एनसीईआरटी समाधान कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 8 अगले पद का पूर्वानुमान – अनुक्रमों और श्रेढ़ियों का अन्वेषण

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 8 के त्वरित लिंक:

• प्रश्नावली 8.1
• प्रश्नावली 8.2
• प्रश्नावली 8.3
• अंतिम प्रश्नावली

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कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 8 प्रश्नावली 8.1 समाधान

(i) tₙ = 3n − 4
(ii) tₙ = 2 − 5n
(iii) tₙ = n² − 2n + 3 जहाँ n ≥ 1 हो।
उत्तर:
(i) tₙ = 3n − 4
t₁ = 3(1) − 4 = −1
t₂ = 3(2) − 4 = 2
t₃ = 3(3) − 4 = 5
t₄ = 3(4) − 4 = 8
t₅ = 3(5) − 4 = 11
अतः, प्रथम पाँच पद: −1, 2, 5, 8, 11

(ii) tₙ = 2 − 5n
t₁ = 2 − 5(1) = −3
t₂ = 2 − 5(2) = −8
t₃ = 2 − 5(3) = −13
t₄ = 2 − 5(4) = −18
t₅ = 2 − 5(5) = −23
अतः, प्रथम पाँच पद: −3, −8, −13, −18, −23

(iii) tₙ = n² − 2n + 3
t₁ = 1² − 2(1) + 3 = 2
t₂ = 2² − 2(2) + 3 = 3
t₃ = 3² − 2(3) + 3 = 6
t₄ = 4² − 2(4) + 3 = 11
t₅ = 5² − 2(5) + 3 = 18
अतः, प्रथम पाँच पद: 2, 3, 6, 11, 18

उत्तर:
दिया है: tₙ = 5n − 3
10वाँ पद:
t₁₀ = 5(10) − 3
= 50 − 3
= 47
15वाँ पद: t₁₅ = 5(15) − 3
= 75 − 3
= 72
अतः:
10वाँ पद = 47
15वाँ पद = 72

उत्तर:
दिया है: tₙ = 5n − 3
97 के लिए:
मान लीजिए tₙ = 97
⇒ 5n − 3 = 97
⇒ 5n = 100
⇒ n = 20
चूँकि n = 20 एक प्राकृत संख्या है, अतः 97 अनुक्रम का एक पद है।
अतः, 97 अनुक्रम का 20वाँ पद है।
172 के लिए:
मान लीजिए tₙ = 172
⇒ 5n − 3 = 172
⇒ 5n = 175
⇒ n = 35
चूँकि n = 35 एक प्राकृत संख्या है, अतः 172 भी अनुक्रम का एक पद है।
अतः, 172 अनुक्रम का 35वाँ पद है।

उत्तर:
दिया है: tₙ = 5n − 3
मान लीजिए tₙ = 607
⇒ 5n − 3 = 607
⇒ 5n = 610
⇒ n = 122
अतः, 607 अनुक्रम का 122वाँ पद है।

उत्तर:
दिया है: t₁ = −5 और tₙ₊₁ = tₙ + 3
प्रथम पाँच पद:
t₁ = −5
t₂ = t₁ + 3 = −5 + 3 = −2 [tₙ₊₁ = tₙ + 3 का उपयोग करते हुए]
t₃ = t₂ + 3 = −2 + 3 = 1
t₄ = t₃ + 3 = 1 + 3 = 4
t₅ = t₄ + 3 = 4 + 3 = 7
अतः, प्रथम पाँच पद: −5, −2, 1, 4, 7
यह प्रथम पद a = −5 और सार्व अंतर d = 3 वाला एक समांतर अनुक्रम (arithmetic sequence) है।
सूत्र: tₙ = a + (n − 1)d
tₙ = −5 + (n − 1)3
= −5 + 3n − 3
= 3n − 8
अब यह जाँचते हैं कि क्या 52 अनुक्रम का एक पद है:
मान लीजिए tₙ = 52
⇒ 3n − 8 = 52
⇒ 3n = 60
⇒ n = 20
चूँकि n = 20 एक प्राकृत संख्या है, अतः 52 अनुक्रम का एक पद है।
अतः, 52 अनुक्रम का 20वाँ पद है।

