एनसीईआरटी समाधान कक्षा 9 गणित मंजरी का अध्याय 1 अपना स्थान जानें: निर्देशांकों का उपयोग

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 1 के त्वरित लिंक:

• अभ्यास सेट 1.1
• अभ्यास सेट 1.2
• अध्याय के अंत के अभ्यास प्रश्न

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 1 अभ्यास सेट 1.1 समाधान

चित्र 1.3 के संदर्भ में, निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

उत्तर:
कमरे का दरवाज़ा x-अक्ष पर स्थित है, इसलिए x-अक्ष से इसकी दूरी = 0 इकाई है।
चित्र से, D₁ = (8, 0) तथा R₁ = (11.5, 0) हैं।
अतः दरवाज़ा y-अक्ष से 8 इकाई की दूरी पर शुरू होता है।

उत्तर:
The coordinates of D₁ are (8, 0).

उत्तर:
D₁ के निर्देशांक (8, 0) तथा R₁ के निर्देशांक (11.5, 0) हैं।

अतः दरवाज़े की चौड़ाई
= D₁ और R₁ के बीच की दूरी
= 11.5 − 8
= 3.5 इकाई

• यदि 1 इकाई = 1 फुट माना जाए, तो 3.5 फुट ≈ 42 इंच होता है, जो कमरे के दरवाज़े के लिए काफी आरामदायक चौड़ाई है।
• सामान्यतः घरों के दरवाज़े 30–36 इंच चौड़े होते हैं, इसलिए यह उससे थोड़ा अधिक है, जो बेहतर माना जाता है।

व्हीलचेयर के लिए:

• एक व्हीलचेयर को लगभग 32 इंच (≈ 2.7 फुट) चौड़ाई की आवश्यकता होती है।
• चूँकि 3.5 फुट > 2.7 फुट है, इसलिए यह दरवाज़ा पर्याप्त चौड़ा है।

अतः हम कह सकते हैं कि यह दरवाज़ा आरामदायक है और व्हीलचेयर का उपयोग करने वाला व्यक्ति भी आसानी से अंदर आ सकता है।

उत्तर:
B₁ के निर्देशांक (0, 1.5) तथा B₂ के निर्देशांक (0, 4) हैं।

अतः बाथरूम के दरवाज़े की चौड़ाई
= B₁ और B₂ के बीच की दूरी
= 4 − 1.5 = 2.5 इकाई

चूँकि 2.5 < 3.5 है, इसलिए बाथरूम का दरवाज़ा कमरे के दरवाज़े की तुलना में संकरा है।

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 1 अभ्यास सेट 1.2 समाधान

(पैमाना: 1 सेमी = 1 इकाई लें।)
चित्र 1.5 का उपयोग करते हुए, दिए गए प्रश्नों के उत्तर दीजिए।

(i) मेज़ का चौथा पैर कहाँ होगा?
उत्तर:
दिए गए तीन बिंदु आयत के तीन कोने बनाते हैं:
A = (8, 9), B = (11, 9), C = (11, 7)

आयत को पूरा करने के लिए चौथे बिंदु का
x-निर्देशांक A के समान = 8
y-निर्देशांक C के समान = 7 होगा
अतः चौथा पैर बिंदु (8, 7) पर होगा।

(ii) क्या यह मेज़ रखने के लिए उपयुक्त स्थान है?
उत्तर:
हाँ, यह एक अच्छा स्थान है क्योंकि:

• मेज़ कमरे के अंदर व्यवस्थित रूप से रखी गई है।
• यह दरवाज़ों या रास्तों को अवरुद्ध नहीं करती।
• यह दीवार के पास है, जो पढ़ाई के लिए सुविधाजनक होता है।

(iii) मेज़ की चौड़ाई और लंबाई क्या है? क्या आप इसकी ऊँचाई बता सकते हैं?
उत्तर:
चौड़ाई:
(8, 9) और (11, 9) के बीच दूरी
= 11 − 8 = 3 इकाई

लंबाई:
(11, 9) और (11, 7) के बीच दूरी
= 9 − 7 = 2 इकाई

ऊँचाई:
मेज़ की ऊँचाई ज्ञात नहीं की जा सकती, क्योंकि चित्र केवल ऊपर से दृश्य (2D) दर्शाता है, इसमें ऊँचाई (3D) की जानकारी नहीं दी गई है।

उत्तर:
चित्र 1.5 के अनुसार:
B₁ = (0, 1.5)
B₂ = (0, 4)
अतः बाथरूम के दरवाज़े की चौड़ाई = 4 − 1.5 = 2.5 इकाई

• यदि दरवाज़ा B₁ पर किवाड़ से जुड़ा है और बेडरूम की ओर खुलता है, तो वह B₁ से 2.5 इकाई त्रिज्या का एक चाप बनाएगा।
• अब अलमारी का निकटतम भाग लगभग इन बिंदुओं से शुरू होता है: W₁ = (3, 0), W₄ = (3, 2)
• बिंदु B₁ (0, 1.5) से अलमारी की दूरी x-दिशा में लगभग 3 इकाई है, जो दरवाज़े की चौड़ाई 2.5 इकाई से अधिक है।

