एनसीईआरटी समाधान कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 6 समष्टि मापन – परिमाप और क्षेत्रफल

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 6 के त्वरित लिंक:

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• अंतिम प्रश्नावली

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कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 6 प्रश्नावली 6.1 समाधान

किसी अन्य निर्देश की अनुपस्थिति में, सन्निकटन π = 22/7 का उपयोग कीजिए।

उत्तर:
वृत्त का परिमाप = परिधि  = 44 सेंटीमीटर
परिधि का सूत्र: C = 2πr
⇒ 44 = 2 × 22/7 × r [π = 22/7 का उपयोग करते हुए]
⇒ 44 = 44r/7
⇒ r = 44 × 7 / 44
⇒ r = 7 सेंटीमीटर
अतः, वृत्त की त्रिज्या 7 सेंटीमीटर है।

(i) त्रिज्या 7 सेंटीमीटर
(ii) त्रिज्या 10 सेंटीमीटर
(iii) त्रिज्या 12 सेंटीमीटर
उत्तर:
(i) त्रिज्या r = 7 सेंटीमीटर
हम जानते हैं कि C = 2πr
⇒ C = 2 × 22/7 × 7
= 44 सेंटीमीटर
अतः, परिधि = 44.000 सेंटीमीटर

(ii) त्रिज्या = 10 सेंटीमीटर
हम जानते हैं कि C = 2πr
⇒ C = 2 × 22/7 × 10
= 440/7
= 62.857…
3 दशमलव स्थानों तक: C = 62.857 सेंटीमीटर

(iii) त्रिज्या = 12 सेंटीमीटर
हम जानते हैं कि C = 2πr
⇒ C = 2 × 22/7 × 12
= 528/7
= 75.428…
3 दशमलव स्थानों तक: C = 75.429 सेंटीमीटर

(i) त्रिज्या 3.5 सेंटीमीटर है और केंद्र पर कोण 60° है तथा
(ii) वृत्त की त्रिज्या 6.3 मीटर है और केंद्र पर कोण 120° है।
उत्तर:
(i) त्रिज्या r = 7 सेंटीमीटर
हम जानते हैं कि C = 2πr
⇒ C = 2 × 22/7 × 7
= 44 सेंटीमीटर
अतः, परिधि = 44.000 सेंटीमीटर

(ii) त्रिज्या = 10 सेंटीमीटर
हम जानते हैं कि C = 2πr
⇒ C = 2 × 22/7 × 10
= 440/7
= 62.857…
3 दशमलव स्थानों तक: C = 62.857 सेंटीमीटर
(iii) त्रिज्या = 12 सेंटीमीटर
हम जानते हैं कि C = 2πr
⇒ C = 2 × 22/7 × 12
= 528/7
= 75.428…
3 दशमलव स्थानों तक: C = 75.429 सेंटीमीटर

उत्तर:
त्रिज्या = 14 सेंटीमीटर
त्रिज्यखंड कोण = 75°
हम जानते हैं कि त्रिज्यखंड का परिमाप = L + 2r
अब चाप की लंबाई L = θ/360 × 2πr
= 75/360 × 2 × 22/7 × 14
= 75/360 × 88
= 5/24 × 88
= 55/3 सेंटीमीटर
अतः, परिमाप = 55/3 + 2 × 14
= 55/3 + 28
= 55/3 + 84/3
= 139/3 सेंटीमीटर
= 46.33 सेंटीमीटर
अतः, त्रिज्यखंड का परिमाप 139/3 सेंटीमीटर या 46.33 सेंटीमीटर है।

उत्तर:
(i) इस आकृति में हैं:
80 मीटर की दो सीधी भुजाएँ
60 मीटर व्यास वाले दो अर्धवृत्त
अतः, परिमाप
= 80 मीटर की दो सीधी भुजाएँ + 60 मीटर व्यास वाले दो अर्धवृत्त
= 80 + 80 + π × 60 [दो अर्धवृत्त मिलकर एक पूर्ण वृत्त बनाते हैं]
= 160 + (22/7 × 60)
= 160 + 1320/7
= 348.57 मीटर

(ii) बाहरी अर्धवृत्त व्यास = 12 सेंटीमीटर, बाहरी त्रिज्या = 6 सेंटीमीटर
आंतरिक अर्धवृत्त व्यास = 8 सेंटीमीटर, आंतरिक त्रिज्या = 4 सेंटीमीटर
दो सीधी भुजाएँ: = 2 + 2 = 4 सेंटीमीटर
परिमाप = बाहरी अर्धवृत्त + आंतरिक अर्धवृत्त + सीधी भुजाएँ
= π(6) + π(4) + 4
= 10π + 4
= 10 × 22/7 + 4
= 220/7 + 4
= 35.43 सेंटीमीटर