उत्तर:
दिया है:
T₁ = 1
T₂ = 2
T₃ = 4
Tₙ = Tₙ₋₁ + Tₙ₋₂ + Tₙ₋₃ (जब n ≥ 4)
अब चरणबद्ध गणना करते हुए:
T₄ = T₃ + T₂ + T₁ [Tₙ = Tₙ₋₁ + Tₙ₋₂ + Tₙ₋₃ का उपयोग करते हुए और n = 4 रखने पर]
= 4 + 2 + 1
= 7
T₅ = T₄ + T₃ + T₂ [n = 5 रखने पर]
= 7 + 4 + 2
= 13
T₆ = T₅ + T₄ + T₃ [n = 6 रखने पर]
= 13 + 7 + 4
= 24
T₇ = T₆ + T₅ + T₄ [n = 7 रखने पर]
= 24 + 13 + 7
= 44
T₈ = T₇ + T₆ + T₅ [n = 8 रखने पर]
= 44 + 24 + 13
= 81

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 8 प्रश्नावली 8.2 समाधान

उत्तर:
दी गई समांतर श्रेढ़ी (AP): 3, 8, 13, 18, …
प्रथम पद, a = 3
सार्व अंतर, d = 8 − 3 = 5
सूत्र: tₙ = a + (n − 1)d
10वाँ पद:
t₁₀ = 3 + (10 − 1)5
= 3 + 45
= 48
26वाँ पद:
t₂₆ = 3 + (26 − 1)5
= 3 + 125
= 128

उत्तर:
दी गई समांतर श्रेढ़ी (AP): 21, 18, 15, …
प्रथम पद, a = 21
सार्व अंतर, d = 18 − 21 = −3
सूत्र: tₙ = a + (n − 1)d
अतः, tₙ = 21 + (n − 1)(−3) [a और d के मान रखने पर]
= 21 − 3n + 3
= 24 − 3n

अब, −81 की जाँच करते हैं:
मान लीजिए tₙ = −81
⇒ 24 − 3n = −81
⇒ −3n = −105
⇒ n = 35
अतः, −81 इस श्रेढ़ी का 35वाँ पद है।

अब, यह जाँचते हैं कि क्या 0 इस श्रेढ़ी का एक पद है:
मान लीजिए tₙ = 0
⇒ 24 − 3n = 0
⇒ 3n = 24
⇒ n = 8
चूँकि n = 8 एक प्राकृत संख्या है, अतः 0 इस समानांतर श्रेढ़ी का एक पद है।
अतः, 0 इस श्रेढ़ी का 8वाँ पद है।

उत्तर:
दी गई समांतर श्रेढ़ी (AP): 11, 8, 5, 2, …
प्रथम पद, a = 11
सार्व अंतर, d = 8 − 11 = −3
सूत्र: tₙ = a + (n − 1)d
tₙ = 11 + (n − 1)(−3) [a और d के मान रखने पर]
= 11 − 3n + 3
= 14 − 3n
अतः, nवाँ पद: tₙ = 14 − 3n
पुनरावर्ती सूत्र :
t₁ = 11
tₙ = tₙ₋₁ − 3, जबकि n ≥ 2

(संकेत- यदि ‘a’ प्रथम पद हो तथा ‘d’ सार्व अंतर हो, तब हमें दो समीकरण a + 2d = 12 और a + 49d = 106 प्राप्त होता है। रैखिक समीकरणों के इस युग्म को ‘a’ तथा ‘d’ के लिए हल कीजिए)।
उत्तर:
मान लीजिए प्रथम पद a है और सार्व अंतर d है।
दिया है: तीसरा पद = 12
अतः, a + 2d = 12 …(1)
श्रेढ़ी में 50 पद हैं और अंतिम पद = 106
अतः, 50वाँ पद = 106
⇒ a + 49d = 106 …(2)
समीकरण (1) में से समीकरण (2) घटाने पर, हमें प्राप्त होता है:
(a + 49d) − (a + 2d) = 106 − 12
⇒ 47d = 94
⇒ d = 2
अब, समीकरण (1) में d = 2 रखने पर, हमारे पास है:
a + 2(2) = 12
⇒ a + 4 = 12
⇒ a = 8
29वाँ पद ज्ञात करना:
t₂₉ = a + (29 − 1)d
= 8 + 28 × 2
= 8 + 56
= 64
अतः, 29वाँ पद 64 है।