अतः, दरवाज़ा अलमारी से नहीं टकराएगा।
यदि दरवाज़ा और चौड़ा किया जाए तो सुझाव:
दरवाज़ा बहुत चौड़ा होने पर अलमारी से टकराने की संभावना हो सकती है।
ऐसे में:

• दरवाज़े को बाथरूम की ओर (अंदर) खुलने वाला बनाया जा सकता है, या
• अलमारी को थोड़ा दाईं ओर खिसकाया जा सकता है, या
• दरवाज़े की चौड़ाई सीमित रखी जा सकती है।

इससे स्थान का उपयोग अधिक सुरक्षित और सुविधाजनक बना रहेगा।

(i) बाथरूम के चारों कोनों O, F, R और P के निर्देशांक क्या हैं?
उत्तर:
चित्र 1.5 के अनुसार:
बाथरूम के चारों कोनों O, F, R और P के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
O = (0, 0)
F = (0, 9)
R = (-6, 9)
P = (-6, 0)

(ii) रियान के बाथरूम में शॉवर क्षेत्र SHWR का आकार क्या है? इसके चारों कोनों के निर्देशांक लिखिए।
उत्तर:
चित्र के अनुसार:
S = (-6, 5)
H = (-3, 5)
W = (-2, 9)
R = (-6, 9)

चूँकि एक जोड़ी विपरीत भुजाएँ समानांतर हैं, इसलिए SHWR एक समलंब चतुर्भुज है।

SHWR का आकार = समलंब चतुर्भुज
कोनों के निर्देशांक:
S = (-6, 5)
H = (-3, 5)
W = (-2, 9)
R = (-6, 9)

(iii) वॉशबेसिन के लिए 3 फुट × 2 फुट का स्थान तथा शौचालय के लिए 2 फुट × 3 फुट का स्थान चिन्हित कीजिए। इन स्थानों के कोनों के निर्देशांक लिखिए।
उत्तर:
वॉशबेसिन का स्थान (3 फुट × 2 फुट):
बाथरूम के निचले-बाएँ कोने में आयत बनाइए।
कोनों के निर्देशांक:
(-6, 0), (-3, 0), (-3, 2) और (-6, 2)

टॉयलेट का स्थान (2 फुट × 3 फुट):
वॉशबेसिन के ऊपर एक आयत बनाइए।
कोनों के निर्देशांक:
(-6, 2), (-4, 2), (-4, 5) और (-6, 5)

वॉशबेसिन के कोनों के निर्देशांक:
(-6, 0), (-3, 0), (-3, 2) और (-6, 2)

टॉयलेट के कोनों के निर्देशांक:
(-6, 2), (-4, 2), (-4, 5) और (-6, 5)

(i) रियान के कमरे का दरवाज़ा डाइनिंग रूम से जुड़ता है, जिसकी लंबाई 18 फुट और चौड़ाई 15 फुट है। डाइनिंग रूम की लंबाई बिंदु P से बिंदु A तक फैली है। डाइनिंग रूम का चित्र बनाइए और उसके कोनों के निर्देशांक अंकित कीजिए।
उत्तर:
चित्र 1.5 के अनुसार:
P के निर्देशांक = (-6, 0)
A के निर्देशांक = (12, 0)
अतः PA की लंबाई = 12 − (−6) = 18 फुट, जो दी गई लंबाई के बराबर है।
यदि डाइनिंग रूम की चौड़ाई 15 फुट है और वह PA के नीचे स्थित है, तो इसकी ऊपरी भुजा PA होगी और यह नीचे की ओर 15 इकाई तक फैलेगा।

इस प्रकार, डाइनिंग रूम के चारों कोनों के निर्देशांक होंगे:

• P = (-6, 0)
• A = (12, 0)
• Q = (12, -15)
• S = (-6, -15)

अतः डाइनिंग रूम के कोनों के निर्देशांक (-6, 0), (12, 0), (12, -15) और (-6, -15) हैं।

(ii) डाइनिंग रूम के ठीक केंद्र में 5 फुट × 3 फुट की आयताकार डाइनिंग टेबल रखिए। टेबल के पैरों के निर्देशांक लिखिए।
उत्तर:
डाइनिंग रूम का विस्तार:
x = -6 से 12 तक
y = 0 से -15 तक

डाइनिंग रूम का केंद्र:
x-निर्देशांक = (-6 + 12)/2 = 3
y-निर्देशांक = (0 + (-15))/2 = -7.5

अब 5 फुट × 3 फुट की टेबल को केंद्र पर रखते हैं।
लंबाई (x-अक्ष के समानांतर) = 5 इकाई ⇒ आधी = 2.5
चौड़ाई (y-अक्ष के समानांतर) = 3 इकाई ⇒ आधी = 1.5