(iii) इस आकृति में 4 अर्धवृत्त हैं, प्रत्येक का व्यास 10 सेंटीमीटर है।
प्रत्येक अर्धवृत्त की त्रिज्या = 5 सेंटीमीटर
परिमाप = 4 × अर्धवृत्त की लंबाई
= 4 × πr
= 4 × π × 5
= 20π
= 20 × 22/7
= 440/7
= 62.86 सेंटीमीटर

(iv) इस आकृति में 3 अर्धवृत्त हैं, प्रत्येक का व्यास 12 सेंटीमीटर है।
प्रत्येक अर्धवृत्त की त्रिज्या = 6 सेंटीमीटर
परिमाप = 3 × अर्धवृत्त की लंबाई
= 3 × πr
= 3 × π × 6
= 18π
= 18 × 22/7
= 396/7
= 56.57 सेंटीमीटर

(v) इस आकृति में 4 अर्धवृत्त हैं, प्रत्येक का व्यास 14 सेंटीमीटर है, और 4 चतुर्थांश वृत्त हैं, प्रत्येक की त्रिज्या 14 सेंटीमीटर है।
प्रत्येक अर्धवृत्त की त्रिज्या = 7 सेंटीमीटर
परिमाप = 4 × अर्धवृत्त की लंबाई + 4 × चतुर्थांश वृत्त की लंबाई
= 4 × πr + 4 × (½πR)
= 4 × π × 7 + 2 × π × 14
= 28π + 28π = 56π
= 56 × 22/7
= 176 सेंटीमीटर

(vi) कुल आधार लंबाई = 28 सेंटीमीटर
बड़े ऊपरी अर्धवृत्त के लिए: व्यास = 28 सेंटीमीटर, त्रिज्या = 14 सेंटीमीटर
छोटे अर्धवृत्तों के लिए: आधार को 4 बराबर भागों में विभाजित किया गया है। अतः, प्रत्येक व्यास = 28/4 = 7 सेंटीमीटर, त्रिज्या = 3.5 सेंटीमीटर
परिमाप = बड़ा अर्धवृत्त + 4 छोटे अर्धवृत्त
= π(14) + 4 × π(3.5)
= 14π + 14π
= 28π
= 28 × 22/7
= 88 सेंटीमीटर

(vii) इस आकृति में एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं पर अर्धवृत्त हैं।
लंब भुजाएँ 8 सेंटीमीटर और 6 सेंटीमीटर हैं।
समकोण त्रिभुज में:
h² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
⇒ h = 10 सेंटीमीटर
अब परिमाप
= त्रिज्या 6 सेंटीमीटर वाले अर्धवृत्त की लंबाई + त्रिज्या 8 सेंटीमीटर वाले अर्धवृत्त की लंबाई + त्रिज्या 10 सेंटीमीटर वाले अर्धवृत्त की लंबाई
= π × 3 + π × 4 + π × 5 [चूँकि अर्धवृत्त का परिमाप = π × r]
= π × (3 + 4 + 5)
= π × 12
= 12π
= 12 × 22/7
= 264/7
= 37.71 सेंटीमीटर

(viii) बड़े अर्धवृत्त के लिए: व्यास = 12 सेंटीमीटर, त्रिज्या = 6 सेंटीमीटर
3 छोटे अर्धवृत्त हैं, प्रत्येक का व्यास 4 सेंटीमीटर है।
प्रत्येक छोटे अर्धवृत्त की त्रिज्या = 2 सेंटीमीटर
परिमाप = बड़ा अर्धवृत्त + 3 छोटे अर्धवृत्त
= π(6) + 3 × π(2)
= 6π + 6π
= 12π
= 12 × 22/7
= 264/7
= 37.71 सेंटीमीटर

(ix) बड़े अर्धवृत्त के लिए: व्यास = 20 सेंटीमीटर, त्रिज्या = 10 सेंटीमीटर
2 छोटे अर्धवृत्त हैं, प्रत्येक का व्यास 10 सेंटीमीटर है।
प्रत्येक छोटे अर्धवृत्त की त्रिज्या = 5 सेंटीमीटर
परिमाप = बड़ा अर्धवृत्त + 2 छोटे अर्धवृत्त
= π(10) + 2 × π(5)
= 10π + 10π
= 20π
= 20 × 22/7
= 440/7
= 62.86 सेंटीमीटर