उत्तर:
3 से विभाज्य 2-अंकीय संख्याएँ हैं: 12, 15, 18, …, 99
हम देख सकते हैं कि यह एक समांतर श्रेढ़ी (AP) है, जहाँ:
प्रथम पद, a = 12
सार्व अंतर, d = 15 − 12 = 3
अंतिम पद = 99
सूत्र tₙ = a + (n − 1)d का उपयोग करते हुए, हमारे पास है
99 = 12 + (n − 1)3
⇒ 99 − 12 = 3(n − 1)
⇒ 87 = 3(n − 1)
⇒ 29 = n − 1
⇒ n = 30
अतः, 30 2-अंकीय संख्याएँ 3 से विभाज्य हैं।
अब, इन संख्याओं का योगफल: Sₙ = n/2 × (प्रथम पद + अंतिम पद)
⇒ S₃₀ = 30/2 × (12 + 99)
= 15 × 111
= 1665
अतः, 3 से विभाज्य 2-अंकीय संख्याओं की संख्या = 30
इन सभी संख्याओं का योगफल = 1665

उत्तर:
प्रारंभिक वेतन = ₹5,00,000
वार्षिक वृद्धि = ₹20,000
यह एक समांतर श्रेढ़ी (AP) बनाती है: ₹5,00,000, ₹5,20,000, ₹5,40,000, …
हमें यह ज्ञात करना है कि वेतन ₹7,00,000 कब होगा।
सूत्र tₙ = a + (n − 1)d का उपयोग करते हुए:
⇒ ₹7,00,000 = ₹5,00,000 + (n − 1)₹20,000
⇒ ₹2,00,000 = (n − 1)₹20,000
⇒ n − 1 = 10
⇒ n = 11
अतः, हरीश की आमदनी 11वें वर्ष में ₹7,00,000 हुई।
अतः, इसमें 10 वेतन-वृद्धियाँ लगीं, अर्थात 10 वर्षों के बाद।

उत्तर:
कंचों की संख्या: 1 + 2 + 3 + … + 25
सूत्र: Sₙ = n(n + 1)/2
⇒ S₂₅ = 25(25 + 1)/2 [यहाँ, n = 25]
= 25 × 26 / 2
= 25 × 13
= 325
अतः, बच्चा कुल 325 कंचों का उपयोग करता है।

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 8 प्रश्नावली 8.3 समाधान

उत्तर:
दिया है: सार्व अनुपात, r = 2
8वाँ पद = 192
अतः, t₈ = ar⁷ = 192 [tₙ = arⁿ⁻¹ का उपयोग करते हुए]
⇒ a(2)⁷ = 192 [चूँकि r = 2]
⇒ a × 128 = 192
⇒ a = 192/128 = 3/2
⇒ a = 3/2
अब, t₁₂ = ar¹¹ [tₙ = arⁿ⁻¹ का उपयोग करते हुए]
= 3/2 × (2)¹¹
= 3 × 2¹⁰
= 3 × 1024
= 3072
अतः, 12वाँ पद 3072 है।

उत्तर:
दी गई गुणोत्तर श्रेढ़ी (GP): 5, 25, 125, …
प्रथम पद, a = 5
सार्व अनुपात, r = a₂/a₁ = 25/5 = 5
अतः, tₙ = 5 × 5ⁿ⁻¹ [सूत्र tₙ = arⁿ⁻¹ का उपयोग करते हुए]
= 5ⁿ
अतः: nवाँ पद = 5ⁿ
अतः, 10वाँ पद: t₁₀ = 5¹⁰ = 9765625

उत्तर:
दिया है: t₁ = 2
tₙ₊₁ = 3tₙ − 2
चरणबद्ध रूप से पद ज्ञात करते हुए:
t₁ = 2
t₂ = 3t₁ − 2 [tₙ₊₁ = 3tₙ − 2 का उपयोग करते हुए]
= 3(2) − 2
= 4
इसी प्रकार, t₃ = 3t₂ − 2
= 3(4) − 2
= 10
t₄ = 3t₃ − 2
= 3(10) − 2
= 28
t₅ = 3t₄ − 2
= 3(28) − 2
= 82
t₆ = 3t₅ − 2
= 3(82) − 2
= 244
t₇ = 3t₆ − 2
= 3(244) − 2
= 730
अतः, 730 अनुक्रम का 7वाँ पद है।

