एनसीईआरटी समाधान कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 2 रैखिक बहुपदों का परिचय

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 2 के त्वरित लिंक:

• प्रश्नावली 2.1
• प्रश्नावली 2.2
• प्रश्नावली 2.3
• प्रश्नावली 2.4
• प्रश्नावली 2.5
• प्रश्नावली 2.6
• अंतिम प्रश्नावली

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कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 2 प्रश्नावली 2.1 समाधान

(i) 2x² − 5x + 3
(ii) y³ + 2y − 1
(iii) −9
(iv) 4z − 3
उत्तर:
(i) 2x² − 5x + 3
सबसे बड़ी घात वाला पद x² है,
इसलिए घात = 2

(ii) y³ + 2y − 1
सबसे बड़ी घात वाला पद y³ है,
इसलिए घात = 3

(iii) −9
इसे −9x⁰ के रूप में लिखा जा सकता है,
इसलिए घात = 0

(iv) 4z − 3
सबसे बड़ी घात वाला पद 4z (अर्थात z¹) है,
इसलिए घात = 1

उत्तर:
घात 1 का बहुपद: x + 5
घात 2 का बहुपद: x² + 3x − 2
घात 3 का बहुपद: x³ − 2x² + x + 1

उत्तर:
x² का गुणांक = 6
x³ का गुणांक = −3

उत्तर:
इस बहुपद में z¹ (अर्थात अकेले z) वाला कोई पद नहीं है।
अतः z का गुणांक = 0

उत्तर:
अचर पद वह पद होता है जिसमें चर नहीं होता।
अतः अचर पद = −10

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 2 प्रश्नावली 2.2 समाधान

(i) x = 0
(ii) x = −1
(iii) x = 2
उत्तर:
(i) x = 0 पर:
p(0) = 5(0) − 3 = −3

(ii) x = −1 पर:
p(−1) = 5(−1) − 3 = −5 − 3 = −8

(iii) x = 2 पर:
p(2) = 5(2) − 3 = 10 − 3 = 7

(i) s = 0
(ii) s = −3
(iii) s = 4
उत्तर:
(i) s = 0 पर:
p(0) = 7(0)² − 4(0) + 6 = 6

(ii) s = −3 पर:
p(−3) = 7(−3)² − 4(−3) + 6
= 7(9) + 12 + 6
= 63 + 12 + 6 = 81

(iii) s = 4 पर:
p(4) = 7(4)² − 4(4) + 6
= 7(16) − 16 + 6
= 112 − 16 + 6 = 102

उत्तर:
माना सलिल की वर्तमान आयु = x वर्ष
तो माँ की वर्तमान आयु = 3x वर्ष
5 वर्ष बाद:
सलिल की आयु = (x + 5)
माँ की आयु = (3x + 5)
प्रश्नानुसार: (x + 5) + (3x + 5) = 70
⇒ 4x + 10 = 70
⇒ 4x = 60
⇒ x = 15
अतः:
सलिल की वर्तमान आयु = 15 वर्ष
माँ की वर्तमान आयु = 3 × 15 = 45 वर्ष

उत्तर:
अनुपात 2:5 होने के कारण, माना पूर्णांक = 2x और 5x
प्रश्नानुसार, अंतर = 63:
⇒ 5x − 2x = 63
⇒ 3x = 63
⇒ x = 21
अतः दोनों पूर्णांक:
पहला पूर्णांक = 2 × 21 = 42
दूसरा पूर्णांक = 5 × 21 = 105

उत्तर:
माना पाँच रुपये के सिक्कों की संख्या = x
तो दो रुपये के सिक्कों की संख्या = 3x
कुल राशि: 5(x) + 2(3x) = 88
⇒ 5x + 6x = 88
⇒ 11x = 88
⇒ x = 8
अतः:
पाँच रुपये के सिक्कों की संख्या = 8
दो रुपये के सिक्कों की संख्या = 3 × 8 = 24

उत्तर:
माना छोटा टुकड़ा = x फुट
तो लंबा टुकड़ा = 4x फुट
कुल लंबाई: x + 4x = 300
⇒ 5x = 300
⇒ x = 60
अतः:
छोटा टुकड़ा = 60 फुट
लंबा टुकड़ा = 4 × 60 = 240 फुट