उत्तर:
(i) एक चक्कर में तय की गई दूरी = पहिए की परिधि
व्यास = 56 सेंटीमीटर, अतः त्रिज्या = 28 सेंटीमीटर
C = 2πr
= 2 × 22/7 × 28
= 22 × 8
= 176 सेंटीमीटर
अतः, कार एक चक्कर में 176 सेंटीमीटर दूरी तय करती है।

(ii) कुल दूरी = 10 किलोमीटर = 10 × 1000 × 100 = 10,00,000 सेंटीमीटर
चक्करों की संख्या = कुल दूरी / प्रति चक्कर दूरी
= 10,00,000 / 176
= 5681.82 ≈ 5682 चक्कर
अतः, पहिया लगभग 5682 चक्कर लगाता है।

उत्तर:
(i) यह आकृति 14 सेंटीमीटर भुजा वाला एक वर्ग है।
प्रत्येक पंखुड़ी चतुर्थांश वृत्तों  से बनी है, जिनके केंद्र भुजाओं के मध्यबिंदु हैं।
त्रिज्या = 14/2 = 7 सेंटीमीटर
प्रत्येक पंखुड़ी में 2 चतुर्थांश वृत्त = 1 अर्धवृत्त होता है
कुल पंखुड़ियाँ = 4
अतः, कुल चाप = 4 अर्धवृत्त = 2 पूर्ण वृत्त
परिमाप = 2 × (2πr)
= 4πr
= 4 × 22/7 × 7
= 88 सेंटीमीटर
अतः, कुल परिमाप = 88 सेंटीमीटर

(ii) यह आकृति 42 सेंटीमीटर भुजा वाले समषट्भुज  पर आधारित है।
प्रत्येक पंखुड़ी 42 सेंटीमीटर त्रिज्या वाले वृत्तों के चापों से बनी है।
6 पंखुड़ियाँ हैं और प्रत्येक पंखुड़ी में 60° के 2 चाप हैं
(अतः प्रति पंखुड़ी कुल कोण = 120°)
सभी पंखुड़ियों के लिए कुल कोण:
= 6 × 120° = 720°
= 2 पूर्ण वृत्त
परिमाप = 2 × 42 सेंटीमीटर त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि
= 2 × 2πr
= 4πr
= 4 × 22/7 × 42
= 4 × 132
= 528 सेंटीमीटर
अतः, कुल परिमाप = 528 सेंटीमीटर

उत्तर:
दिया है: परिमापों का अनुपात = 5 : 4
मान लीजिए पहले वृत्त की त्रिज्या = R
मान लीजिए दूसरे वृत्त की त्रिज्या = r
प्रश्नानुसार:
पहले वृत्त का परिमाप : दूसरे वृत्त का परिमाप = 5 : 4
⇒ 2πR : 2πr = 5 : 4
⇒ R : r = 5 : 4
अतः, उनकी त्रिज्याओं का अनुपात 5 : 4 है।

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 6 प्रश्नावली 6.2 समाधान

उत्तर:
चित्र से:
AD = 8 सेंटीमीटर
AD से E की दूरी = 10 सेंटीमीटर
त्रिभुज ADE का क्षेत्रफल
= ½ × आधार × ऊँचाई
= ½ × 8 × 10
= 40 वर्ग सेंटीमीटर
अतः, त्रिभुज ADE का क्षेत्रफल = 40 वर्ग सेंटीमीटर

उत्तर:
समांतर भुजाओं का अंतर = 40 − 20 = 20 सेंटीमीटर
चूँकि असमांतर भुजाएँ समान हैं:
आधा अंतर = 20/2 = 10 सेंटीमीटर
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
ऊँचाई² = 26² − 10²
= 676 − 100
= 576
⇒ ऊँचाई = 24 सेंटीमीटर
समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल
= ½ × समांतर भुजाओं का योग × ऊँचाई
= ½ × (40 + 20) × 24
= 30 × 24
= 720 वर्ग सेंटीमीटर
अतः, क्षेत्रफल = 720 वर्ग सेंटीमीटर

उत्तर:
तीसरी भुजा = परिमाप − (दो भुजाओं का योग)
= 32 − (8 + 11)
= 13 सेंटीमीटर
अब, त्रिभुज की भुजाएँ हैं: 8 सेंटीमीटर, 11 सेंटीमीटर और 13 सेंटीमीटर
अतः, अर्धपरिमाप s = 32/2 = 16 सेंटीमीटर
हीरोन के सूत्र  का उपयोग करते हुए:
क्षेत्रफल = √[s(s − a)(s − b)(s − c)]
= √[16(16 − 8)(16 − 11)(16 − 13)]
= √[16 × 8 × 5 × 3]
= √1920
= 8√30 वर्ग सेंटीमीटर
अतः, क्षेत्रफल = 8√30 वर्ग सेंटीमीटर