उत्तर:
दी गई गुणोत्तर श्रेढ़ी (GP): 2, 6, 18, …
प्रथम पद, a = 2
सार्व अनुपात, r = a₂/a₁ = 6/2 = 3
व्यापक सूत्र : tₙ = arⁿ⁻¹
⇒ tₙ = 2 × 3ⁿ⁻¹ [चूँकि a = 2 और r = 3]
मान लीजिए tₙ = 4374
⇒ 2 × 3ⁿ⁻¹ = 4374
⇒ 3ⁿ⁻¹ = 4374/2
⇒ 3ⁿ⁻¹ = 2187
⇒ 3ⁿ⁻¹ = 3⁷ [चूँकि 2187 = 3⁷]
⇒ n − 1 = 7
⇒ n = 8
अतः, 4374 इस श्रेढ़ी का 8वाँ पद है।
पुनरावर्ती सूत्र :
t₁ = 2
tₙ = 3tₙ₋₁, जबकि n ≥ 2

(i) 5 उछालों के बाद गेंद कितनी ऊँचाई तक जाती है?
(ii) गेंद द्वारा भूमि से छठी बार टकराने तक तय की गई कुल लंबवत दूरी कितनी है?
उत्तर:
(i) प्रारंभिक ऊँचाई = 80 मीटर
उछाल अनुपात = 60% = 0.6
पहले उछाल के बाद ऊँचाई:
= 80 × 0.6
= 48 मीटर
दूसरे उछाल के बाद ऊँचाई:
= 48 × 0.6
= 28.8 मीटर
तीसरे उछाल के बाद ऊँचाई:
= 28.8 × 0.6
= 17.28 मीटर
चौथे उछाल के बाद ऊँचाई:
= 17.28 × 0.6
= 10.368 मीटर
पाँचवें उछाल के बाद ऊँचाई:
= 10.368 × 0.6
= 6.2208 मीटर
अतः, 5 उछालों के बाद गेंद 6.2208 मीटर ऊँचाई तक जाती है।

(ii) गेंद पहले भूमि पर पहली बार टकराने के लिए 80 मीटर गिरती है।
फिर प्रत्येक उछाल के बाद वह ऊपर जाती है और नीचे गिरती है।
उछालों के बाद ऊँचाइयाँ:
पहला उछाल = 48 मीटर
दूसरा उछाल = 28.8 मीटर
तीसरा उछाल = 17.28 मीटर
चौथा उछाल = 10.368 मीटर
पाँचवाँ उछाल = 6.2208 मीटर
भूमि से छठी बार टकराने तक, गेंद द्वारा तय की गई कुल दूरी
= 80 + 2(48 + 28.8 + 17.28 + 10.368 + 6.2208)
= 80 + 2(110.6688)
= 80 + 221.3376
= 301.3376 मीटर
अतः, तय की गई कुल लंबवत दूरी 301.3376 मीटर है।

उत्तर:
दिया गया अनुक्रम: 2, 2√2, 4, …
यह एक गुणोत्तर श्रेढ़ी (GP) है।
प्रथम पद, a = 2
सार्व अनुपात: r = a₂/a₁ = 2√2/2 = √2
अतः, tₙ = 2(√2)ⁿ⁻¹ [सूत्र tₙ = arⁿ⁻¹ का उपयोग करते हुए]
मान लीजिए tₙ = 128
⇒ 2(√2)ⁿ⁻¹ = 128
⇒ (√2)ⁿ⁻¹ = 64
⇒ (2^(1/2))ⁿ⁻¹ = 2⁶ [चूँकि 64 = 2⁶ और √2 = 2^(1/2)]
⇒ 2^((n−1)/2) = 2⁶
⇒ (n − 1)/2 = 6 [2 की घातों की तुलना करने पर]
⇒ n − 1 = 12
⇒ n = 13
अतः, 128 इस अनुक्रम का 13वाँ पद है।