उत्तर:
माना आयत की चौड़ाई = x सेमी
तो लंबाई = (2x + 3) सेमी (चौड़ाई के दुगुने से तीन अधिक)
परिमाप का सूत्र: 2(लंबाई + चौड़ाई) = 24
⇒ 2[(2x + 3) + x] = 24
⇒ 2(3x + 3) = 24
⇒ 3x + 3 = 12
⇒ 3x = 9
⇒ x = 3
अतः:
चौड़ाई = 3 सेमी
लंबाई = 2(3) + 3 = 9 सेमी
जाँच: परिमाप = 2(9 + 3) = 2 × 12 = 24 सेमी

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 2 प्रश्नावली 2.3 समाधान

नीचे दिए गए प्रश्नों को हल कीजिए –

उत्तर:
बैंक में शुरुआती धनराशि = ₹500
प्रतिमाह जेब खर्च = ₹150
प्रत्येक महीने के अंत में:
दूसरे महीने के अंत में = 500 + 2(150) = ₹800
तीसरे महीने के अंत में = 500 + 3(150) = ₹950
चौथे महीने के अंत में = 500 + 4(150) = ₹1100
इसी प्रकार आगे भी…
माना n वें महीने में खाते की धनराशि = Aₙ
तब, Aₙ = 500 + 150n
अतः अभीष्ट रैखिक व्यंजक है: Aₙ = 150n + 500

उत्तर:
प्रारंभिक सदस्य = 120
प्रत्येक घंटे 9 सदस्य बाहर जाते हैं
रैखिक व्यंजक:
n घंटे पश्चात शेष सदस्यों की संख्या S(n) = 120 − 9n
जैसे:
1 घंटे बाद: 120 − 9(1) = 111
2 घंटे बाद: 120 − 9(2) = 102
3 घंटे बाद: 120 − 9(3) = 93

उत्तर:
लंबाई = 13 सेंटीमीटर
क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
(i) चौड़ाई = 12 सेंटीमीटर
क्षेत्रफल = 13 × 12 = 156 वर्ग सेंटीमीटर

(ii) चौड़ाई = 10 सेंटीमीटर
क्षेत्रफल = 13 × 10 = 130 वर्ग सेंटीमीटर

(iii) चौड़ाई = 8 सेंटीमीटर
क्षेत्रफल = 13 × 8 = 104 वर्ग सेंटीमीटर
माना चौड़ाई = x सेंटीमीटर
क्षेत्रफल = 13x
अतः रैखिक प्रतिरूप है: A = 13x

उत्तर:
लंबाई = 7 सेंटीमीटर, चौड़ाई = 11 सेंटीमीटर
आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई
= 7 × 11 × h = 77h
(i) ऊँचाई = 5 सेंटीमीटर
आयतन = 77 × 5 = 385 घन सेंटीमीटर

(ii) ऊँचाई = 9 सेंटीमीटर
आयतन = 77 × 9 = 693 घन सेंटीमीटर

(iii) ऊँचाई = 13 सेंटीमीटर
आयतन = 77 × 13 = 1001 घन सेंटीमीटर
माना ऊँचाई = h सेंटीमीटर
आयतन = 77h
अतः रैखिक प्रतिरूप है: V = 77h

उत्तर:
कुल पृष्ठ = 500
प्रतिदिन पढ़े जाने वाले पृष्ठ = 20
15 दिनों में पढ़े गए पृष्ठ = 20 × 15 = 300
शेष पृष्ठ = 500 − 300 = 200
माना n दिनों के पश्चात शेष पृष्ठ = Pₙ
तो, Pₙ = 500 − 20n
अतः रैखिक प्रतिरूप है: Pₙ = 500 − 20n

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 2 प्रश्नावली 2.4 समाधान

(i) 7 महीनों के पश्चात पौधे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
दिया गया है:
(i) प्रारंभिक ऊँचाई = 1.75 फुट
प्रतिमाह वृद्धि = 0.5 फुट
प्रत्येक महीने ऊँचाई में वृद्धि = 0.5 फुट
अतः 7 महीनों के पश्चात ऊँचाई:
h = 1.75 + (0.5 × 7)
= 1.75 + 3.5
= 5.25 फुट

(ii) t के 0 से 10 महीनों तक के परिवर्ती मानों के लिए एक तालिका बनाइए और दर्शाइए कि कैसे ऊँचाई h के मान में प्रतिमाह वृद्धि होती है।
उत्तर:
(ii) t के 0 से 10 महीनों तक की तालिका:

(iii) एक व्यंजक ज्ञात कीजिए जो h और t में संबंध व्यक्त करता है और यह भी समझाइए कि यह व्यंजक रैखिक वृद्धि को क्यों व्यक्त करता है।
उत्तर:
(iii) माना t महीनों के पश्चात ऊँचाई = h
h = 1.75 + 0.5t
यह व्यंजक रैखिक वृद्धि को व्यक्त करता है क्योंकि प्रत्येक महीने ऊँचाई में एक स्थिर मात्रा (0.5 फुट) की वृद्धि होती है।

(i) 3 वर्षों के पश्चात फोन का मूल्य ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
दिया गया है:
प्रारंभिक मूल्य = ₹10,000
प्रतिवर्ष ह्रास = ₹800
(i) एक वर्ष के पश्चात मूल्य में कमी = ₹800
अतः 3 वर्षों के पश्चात मूल्य:
v = 10000 − (800 × 3)
= 10000 − 2400
= ₹7600

(ii) t के 0 से 8 वर्षों तक के परिवर्ती मानों के लिए एक तालिका बनाइए और दर्शाइए कि किस प्रकार फोन का मूल्य समय के साथ कम होता है।
उत्तर:
(ii) t के 0 से 8 वर्षों तक की तालिका:

(iii) एक व्यंजक ज्ञात कीजिए, जो v और t में संबंध व्यक्त करता है और यह भी समझाइए कि यह रैखिक ह्रास को क्यों व्यक्त करता है।
उत्तर:
(iii) माना t वर्षों के पश्चात मूल्य = v
v = 10000 − 800t
यह व्यंजक रैखिक ह्रास को व्यक्त करता है क्योंकि प्रत्येक वर्ष मूल्य में एक स्थिर मात्रा (₹800) की कमी होती है।

(i) 6 वर्षों के पश्चात गाँव की जनसंख्या ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
(i) 6 वर्षों के पश्चात जनसंख्या:
P = 750 + (50 × 6)
= 750 + 300
= 1050

(ii) t के 0 से 10 वर्षों तक के परिवर्ती मानों के लिए एक तालिका बनाइए और दर्शाइए कि कैसे जनसंख्या P के मान में प्रतिवर्ष वृद्धि होती है।
उत्तर:
(ii) t के 0 से 10 वर्षों तक की तालिका:

(iii) एक व्यंजक ज्ञात कीजिए जो P और t में संबंध व्यक्त करता है और यह भी समझाइए कि यह व्यंजक रैखिक वृद्धि को क्यों व्यक्त करता है।
उत्तर:
(iii) माना t वर्षों के पश्चात जनसंख्या = P
P = 750 + 50t
यह व्यंजक रैखिक वृद्धि को व्यक्त करता है क्योंकि प्रत्येक वर्ष जनसंख्या में एक स्थिर संख्या (50 व्यक्ति) की वृद्धि होती है।

(i) एक समीकरण लिखिए, जो x दिनों तक योजना का उपयोग करने के पश्चात शेष धनराशि b(x) को दर्शाता है।
उत्तर:
व्यंजक:
माना x दिनों के पश्चात शेष धनराशि = b(x)
b(x) = 600 − 15x
यह व्यंजक रैखिक ह्रास को व्यक्त करता है क्योंकि प्रतिदिन धनराशि में एक स्थिर मात्रा (₹15) की कमी होती है।

(ii) कितने दिनों के पश्चात यह शेष धनराशि (बैलेंस) समाप्त हो जाएगी?
उत्तर:
शेष धनराशि समाप्त होने पर:
b(x) = 0
600 − 15x = 0
15x = 600
x = 40
अतः शेष धनराशि 40 दिनों के पश्चात समाप्त हो जाएगी।

(iii) x के 1 से 10 दिनों के परिवर्ती मानों के लिए एक तालिका बनाइए और दर्शाइए कि कैसे शेष राशि b(x) समय के साथ कम होती जाती है।
उत्तर:
x के 1 से 10 दिनों तक की तालिका:

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 2 प्रश्नावली 2.5 समाधान

उत्तर:
दिया गया है:
जब x = 10, तब y = 400
जब x = 14, तब y = 500
y = ax + b का उपयोग करते हुए:
x = 10 के लिए: 400 = 10a + b …(1)
x = 14 के लिए: 500 = 14a + b …(2)
समीकरण (2) में से (1) को घटाने पर:
500 − 400 = 14a − 10a
⇒ 100 = 4a
⇒ a = 25
a = 25 का मान समीकरण (1) में रखने पर:
400 = 10(25) + b
⇒ 400 = 250 + b
⇒ b = 150
अतः, a = 25 और b = 150