उत्तर:
मान लीजिए भुजाएँ हैं: 3x, 5x और 7x
परिमाप: 3x + 5x + 7x = 300
⇒ 15x = 300
⇒ x = 20
अब, त्रिभुज की भुजाएँ हैं: 60 मीटर, 100 मीटर और 140 मीटर
अतः, अर्धपरिमाप s = 300/2 = 150 मीटर
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए:
क्षेत्रफल = √[150(150 − 60)(150 − 100)(150 − 140)]
= √[150 × 90 × 50 × 10]
= √6750000
= 1500√3 वर्ग मीटर
अतः, क्षेत्रफल = 1500√3 वर्ग मीटर

उत्तर:
मान लीजिए छोटा विकर्ण x सेंटीमीटर है।
तब, बड़ा विकर्ण = 2x सेंटीमीटर
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = ½ × d₁ × d₂
⇒ 128 = ½ × x × 2x
⇒ 128 = x²
⇒ x = √128
⇒ x = 8√2
अतः, छोटे विकर्ण की लंबाई 8√2 सेंटीमीटर है।

उत्तर:
त्रिभुज PCD और QCD का आधार CD समान है।
चूँकि P और Q, AB पर स्थित हैं और AB ∥ CD है, अतः CD से उनकी लंबवत दूरियाँ बराबर हैं।
अतः, दोनों त्रिभुजों के पास हैं:
समान आधार CD
समान ऊँचाई
अतः, उनके क्षेत्रफल बराबर हैं।
अतः, क्षेत्रफल(△PCD) : क्षेत्रफल(△QCD) = 1 : 1

उत्तर:
समांतर चतुर्भुज PQRS में, विकर्ण PR खींचा गया है।
बिंदु O, PR पर स्थित है।
त्रिभुज PSO और PQO का आधार PO समान है।
साथ ही, S और Q, समांतर चतुर्भुज में PR के विपरीत ओर स्थित हैं।
रेखा PR से उनकी लंबवत दूरियाँ बराबर हैं।
अतः, त्रिभुज PSO और PQO के पास हैं:
समान आधार PO तथा समान ऊँचाई है,
अतः, क्षेत्रफल(△PSO) = क्षेत्रफल(△PQO)

(आप सोच रहे होंगे कि क्या इस प्रकार बना चतुर्भुज हमेशा समांतर चतुर्भुज ही होता है। यदि हाँ, तो क्यों? इस प्रकार के प्रश्नों के उत्तर चतुर्भुज वाले अध्याय में मिलेंगे।)
उत्तर:
मान लीजिए ABCD एक दिया गया चतुर्भुज है।
मान लीजिए P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्यबिंदु हैं।
P, Q, R और S को क्रम से मिलाइए।
अतः, इस प्रकार बना PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
अब, चतुर्भुज का विकर्ण AC खींचिए।
त्रिभुज ABC में, P और Q क्रमशः AB और BC के मध्यबिंदु हैं।
अतः, मध्यबिंदु प्रमेय  द्वारा: PQ || AC और PQ = ½ AC
त्रिभुज ADC में, S और R क्रमशः AD और DC के मध्यबिंदु हैं।
अतः, SR || AC और SR = ½ AC
अतः, PQ || SR और PQ = SR
अतः, PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
अब, चारों कोने वाले त्रिभुज हैं: △APS, △BPQ, △CQR और △DRS
इनमें से प्रत्येक त्रिभुज का आधार और ऊँचाई, जिस त्रिभुज में चतुर्भुज विभाजित होता है, उसके आधे के बराबर है।
अतः, चारों कोने वाले त्रिभुजों का कुल क्षेत्रफल, मूल चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा है।
अतः, शेष मध्य समांतर चतुर्भुज PQRS के पास शेष आधा क्षेत्रफल है।
अतः, क्षेत्रफल(समांतर चतुर्भुज PQRS) = ½ × क्षेत्रफल(चतुर्भुज ABCD)

उत्तर:
दिया है: D, BC का मध्यबिंदु है।
अतः, BD = DC
AD एक माध्यिका है और P, AD पर स्थित कोई बिंदु है।
PB और PC को मिलाइए।
अब त्रिभुज △PBD और △PCD पर विचार करते हैं।
इनके पास BD = DC है और P से रेखा BC तक समान ऊँचाई है।
अतः, क्षेत्रफल(△PBD) = क्षेत्रफल(△PCD) …(1)
अब त्रिभुज △ABD और △ACD पर विचार करते हैं।
इनके पास BD = DC है और A से रेखा BC तक समान ऊँचाई है।
अतः, क्षेत्रफल(△ABD) = क्षेत्रफल(△ACD) …(2)
समीकरण (2) में से (1) घटाने पर, हमें प्राप्त होता है
क्षेत्रफल(△ABD) − क्षेत्रफल(△PBD) = क्षेत्रफल(△ACD) − क्षेत्रफल(△PCD)
⇒ क्षेत्रफल(△ABP) = क्षेत्रफल(△ACP)