चित्र 8.12 को देखिए और नीचे दिए गए प्रश्नों के उत्तर देने का प्रयास कीजिए।
(i) चरण 0 से 3 तक कितने लाल वर्ग हैं?
(ii) क्या आप चरण 4 से 5 में लाल वर्गों की संख्या का पूर्वानुमान लगा सकते हैं?
(iii) क्या आप nवें चरण में लाल वर्गों की संख्या के लिए सूत्र ज्ञात कर सकते हैं? किसी भी चरण में लाल वर्गों की संख्या के लिए एक व्यापक सूत्र और पुनरावर्ती सूत्र भी लिखिए।
(iv) मान लीजिए चरण 0 में वर्ग का क्षेत्रफल 1 वर्ग इकाई है। चरण 1, 2 और 3 में लाल क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है? चरण 4 और 5 में लाल क्षेत्र का क्षेत्रफल कितना होगा? nवें चरण में लाल क्षेत्र के क्षेत्रफल के लिए व्यापक सूत्र और पुनरावर्ती सूत्र भी ज्ञात कीजिए। संख्या n बढ़ने के साथ इस क्षेत्रफल में क्या अंतर आता है?
उत्तर:
(i) चरण 0: 1 लाल वर्ग
चरण 1: 8 लाल वर्ग
चरण 2: 8² = 64 लाल वर्ग
चरण 3: 8³ = 512 लाल वर्ग
अतः, चरण 0 से 3 तक क्रमशः 1, 8, 64 और 512 लाल वर्ग हैं।

(ii) प्रत्येक चरण पर लाल वर्गों की संख्या को 8 से गुणा किया जाता है।
चरण 4 = 8⁴ = 4096
चरण 5 = 8⁵ = 32768
अतः:
चरण 4 में 4096 लाल वर्ग हैं।
चरण 5 में 32768 लाल वर्ग हैं।

(iii) प्रत्येक चरण पर, प्रत्येक लाल वर्ग को 8 छोटे लाल वर्गों से प्रतिस्थापित किया जाता है।
अतः, लाल वर्गों की संख्या इस अनुक्रम को बनाती है:
1, 8, 64, 512, …
व्यापक सूत्र : tₙ = 8ⁿ
यहाँ, चरण 0, n = 0 के संगत है।
पुनरावर्ती सूत्र :
t₀ = 1
tₙ = 8tₙ₋₁, जबकि n ≥ 1

(iv) प्रत्येक चरण पर, वर्ग को 9 बराबर भागों में विभाजित किया जाता है और मध्य भाग हटा दिया जाता है।
अतः, शेष लाल क्षेत्रफल पिछले क्षेत्रफल का 8/9 हो जाता है।
चरण 0 का क्षेत्रफल = 1 वर्ग इकाई
चरण 1 का क्षेत्रफल = 8/9
चरण 2 का क्षेत्रफल = (8/9)² = 64/81
चरण 3 का क्षेत्रफल = (8/9)³ = 512/729
चरण 4 का क्षेत्रफल = (8/9)⁴ = 4096/6561
चरण 5 का क्षेत्रफल = (8/9)⁵ = 32768/59049
व्यापक सूत्र: Aₙ = (8/9)ⁿ
यहाँ, चरण 0, n = 0 के संगत है।
पुनरावर्ती सूत्र:
A₀ = 1
Aₙ = (8/9)Aₙ₋₁, जबकि n ≥ 1
जैसे-जैसे n बढ़ता है, क्षेत्रफल लगातार घटता जाता है और 0 के अधिकाधिक निकट होता जाता है, परंतु यह कभी भी ठीक 0 नहीं होता।

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 8 अंतिम प्रश्नावली के समाधान

उत्तर:
मान लीजए प्रथम पद = a तथा सार्व अंतर = d
दिया है:
11वाँ पद ⇒ a + 10d = 38 …(1)
16वाँ पद ⇒ a + 15d = 73 …(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) घटाने पर,
(a + 15d) − (a + 10d) = 73 − 38
5d = 35
d = 7
अब, d = 7 को समीकरण (1) में रखने पर,
a + 10(7) = 38
a + 70 = 38
a = -32
अब, 31वाँ पद,
t₃₁ = a + 30d
= -32 + 30(7)
= -32 + 210
= 178
अतः, 31वाँ पद 178 है।