उत्तर:
दिया गया है:
जब x = 10, तब y = 800
जब x = 15, तब y = 1100
y = ax + b का उपयोग करते हुए:
x = 10 के लिए: 800 = 10a + b …(1)
x = 15 के लिए: 1100 = 15a + b …(2)
समीकरण (2) में से (1) को घटाने पर:
1100 − 800 = 15a − 10a
⇒ 300 = 5a
⇒ a = 60
a = 60 का मान समीकरण (1) में रखने पर:
800 = 10(60) + b
⇒ 800 = 600 + b
⇒ b = 200
अतः, a = 60 और b = 200

(संकेत — जब °C = 0 तो °F = 32 और जब °C = 100 तो °F = 212 है। इस जानकारी का उपयोग करके a व b के मान तथा °C व °F के मध्य रैखिक संबंध ज्ञात कीजिए।)
उत्तर:
दिया गया संबंध: °C = a°F + b
बिंदु (°F, °C) = (32, 0) का उपयोग करते हुए:
0 = 32a + b …(1)
बिंदु (°F, °C) = (212, 100) का उपयोग करते हुए:
100 = 212a + b …(2)
समीकरण (2) में से (1) को घटाने पर:
100 − 0 = 212a − 32a
⇒ 100 = 180a
⇒ a = 100/180
⇒ a = 5/9
a = 5/9 का मान समीकरण (1) में रखने पर:
0 = 32(5/9) + b
⇒ 0 = 160/9 + b
⇒ b = −160/9
अतः, a = 5/9 और b = −160/9
इसलिए, रैखिक संबंध है: °C = (5/9)°F − 160/9
इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है: °C = (5/9)(°F − 32)

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 2 प्रश्नावली 2.6 समाधान

(i) y = 4x, y = 2x, y = x
उत्तर:
सभी रेखाएँ y = ax के रूप की हैं (जहाँ b = 0)।
अवलोकन:
सभी रेखाएँ मूल बिंदु (0,0) से होकर गुजरती हैं।
‘a’ (ढाल का मान रेखा की तीव्रता को निर्धारित करता है।
‘a’ का मान जितना बड़ा होगा, रेखा उतनी ही अधिक तीव्र (खड़ी) होगी।

(ii) y = −6x, y = −3x, y = −x
उत्तर:
सभी रेखाएँ y = ax के रूप की हैं (जहाँ b = 0)।
अवलोकन:
सभी रेखाएँ मूल बिंदु से होकर गुजरती हैं।
ऋणात्मक ‘a’ का अर्थ है कि रेखाएँ नीचे की ओर झुकी होती हैं।
‘a’ का परिमाण जितना बड़ा होगा, रेखा की नीचे की ओर की तीव्रता उतनी ही अधिक होगी।

(iii) y = 5x, y = −5x
उत्तर:
अवलोकन:
दोनों रेखाएँ मूल बिंदु से होकर गुजरती हैं।
y = 5x ऊपर की ओर झुकी  है, जबकि y = −5x नीचे की ओर झुकी है।
‘a’ का परिमाण समान होने के कारण दोनों रेखाओं की तीव्रता समान है, परंतु दिशा विपरीत है।

(iv) y = 3x − 1, y = 3x, y = 3x + 1
उत्तर:
सभी रेखाओं का ढाल समान है (a = 3)।
अवलोकन:
रेखाएँ आपस में समांतर हैं क्योंकि उनका ढाल समान है।
‘b’ के भिन्न-भिन्न मान रेखा को ऊपर या नीचे खिसका देते हैं।
b = −1 → रेखा मूल बिंदु से नीचे है।
b = 0 → रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है।
b = +1 → रेखा मूल बिंदु से ऊपर है।

(v) y = −2x − 3, y = −2x, y = 2x + 3
उत्तर:
अवलोकन:
• y = −2x − 3 और y = −2x का ढाल समान है (−2) → ये दोनों रेखाएँ समांतर हैं।
• y = 2x + 3 का ढाल धनात्मक है → इसकी दिशा भिन्न है।
• ‘b’ रेखा की ऊर्ध्वाधर स्थिति को बदलता है।
निष्कर्ष:
1. ‘a’ (x का गुणांक) रेखा के ढाल और दिशा को नियंत्रित करता है।
2. ‘b’ (अचर पद) रेखा के ऊर्ध्वाधर विस्थापन (y-अंतःखंड) को नियंत्रित करता है।