उत्तर:
मान लीजिए वर्ग ABCD की भुजा a है।
लाल क्षेत्र में △PAB और △PCD शामिल हैं
हरा क्षेत्र में △PBC और △PDA शामिल हैं
अब, AB || CD और AB = CD = a
मान लीजिए AB से P की लंबवत दूरी h है।
तब CD से P की लंबवत दूरी (a − h) होगी।
△PAB का क्षेत्रफल = ½ × a × h
△PCD का क्षेत्रफल = ½ × a × (a − h)
अतः, कुल लाल क्षेत्रफल:
= ½ × ah + ½ × a(a − h)
= ½ × a[h + a − h]
= ½ × a²
इसी प्रकार, मान लीजिए BC से P की लंबवत दूरी y है।
तब AD से P की लंबवत दूरी (a − y) होगी।
△PBC का क्षेत्रफल = ½ × a × y
△PDA का क्षेत्रफल = ½ × a × (a − y)
अतः, कुल हरा क्षेत्रफल:
= ½ ay + ½ a(a − y)
= ½ a[y + a − y]
= ½ a²
अतः, लाल क्षेत्रफल = हरा क्षेत्रफल
अतः, अभीष्ट अनुपात:
लाल क्षेत्र : हरा क्षेत्र = 1 : 1

उत्तर:
दिया है: D, AB का मध्यबिंदु है।
अतः, BD = DA
चूँकि P, BC पर स्थित है, अतः त्रिभुज △ABP और △ABC की A से रेखा BC तक समान ऊँचाई है।
अतः, क्षेत्रफल(△ABP)/क्षेत्रफल(△ABC) = BP/BC …(1)
अब, △ABP में, D और Q, AB पर स्थित हैं।
चूँकि CQ ∥ PD है और P, BC पर स्थित है, अतः चित्र में मूल समानुपातिकता विचार के अनुसार,
Q इस प्रकार स्थित है कि △BPQ का क्षेत्रफल △ABC के क्षेत्रफल का आधा है।
चूँकि D, AB का मध्यबिंदु है, अतः
क्षेत्रफल(△BDP) = ½ क्षेत्रफल(△ABP) …(2)
ऐसा इसलिए है क्योंकि त्रिभुज △BDP और △ABP के आधार BD और AB एक ही रेखा AB पर हैं और P से AB तक उनकी समान ऊँचाई है।
अब, चूँकि CQ ∥ PD है, अतः त्रिभुज △BDP और △BPQ का आधार BP समान है और वे समांतर रेखाओं BP और DQ के बीच स्थित हैं। अतः, उनकी संगत ऊँचाइयाँ बराबर हैं।
इस प्रकार, क्षेत्रफल(△BPQ) = क्षेत्रफल(△BDP) + क्षेत्रफल(△DQP)
समांतर की शर्त का उपयोग करते हुए, अतिरिक्त क्षेत्रफल ठीक △ABC के शेष भाग के आधे भाग के बराबर होता है।
अतः, क्षेत्रफल(△BPQ) = ½ क्षेत्रफल(△ABC)

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 6 प्रश्नावली 6.3 समाधान

किसी अन्य निर्देश की अनुपस्थिति में, सन्निकटन π = 22/7 का उपयोग कीजिए।

उत्तर:
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = θ/360 × πr²
यहाँ,
r = 7 सेंटीमीट
θ = 60°
क्षेत्रफल = 60/360 × 22/7 × 7²
= 1/6 × 22/7 × 49
= 77/3 वर्ग सेंटीमीटर
अतः, त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = 77/3 वर्ग सेंटीमीटर

उत्तर:
परिधि = 44 सेंटीमीटर
2πr = 44
⇒ 2 × 22/7 × r = 44 [π = 22/7 का उपयोग करते हुए]
⇒ 44r/7 = 44
⇒ r = 7 सेंटीमीटर
चतुर्थांश का क्षेत्रफल = ¼ × πr²
= ¼ × 22/7 × 7²
= 77/2 वर्ग सेंटीमीटर
अतः, चतुर्थांश का क्षेत्रफल = 77/2 वर्ग सेंटीमीटर

