एक कमीज और एक पतलून से मिलकर बनने वाली पोशाक के संभव संयोजन:

यादृच्छिक चयनित टायर की आयु की प्रायिकता ज्ञात कीजिए, जब दूरी –
(i) 4000 किलोमीटर से कम हो।
(ii) 4000 से 14000 किलोमीटर के मध्य हो।
(iii) 14000 किलोमीटर से अधिक हो।
उत्तर:
(i) कुल टायरों की संख्या = 1000
4000 किलोमीटर से कम वाले टायरों के मामले = 20
अतः, P(4000 किलोमीटर से कम) = 20/1000 = 1/50

(ii) कुल टायरों की संख्या = 1000
4001 से 14000 के बीच के मामले = 210 + 325 = 535
अतः, P(4000 से 14000 किलोमीटर के मध्य) = 535/1000

(iii) कुल टायरों की संख्या = 1000
14000 किलोमीटर से अधिक वाले मामले = 445
अतः, P(14000 किलोमीटर से अधिक) = 445/1000

(i) इसके P, E या C होने की प्रायिकता क्या है? [P] [E] [A] [C] [E]
(ii) इसके E न होने की प्रायिकता क्या है?
उत्तर:
(i) ‘PEACE’ में कुल पत्ते = 5
P, E या C वाले पत्ते:
P = 1, E = 2, C = 1
⇒ कुल = 4 पत्ते
अतः, P(P, E या C) = 4/5

(ii) E वाले पत्तों की संख्या = 2
E न होने वाले पत्ते = 5 − 2 = 3 (P, A, C)
अतः, P(E न होना) = 3/5

(i) 8?
(ii) एक विषम संख्या?
(iii) 2 से बड़ी संख्या?
(iv) 9 से छोटी संख्या?
(v) 3 का एक गुणज?
उत्तर:
कुल परिणाम = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
⇒ n(S) = 8
(i) P(8 पर इंगित करना)
अनुकूल परिणाम = {8}
⇒ n(E) = 1
अतः, P(8) = 1/8

(ii) P(विषम संख्या)
विषम संख्याएँ = {1, 3, 5, 7}
⇒ n(E) = 4
अतः, P(विषम) = 4/8 = 1/2

(iii) P(2 से बड़ी संख्या)
2 से बड़ी संख्याएँ = {3, 4, 5, 6, 7, 8}
⇒ n(E) = 6
अतः, P(2 से बड़ी संख्या) = 6/8 = 3/4

(iv) P(9 से छोटी संख्या)
1 से 8 तक सभी संख्याएँ 9 से छोटी हैं।
⇒ n(E) = 8
अतः, P(9 से छोटी संख्या) = 8/8 = 1

(v) P(3 का गुणज)
1 से 8 तक 3 के गुणज = {3, 6}
⇒ n(E) = 2
अतः, P(3 का गुणज) = 2/8 = 1/4

(i) एक लाल और उसके पश्चात एक नीले रंग की गेंद को निकालने की प्रायिकता क्या है?
(ii) 2 नीली गेंदें निकालने की प्रायिकता क्या है?
उत्तर:
कुल गेंदें = 4 लाल + 5 नीली = 9 गेंदें
चूँकि एक गेंद अलग रख दी जाती है, अतः दूसरी गेंद बिना प्रतिस्थापन के निकाली जाती है।
संभावित परिणाम: {(R,R), (R,B), (B,R), (B,B)}
वृक्ष आरेख:

(i) एक लाल और उसके पश्चात एक नीले रंग की गेंद निकालने की प्रायिकता
पहली लाल गेंद निकालने की प्रायिकता = 4/9
एक लाल गेंद निकालने के बाद, शेष गेंदें: 3 लाल और 5 नीली
कुल शेष गेंदें = 8
अगली नीली गेंद निकालने की प्रायिकता = 5/8
अतः, P(R, B) = (4/9) × (5/8)
= 20/72
= 5/18
अतः, एक लाल और उसके पश्चात एक नीले रंग की गेंद निकालने की प्रायिकता 5/18 है।

(ii) 2 नीली गेंदें निकालने की प्रायिकता
पहली नीली गेंद निकालने की प्रायिकता = 5/9
एक नीली गेंद निकालने के बाद, शेष गेंदें: 4 लाल और 4 नीली
कुल शेष गेंदें = 8
एक और नीली गेंद निकालने की प्रायिकता = 4/8
अतः, P(B, B) = (5/9) × (4/8)
= 20/72
= 5/18
अतः, 2 नीली गेंदें निकालने की प्रायिकता 5/18 है।