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 2 अंतिम प्रश्नावली के समाधान

उत्तर:
घात 3 के बहुपद का सामान्य रूप होता है: ax³ + bx² + cx + d
दिया गया है कि x² का गुणांक −7 है, अतः b = −7
एक ऐसा बहुपद है: x³ − 7x² + 2x + 1
(x² का गुणांक −7 रखते हुए घात 3 का कोई भी बहुपद सही उत्तर होगा)

(i) 5x² − 3x + 7 यदि x = 1 हो।
(ii) 4t³ − t² + 6 यदि t = a हो।
उत्तर:
(i) 5x² − 3x + 7 यदि x = 1
x = 1 रखने पर:
= 5(1)² − 3(1) + 7
= 5 − 3 + 7
= 9

(ii) 4t³ − t² + 6 यदि t = a
t = a रखने पर:
= 4a³ − a² + 6

उत्तर:
माना संख्या = x
प्रश्नानुसार:
(5/2)x + 2/3 = −7/12
दोनों पक्षों में से 2/3 घटाने पर:
(5/2)x = −7/12 − 2/3
⇒ (5/2)x = −7/12 − 8/12
⇒ (5/2)x = −15/12
⇒ (5/2)x = −5/4
अब दोनों पक्षों को 2/5 से गुणा करने पर:
x = (−5/4) × (2/5)
⇒ x = −1/2
अतः वह संख्या −1/2 है।

उत्तर:
माना छोटी संख्या = x
तो बड़ी संख्या = 5x
दोनों संख्याओं में 21 जोड़ने पर: नई संख्याएँ x + 21 और 5x + 21 हैं
प्रश्नानुसार: 5x + 21 = 2(x + 21)
⇒ 5x + 21 = 2x + 42
⇒ 5x − 2x = 42 − 21
⇒ 3x = 21
⇒ x = 7
अतः, छोटी संख्या = 7 और बड़ी संख्या = 5 × 7 = 35
अतः दोनों संख्याएँ 7 और 35 हैं।

उत्तर:
प्रारंभिक धनराशि = ₹800
प्रतिमाह बचत = ₹250
रैखिक प्रतिरूप: n महीनों के पश्चात धनराशि = 800 + 250n
(i) 6 महीनों के पश्चात धनराशि:
= 800 + 250(6)
= 800 + 1500
= ₹2300

(ii) 2 वर्षों के पश्चात धनराशि: 2 वर्ष = 24 महीने
24 महीनों के पश्चात धनराशि:
= 800 + 250(24)
= 800 + 6000
= ₹6800
अतः:
6 महीनों के पश्चात धनराशि = ₹2300
2 वर्षों के पश्चात धनराशि = ₹6800
रैखिक प्रतिरूप: A = 800 + 250n, जहाँ n महीनों की संख्या है।

उत्तर:
माना दहाई का अंक = x और इकाई का अंक = y
तो मूल संख्या = 10x + y
अंक परिवर्तित करने पर प्राप्त संख्या = 10y + x
प्रश्नानुसार: (10x + y) + (10y + x) = 143
⇒ 11x + 11y = 143
⇒ 11(x + y) = 143
⇒ x + y = 13 …(1)
अंकों के मध्य अंतर 3 है।
अतः, x − y = 3 …(2)
अब समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:
2x = 16
⇒ x = 8
x = 8 का मान समीकरण (1) में रखने पर:
8 + y = 13
⇒ y = 5
अतः, मूल संख्या = 85 और परिवर्तित संख्या = 58
अतः दोनों संख्याएँ 85 और 58 हैं।

(i) y = −3x + 4
(ii) 2y = 4x + 7
(iii) 5y = 6x − 10
(iv) 3y = 6x − 11
क्या इनमें से कोई भी रेखा परस्पर समानांतर है?
उत्तर:
(i) y = −3x + 4
y = ax + b से तुलना करने पर:
ढाल a = −3
y-अंतःखंड b = 4
अतः, वह बिंदु, जहाँ रेखा y-अक्ष को काटती है, (0, 4) है।

(ii) 2y = 4x + 7
दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर: y = 2x + 7/2
ढाल a = 2
y-अंतःखंड b = 7/2
अतः, वह बिंदु, जहाँ रेखा y-अक्ष को काटती है, (0, 7/2) है।