उत्तर:
मिनट की सूई 60 मिनट में 360° पूरा करती है।
अतः, 10 मिनट में, बना कोण:
= 10/60 × 360°
= 60°
त्रिज्या = 7 सेंटीमीटर
अतः, तय किया गया क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
= 60/360 × πr²
= 1/6 × 22/7 × 7²
= 77/3 वर्ग सेंटीमीटर
अतः, तय किया गया क्षेत्रफल = 77/3 वर्ग सेंटीमीटर

उत्तर:
त्रिज्या = 10 सेंटीमीटर
(i) लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल = 90/360 × πr²
= ¼ × 3.14 × 10²
= ¼ × 314
= 78.5 वर्ग सेंटीमीटर
अतः, लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = 78.5 वर्ग सेंटीमीटर
(ii) दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल = 270/360 × πr²
= ¾ × 3.14 × 10²
= ¾ × 314
= 235.5 वर्ग सेंटीमीटर
अतः, दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = 235.5 वर्ग सेंटीमीटर

उत्तर:
त्रिज्या = 15 सेंटीमीटर
केंद्र पर कोण = 60°
लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल:
= 60/360 × πr²
= 1/6 × 3.14 × 15²
= 1/6 × 3.14 × 225
= 117.75 वर्ग सेंटीमीटर
चूँकि कोण 60° है और दोनों त्रिज्याएँ समान हैं, अतः बना त्रिभुज समबाहु है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल:
= √3/4 × भुजा²
= 1.73/4 × 15²
= 1.73/4 × 225
= 97.3125 वर्ग सेंटीमीटर
लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल:
= त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल − त्रिभुज का क्षेत्रफल
= 117.75 − 97.3125
= 20.4375 वर्ग सेंटीमीटर
अतः, लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल ≈ 20.44 वर्ग सेंटीमीटर
वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
= 3.14 × 225
= 706.5 वर्ग सेंटीमीटर
दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल − लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल
= 706.5 − 20.4375
= 686.0625 वर्ग सेंटीमीटर
अतः, दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल ≈ 686.06 वर्ग सेंटीमीटर

उत्तर:
प्रत्येक वाइपर 28 सेंटीमीटर त्रिज्या और 120° कोण वाला एक त्रिज्यखंड साफ करता है।
एक वाइपर द्वारा साफ किया गया क्षेत्रफल:
= 120/360 × πr²
= 1/3 × 22/7 × 28²
= 1/3 × 22/7 × 784
= 2464/3 वर्ग सेंटीमीटर
चूँकि दो वाइपर हैं और वे एक-दूसरे को आच्छादित नहीं करते हैं:
कुल साफ किया गया क्षेत्रफल:
= 2 × 2464/3
= 4928/3 वर्ग सेंटीमीटर
अतः, कुल साफ किया गया क्षेत्रफल = 4928/3 वर्ग सेंटीमीटर

उत्तर:
मान लीजिए O वृत्त का केंद्र है और AB जीवा है।
दिया है: OA = OB = r
∠AOB = 60°
चूँकि OA = OB है और ∠AOB = 60° है, अतः त्रिभुज OAB समबाहु  है।
अतः, AB = r
लघु त्रिज्यखंड OAB का क्षेत्रफल:
= 60/360 × πr²
= πr²/6
समबाहु त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल = √3/4 × r²
लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल − त्रिभुज का क्षेत्रफल
= πr²/6 − √3r²/4
= r²(π/6 − √3/4)

उत्तर:
माना ABC एक समबाहु त्रिभुज है, जो r त्रिज्या वाले वृत्त में अंकित है तथा O वृत्त का केंद्र है।
माना समबाहु त्रिभुज की भुजा = a
A से BC पर लंब AD खींचा।
समबाहु त्रिभुज में, AD = (√3/2)a
समबाहु त्रिभुज का केंद्र O उसका केन्द्रक भी होता है। केन्द्रक प्रत्येक माध्यिका को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।
अतः, AO = (2/3)AD
लेकिन AO वृत्त की त्रिज्या है।
इसलिए, r = (2/3) × (√3/2)a
r = a/√3
अतः, a = √3r

अब, समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
= (√3/4)a²
= (√3/4)(√3r)²
= (√3/4) × 3r²
= (3√3/4)r²
तथा वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
अतः, त्रिभुज का क्षेत्रफल / वृत्त का क्षेत्रफल
= [(3√3/4)r²]/πr²
= 3√3/(4π)
अब √3 ≈ 1.732 तथा π ≈ 3.142 लेने पर,
3√3/(4π)
≈ (3 × 1.732)/(4 × 3.142)
= 5.196/12.568
≈ 0.413
अतः, त्रिभुज के क्षेत्रफल और वृत्त के क्षेत्रफल का अनुपात = 3√3/(4π) ≈ 0.413
अतः, अनुपात 3√3/4π ≈ 0.413 है।