उत्तर:
मान लीजिए प्रथम पद = a तथा सार्व अंतर = d
तीसरा पद:
a + 2d = 16 …(1)
प्रश्नानुसार,
7वाँ पद – 5वाँ पद = 12 [क्योंकि 7वाँ पद, 5वें पद से 12 अधिक है]
⇒ (a + 6d) − (a + 4d) = 12
⇒ 2d = 12
⇒ d = 6
अब, d = 6 को समीकरण (1) में रखने पर,
a + 2(6) = 16
⇒ a + 12 = 16
⇒ a = 4
अतः, समानांतर श्रेणी (A.P.) है:
4, 10, 16, 22, 28, …
अतः, प्रथम पद = 4 तथा सार्व अंतर = 6

(संकेत- सभी 7 द्वारा विभाज्य संख्याएँ एक समानांतर श्रेढ़ी बनाती हैं। ऐसी सबसे छोटी 3-अंकीय संख्या और सबसे बड़ी 3-अंकीय संख्या ज्ञात कीजिए।)
उत्तर:
7 से विभाज्य सबसे छोटी तीन अंकों की संख्या 105 है।
7 से विभाज्य सबसे बड़ी तीन अंकों की संख्या 994 है।
अतः, आवश्यक समानांतर श्रेणी (A.P.) है:
105, 112, 119, …, 994
यहाँ,
प्रथम पद, a = 105
सार्व अंतर, d = 7
अंतिम पद = 994
मान लीजिए tₙ = 994
⇒ 994 = 105 + (n − 1)7 [सूत्र: tₙ = a + (n − 1)d]
⇒ 994 − 105 = 7(n − 1)
⇒ 889 = 7(n − 1)
⇒ 127 = n − 1
⇒ n = 128
अतः, 7 से विभाज्य तीन अंकों की संख्याओं की संख्या 128 है।

(संकेत- 4 के सभी गुणज एक समानांतर श्रेढ़ी बनाते हैं। 10 और 250 के बीच आने वाले 4 के सबसे छोटे गुणज और सबसे बड़े गुणज ज्ञात कीजिए)
उत्तर:
10 से बड़ा 4 का सबसे छोटा गुणज = 12
250 से छोटा 4 का सबसे बड़ा गुणज = 248
अतः, अभीष्ट समांतर श्रेढ़ी (AP): 12, 16, 20, …, 248
यहाँ: प्रथम पद, a = 12
सार्व अंतर, d = 4
अंतिम पद = 248
मान लीजिए tₙ = 248
⇒ 248 = 12 + (n − 1)4 [सूत्र tₙ = a + (n − 1)d का उपयोग करते हुए]
⇒ 248 − 12 = 4(n − 1)
⇒ 236 = 4(n − 1)
⇒ 59 = n − 1
⇒ n = 60
अतः, 10 और 250 के बीच 4 के 60 गुणज हैं।

उत्तर:
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) का प्रथम पद = a तथा सार्व अनुपात = r है।
अतः, आवश्यक G.P. है:
a, ar, ar², ar³, ar⁴, …
दिया है:
प्रथम दो पदों का योग = −4
⇒ a + ar = −4
⇒ a(1 + r) = −4 …(1)
साथ ही, पाँचवाँ पद तीसरे पद का 4 गुना है।
पाँचवाँ पद = ar⁴
तीसरा पद = ar²
अतः,
ar⁴ = 4ar²
⇒ r² = 4 [ar² से भाग देने पर]
⇒ r = 2 या r = −2

यदि r = 2
समीकरण (1) से,
a(1 + 2) = −4
⇒ 3a = −4
⇒ a = −4/3
अतः, G.P. है:
−4/3, −8/3, −16/3, −32/3, −64/3, …

यदि r = −2
समीकरण (1) से,
a(1 − 2) = −4
⇒ −a = −4
⇒ a = 4
अतः, G.P. है:
4, −8, 16, −32, 64, …
अतः, संभावित गुणोत्तर श्रेणियाँ हैं:
−4/3, −8/3, −16/3, −32/3, … तथा 4, −8, 16, −32, …