(iii) 5y = 6x − 10
दोनों पक्षों को 5 से भाग देने पर: y = (6/5)x − 2
ढाल a = 6/5
y-अंतःखंड b = −2
अतः, वह बिंदु, जहाँ रेखा y-अक्ष को काटती है, (0, −2) है।

(iv) 3y = 6x − 11
दोनों पक्षों को 3 से भाग देने पर: y = 2x − 11/3
ढाल a = 2
y-अंतःखंड b = −11/3
अतः, वह बिंदु, जहाँ रेखा y-अक्ष को काटती है, (0, −11/3) है।
समानांतर रेखाएँ:
दो रेखाएँ समानांतर होती हैं यदि उनका ढाल समान हो।
समीकरण (ii) का ढाल = 2
समीकरण (iv) का ढाल = 2
अतः, रेखाएँ (ii) और (iv) समानांतर हैं।

(i) यदि द्रव का तापमान 313 K हो तो फॉरेनहाइट इकाई में द्रव का तापमान ज्ञात कीजिए।
(ii) यदि द्रव का तापमान 158 °F हो तो केल्विन इकाई में द्रव का तापमान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
(i) जब x = 313 K है, हमें y ज्ञात करना है:
समीकरण y = (9/5)(x − 273) + 32 का उपयोग करते हुए:
y = (9/5)(313 − 273) + 32
⇒ y = (9/5)(40) + 32
⇒ y = 72 + 32
⇒ y = 104
अतः, तापमान 104 °F है।

(ii) जब y = 158 °F है, हमें x ज्ञात करना है:
समीकरण y = (9/5)(x − 273) + 32 का उपयोग करते हुए:
158 = (9/5)(x − 273) + 32
दोनों पक्षों में से 32 घटाने पर:
158 − 32 = (9/5)(x − 273)
⇒ 126 = (9/5)(x − 273)
दोनों पक्षों को 5/9 से गुणा करने पर:
126 × (5/9) = x − 273
⇒ 70 = x − 273
⇒ x = 343
अतः, तापमान 343 K है।

उत्तर:
हम जानते हैं कि:
कार्य = बल × दूरी
प्रश्नानुसार, किया गया कार्य = w
तय की गई दूरी = d
नियत बल = 3 इकाई
अतः, w = 3d
यह दो चरों में अभीष्ट रैखिक समीकरण है।
यदि d = 2 इकाई है, तो बल w = 3 × 2 = 6 इकाई।
w को y-अक्ष पर और d को x-अक्ष पर लेते हुए, हम आलेख खींच सकते हैं।

बिंदु (2, 6) एक सरल रेखा पर स्थित है, अतः यह आलेख द्वारा सत्यापित होता है।
अतः, जब तय की गई दूरी 2 इकाई है, तब किया गया कार्य:
w = 3 × 2
अतः, w = 6 इकाई
आलेख से सत्यापन:
d = 2 के संगत बिंदु (2, 6) है, अतः किया गया कार्य 6 इकाई है।

(i) बहुपद p(x) ज्ञात कीजिए।
(ii) उन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जिन पर p(x) का आलेख दोनों अक्षों को प्रतिच्छेद करता है।
(iii) p(x) का आलेख बनाइए और अपने उत्तरों की जाँच कीजिए।
उत्तर:
(i) माना p(x) = ax + b
चूँकि आलेख (1, 5) से होकर जाता है,
a(1) + b = 5
⇒ a + b = 5 …(1)
चूँकि आलेख (3, 11) से होकर जाता है,
a(3) + b = 11
⇒ 3a + b = 11 …(2)
समीकरण (2) में से (1) को घटाने पर:
3a + b − (a + b) = 11 − 5
⇒ 2a = 6
⇒ a = 3
a = 3 का मान समीकरण (1) में रखने पर:
3 + b = 5
⇒ b = 2
अतः, p(x) = 3x + 2

(ii) वे निर्देशांक जहाँ आलेख अक्षों को काटता है:
y-अक्ष का अंतःखंड ज्ञात करने के लिए: x = 0 रखने पर
y = p(0) = 3(0) + 2 = 2
अतः, आलेख y-अक्ष को (0, 2) पर काटता है।
x-अक्ष का अंतःखंड ज्ञात करने के लिए: y = 0 रखने पर
3x + 2 = 0
⇒ 3x = −2
⇒ x = −2/3
अतः, आलेख x-अक्ष को (−2/3, 0) पर काटता है।