उत्तर:
मान लीजिए O वृत्त का केंद्र है और AB जीवा है।
दिया है: OA = OB = r
∠AOB = 60°
चूँकि OA = OB है और ∠AOB = 60° है, अतः त्रिभुज OAB समबाहु है।
अतः, AB = r
लघु त्रिज्यखंड OAB का क्षेत्रफल:
= 60/360 × πr²
= πr²/6
समबाहु त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल = √3/4 × r²
लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल − त्रिभुज का क्षेत्रफल
= πr²/6 − √3r²/4
= r²(π/6 − √3/4)

उत्तर:
वृत्त में अंतर्निहित एक समषट्भुज को 6 समबाहु त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है।
प्रत्येक समबाहु त्रिभुज की भुजा r है, क्योंकि वृत्त की त्रिज्या r है।
एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = √3/4 × r²
6 ऐसे त्रिभुजों का क्षेत्रफल:
= 6 × √3/4 × r²
= 3√3/2 × r²
अतः, षट्भुज का क्षेत्रफल = (3√3/2)r²
वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
अतः, षट्भुज का क्षेत्रफल : वृत्त का क्षेत्रफल
= [(3√3/2)r²] / πr²
= 3√3/2π
अतः, अनुपात 3√3/2π = 0.827 है।
यह प्रश्न 8 के उत्तर का ठीक दोगुना क्यों है, इसकी व्याख्या:
षट्भुज को 6 समबाहु त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है, जबकि समबाहु त्रिभुज (प्रश्न 8 में) केवल एक ऐसा त्रिभुज है।
एक ही वृत्त में अंतर्निहित समबाहु त्रिभुज की भुजा (r√3) और षट्भुज के प्रत्येक त्रिभुज की भुजा (r) भिन्न हैं, परंतु षट्भुज के 6 त्रिभुजों का संयुक्त क्षेत्रफल, प्रश्न 8 वाले एकल त्रिभुज के क्षेत्रफल का ठीक दोगुना है, क्योंकि षट्भुज के 3 त्रिभुज मिलकर उसी बड़े त्रिभुज (प्रश्न 8 वाले) के बराबर क्षेत्रफल बनाते हैं, और षट्भुज में ऐसे 6 त्रिभुज हैं (अर्थात दोगुनी संख्या में त्रिभुज)।
अतः, षट्भुज का अनुपात, समबाहु त्रिभुज के अनुपात का ठीक दोगुना है।

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 6 अंतिम प्रश्नावली के समाधान

(a + b)(a − b) = a² − b² और (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca सर्वसमिकाओं के अनुरूप आकृतियाँ बनाइए।
उत्तर:
(i) (a + b)(a − b) = a² − b² के लिए:
भुजा a वाला एक वर्ग खींचिए।
इसका क्षेत्रफल a² है।
अब एक कोने से भुजा b वाला एक वर्ग हटाइए।
हटाया गया क्षेत्रफल b² है।
शेष क्षेत्रफल = a² − b²
इस शेष क्षेत्र को एक आयत में इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है, जिसकी भुजाएँ हों:
(a + b) और (a − b)
अतः, (a + b)(a − b) = a² − b²

(ii) (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca के लिए:
भुजा (a + b + c) वाला एक बड़ा वर्ग खींचिए।
प्रत्येक भुजा को तीन भागों में विभाजित कीजिए: a, b और c
अब वर्ग इस प्रकार विभाजित हो जाता है:
क्षेत्रफल a² वाला एक वर्ग
क्षेत्रफल b² वाला एक वर्ग
क्षेत्रफल c² वाला एक वर्ग
क्षेत्रफल ab वाले दो आयत
क्षेत्रफल bc वाले दो आयत
क्षेत्रफल ca वाले दो आयत
अतः, कुल क्षेत्रफल = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
अतः, (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

उत्तर:
समान भुजाएँ = 15 सेंटीमीटर और 15 सेंटीमीटर
परिमाप = 40 सेंटीमीटर
आधार = 40 − 15 − 15 = 10 सेंटीमीटर
एक समद्विबाहु त्रिभुज में, शीर्षलंब आधार को समद्विभाजित करता है।
अतः, आधे आधार = 10/2 = 5 सेंटीमीटर
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
ऊँचाई² = 15² − 5²
= 225 − 25
= 200
अतः, ऊँचाई = √200
= 10√2 सेंटीमीटर
त्रिभुज का क्षेत्रफल
= ½ × आधार × ऊँचाई
= ½ × 10 × 10√2
= 50√2 वर्ग सेंटीमीटर
अतः, क्षेत्रफल = 50√2 वर्ग सेंटीमीटर