अतः, टेबल के चारों पैरों (कोनों) के निर्देशांक निम्नलिखित प्रकार से होंगे:
(0.5, -9), (5.5, -9), (5.5, -6), (0.5, -6)

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 1 अभ्यास प्रश्न – अध्याय के अंत में दिए गए प्रश्नों के समाधान

उत्तर:
x-अक्ष और y-अक्ष मूलबिंदु पर एक-दूसरे को काटते हैं।

अतः:

• x-निर्देशांक = 0
• y-निर्देशांक = 0

इसलिए, प्रतिच्छेदन बिंदु (0, 0) है।

उत्तर:
यदि बिंदु W का x-निर्देशांक –5 है, तो W से होकर y-अक्ष के समानांतर जाने वाली किसी भी रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु का x-निर्देशांक भी –5 ही होगा।
अतः H के निर्देशांक इस रूप में होंगे:
H = (–5, y), जहाँ y कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है।
अब y के मान के अनुसार:

• यदि y > 0, तो H द्वितीय (II) चतुर्थांश में होगा।
• यदि y < 0, तो H तृतीय (III) चतुर्थांश में होगा।
• यदि y = 0, तो H x-अक्ष पर होगा।

अतः H द्वितीय चतुर्थांश, तृतीय चतुर्थांश या x-अक्ष पर स्थित हो सकता है।

(i) RAMP की वे दो भुजाएँ जो एक-दूसरे के लम्बवत हैं।
उत्तर:
आइए देखें:
AM बिंदु A(0, –2) से M(–5, –2) को जोड़ता है, इसलिए यह क्षैतिज रेखा है।
MP बिंदु M(–5, –2) से P(–5, 2) को जोड़ता है, इसलिए यह ऊर्ध्वाधर रेखा है।
एक क्षैतिज और एक ऊर्ध्वाधर रेखा आपस में लम्बवत होती हैं।
अतः: AM ⟂ MP
इसलिए लम्बवत भुजाएँ AM और MP हैं।

(ii) RAMP की एक ऐसी भुजा बताइए जो किसी एक अक्ष के समानांतर हो।
उत्तर:
AM भुजा x-अक्ष के समानांतर है क्योंकि A और M दोनों के y-निर्देशांक (–2) समान हैं।
MP भुजा y-अक्ष के समानांतर है क्योंकि M और P दोनों के x-निर्देशांक (–5) समान हैं।
अतः किसी एक अक्ष के समानांतर भुजा हैं:
AM (x-अक्ष के समानांतर) या MP (y-अक्ष के समानांतर)।

(iii) ऐसे दो बिंदु जो किसी एक अक्ष के सापेक्ष एक-दूसरे के प्रतिबिंब हैं, उन्हें पहचानिए। यह कौन-सा अक्ष होगा?
अब इन बिंदुओं को ग्राफ पर अंकित करके अपने अनुमान की पुष्टि कीजिए।
उत्तर:
M(–5, –2) और P(–5, 2) की तुलना करने पर:
इन दोनों के x-निर्देशांक समान हैं।
इनके y-निर्देशांक समान परिमाण के हैं लेकिन चिन्ह विपरीत हैं।
अतः ये दोनों बिंदु x-अक्ष के सापेक्ष एक-दूसरे के प्रतिबिंब हैं।
इसलिए बिंदु M और P एक-दूसरे के प्रतिबिंब हैं।
यह प्रतिबिंब x-अक्ष के सापेक्ष है।

टिप्पणी: उत्तर व्यक्ति-व्यक्ति के अनुसार भिन्न हो सकते हैं।
उत्तर:
बिंदु Z = (5, –6) है।

समकोण त्रिभुज बनाने के लिए हम लेते हैं:
I = (5, 0) (x-अक्ष पर)
N = (0, –6) (y-अक्ष पर)

क्या त्रिभुज IZN एक समकोण त्रिभुज है? आएये जांच करते हैं:
IZ ऊर्ध्वाधर है और
ZN क्षैतिज है
इसलिए त्रिभुज IZN में समकोण Z पर बनता है।

बिन्दुओं के निर्देशांक:
I = (5, 0)
Z = (5, –6)
N = (0, –6)

अब, भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं:
1. IZ:
बिंदुओ (5, 0) और (5, –6) के बीच की दूरी
= 0 – (–6) = 6 इकाई
2. ZN:
बिंदुओं (5, –6) और (0, –6) के बीच की दूरी
= 5 – 0 = 5 इकाई
3. IN:
दूरी सूत्र के प्रयोग से:
IN = √[(5 – 0)² + (0 – (–6))²]
= √(5² + 6²)
= √(25 + 36)
= √61 इकाई

अतः, एक संभव समकोण त्रिभुज निम्न बिंदुओं द्वारा बनता है:
I = (5, 0)
Z = (5, –6)
N = (0, –6)

भुजाओं की लंबाई:
IZ = 6 इकाई
ZN = 5 इकाई
IN = √61 इकाई