(iii) आलेख से यह सत्यापित होता है कि रेखा दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरती है और
y-अक्ष को (0, 2) पर काटती है
x-अक्ष को (−2/3, 0) पर काटती है।

(i) p(0) = 5 है।
(ii) बहुपद p(x) − q(x), x-अक्ष को बिंदु (3, 0) पर प्रतिच्छेद करता है।
(iii) योगफल p(x) + q(x), x के सभी वास्तविक मानों के लिए 6x + 4 के समान है।
बहुपद p(x) और q(x) ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
माना p(x) = ax + b और q(x) = cx + d
शर्त (i) का उपयोग करते हुए, हमारे पास p(0) = 5 है
⇒ a(0) + b = 5
⇒ b = 5
अतः, p(x) = ax + 5

अब, शर्त (iii) का उपयोग करते हुए, हमारे पास है
p(x) + q(x) = 6x + 4
⇒ (ax + 5) + (cx + d) = 6x + 4
⇒ (a + c)x + (5 + d) = 6x + 4
गुणांकों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है:
a + c = 6 …(1)
5 + d = 4
⇒ d = −1
अतः, q(x) = cx − 1

शर्त (ii) का उपयोग करते हुए, p(x) − q(x), x-अक्ष को (3, 0) पर काटता है
⇒ p(3) − q(3) = 0
यहाँ:
p(3) = 3a + 5
q(3) = 3c − 1
अतः, (3a + 5) − (3c − 1) = 0
⇒ 3a + 5 − 3c + 1 = 0
⇒ 3a − 3c + 6 = 0
⇒ a − c = −2 …(2)

समीकरणों को हल करने पर:
समीकरण (1) से: a + c = 6
समीकरण (2) से: a − c = −2
दोनों को जोड़ने पर: 2a = 4 ⇒ a = 2
तब: 2 + c = 6 ⇒ c = 4
अतः, p(x) = 2x + 5 और q(x) = 4x − 1 है।

(i) इस प्रतिरूप के अग्रिम दो चरण बनाइए। इन चरणों में कितनी माचिस की तीलियों की आवश्यकता होगी?
(ii) नीचे दी गई तालिका को पूर्ण कीजिए –

(iii) n वें चरण के लिए आवश्यक माचिस की तीलियों की संख्या का पता लगाने के लिए सूत्र ज्ञात कीजिए।
(iv) प्रतिरूप के 15वें चरण के लिए माचिस की कितनी तीलियों की आवश्यकता होगी?
(v) क्या माचिस की 200 तीलियों से इस प्रतिरूप में कोई चरण निर्मित हो सकता है? अपने उत्तर को प्रमाणित कीजिए।
उत्तर:
एक अकेले षट्भुज के लिए 6 माचिस की तीलियों की आवश्यकता होती है।
चूँकि प्रत्येक नया षट्भुज पिछले षट्भुज के साथ एक भुजा साझा करता है, इसलिए प्रत्येक नए चरण में केवल 5 नई माचिस की तीलियाँ जोड़ी जाती हैं।
अतः प्रतिरूप इस प्रकार है:
चरण 1 = 6
चरण 2 = 6 + 5 = 11
चरण 3 = 11 + 5 = 16
(i) अगले दो चरण:
चरण 4: माचिस की तीलियों की संख्या = 16 + 5 = 21
चरण 5: माचिस की तीलियों की संख्या = 21 + 5 = 26
अतः:
• चरण 4 के लिए 21 माचिस की तीलियों की आवश्यकता है।
• चरण 5 के लिए 26 माचिस की तीलियों की आवश्यकता है।

(ii) तालिका पूर्ण करना:

(iii) n वें चरण के लिए सूत्र:
माचिस की तीलियों की संख्या एक समांतर प्रतिरूप बनाती है: 6, 11, 16, 21, 26, …
पहला पद = 6
सार्व अंतर = 5
अतः, n वें चरण में माचिस की तीलियों की संख्या
= 6 + (n − 1) × 5
= 6 + 5n − 5
= 5n + 1
अतः, सूत्र है: Mₙ = 5n + 1

(iv) 15वें चरण के लिए आवश्यक माचिस की तीलियाँ:
M₁₅ = 5(15) + 1
= 75 + 1
= 76
अतः, 15वें चरण के लिए 76 माचिस की तीलियों की आवश्यकता होगी।