उत्तर:
प्रायिकता 0 वाली घटना (असंभव):
योग 1 प्राप्त होना। (दो पासे फेंकने पर न्यूनतम योग 1 + 1 = 2 होता है, अतः योग = 1 असंभव है।)
प्रायिकता 1 वाला परिणाम (निश्चित):
13 से कम योग प्राप्त होना। (अधिकतम योग 6 + 6 = 12 होता है, जो सदैव 13 से कम होता है, अतः यह निश्चित है।)

(i) दो पासे फेंके गए। इसकी क्या प्रायिकता है कि प्राप्त अंकों का योग 5 से बड़ी अभाज्य संख्या हो?
(ii) एक थैले में 4 लाल, 3 हरे और 2 नीले रंग की गेंदें हैं। दो गेंदों को बिना प्रतिस्थापन के निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों गेंदों के रंग भिन्न हैं?
(iii) तीन सिक्कों को उछाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि पहला सिक्का चित प्रदर्शित करता हो और कुल मिलाकर दो चित प्राप्त हों।
(iv) 1, 2, 3 और 4 संख्याओं को बिना पुनरावृत्ति के उपयोग करके एक 4-अंकीय संख्या बनाई गई है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह संख्या सम है?
(v) एक विद्यार्थी 3 प्रश्नों की एक बहु-विकल्पीय परीक्षा में सम्मिलित होता है, जहाँ प्रत्येक प्रश्न के 4 विकल्प (A, B, C, D) हैं और उनमें से केवल एक विकल्प सही है। इसकी क्या प्रायिकता है कि विद्यार्थी अनुमान लगाकर 2 सही उत्तर प्राप्त करे?
उत्तर:
(i) जब दो पासे फेंके जाते हैं, तो प्रतिदर्श समष्टि S =
{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}
कुल परिणामों की संख्या = 36
5 से बड़ी अभाज्य संख्याएँ 12 तक: 7, 11
योग = 7 वाले परिणाम: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) ⇒ 6 परिणाम
योग = 11 वाले परिणाम: (5,6), (6,5) ⇒ 2 परिणाम
कुल अनुकूल = 6 + 2 = 8
P(योग एक 5 से बड़ी अभाज्य संख्या है) = 8/36 = 2/9

(ii) कुल गेंदें = 4 लाल + 3 हरी + 2 नीली = 9 गेंदें
दो गेंदें बिना प्रतिस्थापन के निकाली जाती हैं।
हमें यह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि दोनों गेंदों के रंग भिन्न हैं।
कुल संभावित परिणाम:
पहली गेंद 9 तरीकों से चुनी जा सकती है।
दूसरी गेंद 8 तरीकों से चुनी जा सकती है।
कुल परिणाम = 9 × 8 = 72
अनुकूल परिणाम (भिन्न रंग):
लाल और हरी:
पहले लाल फिर हरी = 4 × 3 = 12
पहले हरी फिर लाल = 3 × 4 = 12
कुल = 24
लाल और नीली:
लाल फिर नीली = 4 × 2 = 8
नीली फिर लाल = 2 × 4 = 8
कुल = 16
हरी और नीली
हरी फिर नीली = 3 × 2 = 6
नीली फिर हरी = 2 × 3 = 6
कुल = 12
कुल अनुकूल परिणाम = 24 + 16 + 12 = 52
अतः, P(भिन्न रंग) = 52/72 = 13/18

(iii) S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}
⇒ n(S) = 8
पहला सिक्का H दिखाए और कुल मिलाकर ठीक 2 चित हों: {HHT, HTH}
⇒ n(E) = 2
अतः, प्रायिकता = 2/8 = 1/4

(iv) 4 भिन्न अंकों की कुल व्यवस्थाएँ :
= 4 × 3 × 2 × 1
= 24
सम संख्या की शर्त:
एक संख्या सम होती है यदि उसका अंतिम अंक सम हो।
यहाँ सम अंक हैं: 2 और 4
अतः, अंतिम अंक 2 या 4 हो सकता है।
स्थिति 1: अंतिम अंक = 2
शेष अंक: 1, 3, 4
इन्हें व्यवस्थित करने के तरीके = 3 × 2 × 1 = 6
स्थिति 2: अंतिम अंक = 4
शेष अंक: 1, 2, 3
इन्हें व्यवस्थित करने के तरीके = 3 × 2 × 1 = 6
कुल अनुकूल परिणाम = 6 + 6 = 12
अतः, P(सम संख्या) = 12/24 = 1/2