उत्तर:
हमें ऐसी क्रमागत प्राकृत संख्याएँ चाहिए जिनका योगफल 100 हो।
संभावित लंबाइयाँ:
1 पद: 100
अतः, 100 = 100
5 पद:
मान लीजिए संख्याएँ हैं: x − 2, x − 1, x, x + 1, x + 2
योगफल = 5x
⇒ 5x = 100
⇒ x = 20
अतः, 100 = 18 + 19 + 20 + 21 + 22
8 पद:
मान लीजिए संख्याएँ हैं: x, x + 1, x + 2, …, x + 7
योगफल = 8x + 28
⇒ 8x + 28 = 100
⇒ 8x = 72
⇒ x = 9
अतः, 100 = 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16
अतः, सभी संभव विधियाँ हैं:
100 = 100
100 = 18 + 19 + 20 + 21 + 22
100 = 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16

उत्तर:
प्रारंभिक जीवाणुओं की संख्या = 30
जीवाणु प्रत्येक घंटे दुगुने हो जाते हैं।
पहले घंटे के अंत में = 30 × 2 = 60
दूसरे घंटे के अंत में:
= 30 × 2²
= 30 × 4
= 120
चौथे घंटे के अंत में:
= 30 × 2⁴
= 30 × 16
= 480
nवें घंटे के अंत में = 30 × 2ⁿ
अतः:
दूसरे घंटे के अंत में = 120 जीवाणु
चौथे घंटे के अंत में = 480 जीवाणु
nवें घंटे के अंत में = 30 × 2ⁿ जीवाणु

उत्तर:
मान लीजिए प्रथम पद a है और सार्व अंतर d है।
चौथा पद = a + 3d
आठवाँ पद = a + 7d
अतः, चौथे और आठवें पद का योगफल:
(a + 3d) + (a + 7d) = 24
⇒ 2a + 10d = 24
⇒ a + 5d = 12 …(1)
छठा पद = a + 5d
दसवाँ पद = a + 9d
अतः, छठे और दसवें पद का योगफल:
(a + 5d) + (a + 9d) = 44
⇒ 2a + 14d = 44
⇒ a + 7d = 22 …(2)
समीकरण (2) में से (1) घटाने पर
2d = 10
⇒ d = 5
समीकरण (1) में d = 5 रखने पर
a + 5(5) = 12
⇒ a + 25 = 12
⇒ a = −13
प्रथम तीन पद: a, a + d, a + 2d
= −13, −8, −3
अतः, प्रथम तीन पद −13, −8, −3 हैं।

उत्तर:
प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योगफल:
Sₙ = n(n + 1)/2
हमें चाहिए: n(n + 1)/2 > 1000
⇒ n(n + 1) > 2000
अब जाँच करते हैं:
44 × 45 = 1980, अतः S₄₄ = 990
45 × 46 = 2070, अतः S₄₅ = 1035
चूँकि 1035 > 1000,
अतः, n का न्यूनतम मान 45 है।

उत्तर:
दी गई गुणोत्तर श्रेढ़ी : 2, 8, 32, …
प्रथम पद, a = 2
सार्व अनुपात, r = 8/2 = 4
व्यापक सूत्र :
tₙ = arⁿ⁻¹
tₙ = 2 × 4ⁿ⁻¹
अब: 2 × 4ⁿ⁻¹ = 131072
⇒ 4ⁿ⁻¹ = 131072/2
⇒ 4ⁿ⁻¹ = 65536
चूँकि: 65536 = 4⁸
अतः: n − 1 = 8
⇒ n = 9
अतः, 131072 इस श्रेढ़ी का 9वाँ पद है।
पुनरावर्ती सूत्र :
t₁ = 2
tₙ = 4tₙ₋₁, जबकि n ≥ 2

उत्तर:
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेढ़ी के तीन पद हैं: a/r, a, ar
गुणनफल: (a/r) × a × ar = a³
प्रश्नानुसार, गुणनफल = −1
⇒ a³ = −1
⇒ a = −1
अतः, तीन पद हैं: −1/r, −1, −r
योगफल: −1/r − 1 − r = 13/12
⇒ −12 − 12r − 12r² = 13r
⇒ 12r² + 25r + 12 = 0
⇒ 12r² + 16r + 9r + 12 = 0
⇒ 4r(3r + 4) + 3(3r + 4) = 0
⇒ (4r + 3)(3r + 4) = 0
अतः: r = −3/4 या r = −4/3
यदि r = −3/4:
पद हैं: 4/3, −1, 3/4
यदि r = −4/3:
पद हैं: 3/4, −1, 4/3
अतः, सार्व अनुपात −3/4 या −4/3 है, और पद 4/3, −1, 3/4 या 3/4, −1, 4/3 हैं।