(v) क्या माचिस की 200 तीलियों से इस प्रतिरूप में कोई चरण निर्मित हो सकता है?
किसी चरण n के लिए,
5n + 1 = 200
⇒ 5n = 199
⇒ n = 199/5
⇒ n = 39.8
चूँकि n एक पूर्ण संख्या नहीं है, अतः 200 माचिस की तीलियों से इस प्रतिरूप में कोई भी चरण निर्मित नहीं हो सकता है।

(i) बहुपद p(x) का आलेख, बिंदुओं (2, 3) और (6, 11) से होकर जाता है।
(ii) बहुपद q(x) का आलेख, बिंदु (4, −1) से होकर जाता है।
(iii) बहुपद q(x) का आलेख, बहुपद p(x) के आलेख के समानांतर है।
बहुपदों p(x) और q(x) को ज्ञात कीजिए। इसके अतिरिक्त, उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जिस पर ये रेखाएँ x-अक्ष से मिलती हैं।
उत्तर:
दिया गया है:
p(x) = ax + b
q(x) = cx + d
सबसे पहले, p(x) ज्ञात करते हैं।
चूँकि p(x), (2, 3) और (6, 11) से होकर जाता है, इसका ढाल (slope) है:
m = (11 − 3) / (6 − 2)
= 8/4 = 2
अतः, p(x) = 2x + b
बिंदु (2, 3) का उपयोग करते हुए:
3 = 2(2) + b
⇒ 3 = 4 + b
⇒ b = −1
अतः, p(x) = 2x − 1
अब q(x) ज्ञात करते हैं।
चूँकि q(x), p(x) के समानांतर है, इसका ढाल समान होगा।
अतः, q(x) का ढाल = 2
अतः, q(x) = 2x + d
चूँकि q(x), (4, −1) से होकर जाता है, अतः −1 = 2(4) + d
⇒ −1 = 8 + d
⇒ d = −9
अतः, q(x) = 2x − 9
अब हमें यह ज्ञात करना है कि ये रेखाएँ x-अक्ष से कहाँ मिलती हैं।
कोई रेखा x-अक्ष से वहाँ मिलती है जहाँ y = 0 होता है।
p(x) = 2x − 1 के लिए: 0 = 2x − 1
⇒ 2x = 1
⇒ x = 1/2
अतः, p(x), x-अक्ष से (1/2, 0) पर मिलता है।
q(x) = 2x − 9 के लिए: 0 = 2x − 9
⇒ 2x = 9
⇒ x = 9/2
अतः, q(x), x-अक्ष से (9/2, 0) पर मिलता है।
अतः, p(x) = 2x − 1 और q(x) = 2x − 9
x-अक्ष के अंतःखंड हैं:
p(x) के लिए: (1/2, 0)
q(x) के लिए: (9/2, 0)

उत्तर:
दिया गया है: f(x) = ax + a, जहाँ a > 0
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: f(x) = a(x + 1)
इस प्रकार के सभी रैखिक फलनों (linear functions) के सामान्य गुण इस प्रकार हैं:
1. ढाल:
ढाल a है, और चूँकि a > 0 है, अतः सभी रेखाओं का ढाल धनात्मक है।
अतः, ये सभी रेखाएँ बाएँ से दाएँ ऊपर की ओर उठती हैं।
2. y-अंतःखंड:
x = 0 रखने पर,
f(0) = a
अतः, y-अंतःखंड (0, a) है।
चूँकि a > 0 है, अतः सभी रेखाएँ मूल बिंदु से ऊपर y-अक्ष को काटती हैं।
3. x-अंतःखंड:
रेखा x-अक्ष को कहाँ काटती है, यह ज्ञात करने के लिए f(x) = 0 रखने पर:
ax + a = 0
a(x + 1) = 0
चूँकि a > 0 है, अतः a शून्य नहीं है।
अतः, x + 1 = 0
या x = −1
इस प्रकार, प्रत्येक रेखा x-अक्ष को एक ही बिंदु (−1, 0) पर काटती है।
अतः, f(x) = ax + a (जहाँ a > 0) के रूप के सभी रैखिक फलनों में निम्नलिखित गुण सामान्य हैं:
सभी का ढाल धनात्मक है
सभी रेखाएँ मूल बिंदु से ऊपर y-अक्ष को काटती हैं।
सभी एक निश्चित बिंदु (−1, 0) से होकर गुजरती हैं।