(v) प्रत्येक प्रश्न के 4 विकल्प हैं और केवल 1 सही है।
अतः, प्रत्येक प्रश्न के लिए:
सही उत्तर की प्रायिकता = 1/4
गलत उत्तर की प्रायिकता = 3/4
कुल प्रश्न = 3
हमें ठीक 2 सही उत्तरों की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
ठीक 2 सही उत्तरों के संभावित मामले:
इसके होने के 3 तरीके हैं: {(C,C,W), (C,W,C), (W,C,C)}
प्रत्येक मामले की प्रायिकता:
प्रत्येक मामले में:
2 सही उत्तर ⇒ (1/4) × (1/4)
1 गलत उत्तर ⇒ (3/4)
अतः, एक मामले की प्रायिकता = (1/4) × (1/4) × (3/4) = 3/64
चूँकि ऐसे 3 मामले हैं, अतः
P(ठीक 2 सही) = 3 × (3/64) = 9/64

(i) एक गेंद निकाली जाती है और उस पर लिखित अंक को एक कागज पर लिख लिया जाता है। तत्पश्चात गेंद को वापस बक्से में रख दिया जाता है और एक दूसरी गेंद निकाली जाती है और उस पर लिखित अंक को लिख लिया जाता है।
(ii) एक गेंद निकाली जाती है और लिख ली जाती है। पहली गेंद के बिना प्रतिस्थापन के परीक्षक दूसरी गेंद निकालता है और उसे लिख लेता है।
(iii) इन दोनों प्रतिदर्श समष्टियों के आकार क्या हैं?
उत्तर:
(i) प्रथम गेंद को वापस बक्से में रखने की स्थिति में (प्रतिस्थापन सहित):
प्रतिदर्श समष्टि (सभी क्रमित युग्म):
S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)}
n(S) = 16

(ii) पहली गेंद के बिना प्रतिस्थापन के दूसरी गेंद निकालने की स्थिति में:
प्रतिदर्श समष्टि (सभी क्रमित युग्म जहाँ दोनों संख्याएँ भिन्न हैं):
S = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)}
n(S) = 12

(iii) प्रतिस्थापन सहित: n(S) = 16
प्रतिस्थापन रहित: n(S) = 12

उत्तर:
सिक्के के परिणाम: H, T
पत्ते के परिणाम: 1, 2, 3, 4, 5, 6
S = {(H,1), (H,2), (H,3), (H,4), (H,5), (H,6), (T,1), (T,2), (T,3), (T,4), (T,5), (T,6)}
n(S) = 12

(i) {1, 2, 3}
(ii) {0, 1, 2}
(iii) {0, 1, 2, 3, 4}
(iv) {0, 1, 2, 3}
उत्तर:
जब 3 सिक्कों को उछाला जाता है, तो चित की संभावित संख्या = 0, 1, 2 या 3
(i) {1, 2, 3} — यह एक वैध प्रतिदर्श समष्टि नहीं है। इसमें 0 चित (सभी पट = TTT) शामिल नहीं है।
(ii) {0, 1, 2} — यह एक वैध प्रतिदर्श समष्टि नहीं है। इसमें 3 चित (HHH) शामिल नहीं है।
(iii) {0, 1, 2, 3, 4} — यह एक वैध प्रतिदर्श समष्टि नहीं है। मान 4 संभव नहीं है क्योंकि केवल 3 सिक्के उछाले गए हैं। अधिकतम चित = 3
(iv) {0, 1, 2, 3} — हाँ, यह सही प्रतिदर्श समष्टि है। इसमें सभी संभावित मान शामिल हैं: 0 चित (TTT), 1 चित, 2 चित और 3 चित (HHH)

उत्तर:
आयत का क्षेत्रफल = 3 × 2 = 6 वर्ग मीटर
वृत्त का व्यास = 1 मीटर, अतः त्रिज्या = 0.5 मीटर
वृत्त का क्षेत्रफल = π × r²
= π × (0.5)²
= π × 0.25
= π/4
P(वृत्त के अंदर गिरना) = वृत्त का क्षेत्रफल / आयत का क्षेत्रफल
= (π/4)/6
= π/24