उत्तर:
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद a है और सार्व अनुपात r है।
तब:
चौथा पद = ar³ = x
दसवाँ पद = ar⁹ = y
सोलहवाँ पद = ar¹⁵ = z
अब:
y/x = ar⁹/ar³ = r⁶
साथ ही:
z/y = ar¹⁵/ar⁹ = r⁶
अतः: y/x = z/y
अतः, x, y, z गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं।

उत्तर:
मान लीजिए तीन पद हैं: a, ar, ar²
पहली शर्त के अनुसार:
a + ar + ar² = 26
⇒ a(1 + r + r²) = 26 …(1)
दूसरी शर्त के अनुसार:
(a)² + (ar)² + (ar²)² = 364
⇒ a²(1 + r² + r⁴) = 364 …(2)
अब, समीकरण (2) को समीकरण (1) के वर्ग से विभाजित करने पर, हमारे पास है
a²(1 + r² + r⁴)/[a(1 + r + r²)]² = 364/26²
⇒ (1 + r² + r⁴)/(1 + r + r²)² = 7/13
⇒ 13(1 + r² + r⁴) = 7(1 + r + r²)²
⇒ 13(1 + r² + r⁴) − 7(r² + r + 1)² = 0
⇒ 13(r² + r + 1)(r² − r + 1) − 7(r² + r + 1)² = 0 [1 + r² + r⁴ = (r² + r + 1)(r² − r + 1) का उपयोग करते हुए]
⇒ [13(r² − r + 1) − 7(r² + r + 1)] = 0 [(r² + r + 1) से भाग देने पर]
⇒ [13r² − 13r + 13 − 7r² − 7r − 7] = 0
⇒ (6r² − 20r + 6) = 0
⇒ 3r² − 10r + 3 = 0
⇒ (3r − 1)(r − 3) = 0
∴ r = 1/3 या r = 3
यदि r = 1/3, तो (1) से हमारे पास है
a[1 + 1/3 + (1/3)²] = 26
⇒ a[1 + 1/3 + 1/9] = 26
⇒ a[(9 + 3 + 1)/9] = 26
⇒ a[13/9] = 26
⇒ a = 18
अतः, तीन पद a, ar, ar² हैं: 18, 6, 2
यदि r = 3, तो (1) से हमारे पास है
a[1 + 3 + (3)²] = 26
⇒ a[1 + 3 + 9] = 26
⇒ a[13] = 26
⇒ a = 2
अतः, तीन पद a, ar, ar² हैं: 2, 6, 18
अतः, गुणोत्तर श्रेढ़ी के पद हैं: 2, 6, 18

उत्तर:
दिया है:
P₁ = 1
P₂ = 2
n > 2 के लिए: Pₙ = P₁ + P₂ + … + Pₙ₋₁ + 1
अब: P₃ = P₁ + P₂ + 1
= 1 + 2 + 1
= 4
P₄ = P₁ + P₂ + P₃ + 1
= 1 + 2 + 4 + 1
= 8
P₅ = 1 + 2 + 4 + 8 + 1
= 16
P₆ = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 1
= 32
P₇ = 64
P₈ = 128
अतः: P₁, P₂, …, P₈ हैं: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128
सरल पुनरावर्ती सूत्र :
P₁ = 1
Pₙ = 2Pₙ₋₁, जबकि n ≥ 2
व्यापक सूत्र : Pₙ = 2ⁿ⁻¹

उत्तर:
दिया है:
W₁ = 1
W₂ = 2
n > 2 के लिए: Wₙ = W₁ + W₂ + … + Wₙ₋₂ + 2
अब: W₃ = W₁ + 2
= 1 + 2
= 3
W₄ = W₁ + W₂ + 2
= 1 + 2 + 2
= 5
W₅ = W₁ + W₂ + W₃ + 2
= 1 + 2 + 3 + 2
= 8
W₆ = W₁ + W₂ + W₃ + W₄ + 2
= 1 + 2 + 3 + 5 + 2
= 13
W₇ = 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 2
= 21
W₈ = 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 2
= 34
अतः: W₁, W₂, …, W₈ हैं: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34
हाँ, यह विरहांक-फिबोनाची अनुक्रम है।