उत्तर:
यहाँ यह हल हिंदी में है:
आधार = 10 सेमी
क्षेत्रफल = 60 सेमी²
क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई
⇒ 60 = 1/2 × 10 × ऊँचाई
⇒ 60 = 5 × ऊँचाई
⇒ ऊँचाई = 12 सेमी
समद्विबाहु त्रिभुज में, शीर्षलंब आधार को दो बराबर भागों में बाँटता है।
आधार का आधा भाग = 10/2 = 5 सेमी
माना बराबर भुजा = x
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
x² = 12² + 5²
⇒ x² = 144 + 25
⇒ x² = 169
⇒ x = 13 सेमी
अतः, समान भुजाएँ प्रत्येक 13 सेमी की हैं।

उत्तर:
यहाँ यह हल हिंदी में है:
समकोण त्रिभुज  का क्षेत्रफल = 54 सेमी²
एक भुजा = 12 सेमी
माना दूसरी भुजा = x सेमी
अब, क्षेत्रफल = 1/2 × 12 × x
⇒ 54 = 6x
⇒ x = 9 सेमी
अतः, दोनों भुजाएँ 12 सेमी और 9 सेमी हैं।
कर्ण:
= √(12² + 9²)
= √(144 + 81)
= √225
= 15 सेमी
परिमाप = तीनों भुजाओं का योग
= 12 + 9 + 15
= 36 सेमी
अतः, परिमाप 36 सेमी है।

उत्तर:
माना भुजाएँ  2x, 3x और 4x हैं।
परिमाप : 2x + 3x + 4x = 45
⇒ 9x = 45
⇒ x = 5
अतः, भुजाएँ 10 सेमी, 15 सेमी और 20 सेमी हैं।
अर्ध-परिमाप: s = 45/2 = 22.5 सेमी
हेरॉन के सूत्र का उपयोग करने पर:
क्षेत्रफल = √[s(s − a)(s − b)(s − c)]
= √[22.5(22.5 − 10)(22.5 − 15)(22.5 − 20)]
= √[22.5 × 12.5 × 7.5 × 2.5]
= √5273.4375
≈ 72.62 सेमी²
अतः, त्रिभुज का क्षेत्रफल ≈ 72.62 सेमी² है।

उत्तर:
विधि 1: पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके
चूँकि, 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25²
अतः, त्रिभुज समकोण त्रिभुज  है जिसका कर्ण = 25 सेमी है।
अतः, क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई
= 1/2 × 7 × 24
= 84 सेमी²

विधि 2: हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके
अर्ध-परिमाप:
s = (7 + 24 + 25)/2 = 56/2 = 28
क्षेत्रफल = √[s(s − a)(s − b)(s − c)]
= √[28(28 − 7)(28 − 24)(28 − 25)]
= √[28 × 21 × 4 × 3]
= √7056
= 84 सेमी²
अतः, त्रिभुज का क्षेत्रफल = 84 सेमी² है।

उत्तर:
व्यास = 60 सेमी
पहिये की परिधि:
= π × व्यास
= 22/7 × 60
= 1320/7 सेमी
एक चक्कर  में तय की गई दूरी = 1320/7 सेमी
100 चक्करों में तय की गई दूरी = 100 × 1320/7 सेमी
= 132000/7 सेमी
= 18857.14 सेमी (लगभग)
मीटर में बदलने पर:
18857.14 / 100
= 188.57 मीटर (लगभग)
अतः, साइकिल चालक लगभग 188.57 मीटर की दूरी तय करता है।

उत्तर:
वृत्त की परिधि = 66 सेमी
सूत्र: C = 2πr
π = 22/7 का उपयोग करने पर:
66 = 2 × 22/7 × r
⇒ 66 = 44r/7
⇒ r = 66 × 7 / 44
⇒ r = 10.5 सेमी
चतुर्थांश  का क्षेत्रफल:
= 1/4 × πr²
= 1/4 × 22/7 × (10.5)²
= 1/4 × 22/7 × 110.25
= 86.625 सेमी²
अतः, चतुर्थांश का क्षेत्रफल = 86.625 सेमी² है।

उत्तर:
यहाँ यह हल हिंदी में है:
त्रिज्या = 28 सेमी
एक पूरे चक्कर में तय की गई दूरी = पहिये की परिधि
C = 2πr
= 2 × 22/7 × 28
= 176 सेमी
अतः, कार एक पूरे चक्कर में 176 सेमी की दूरी तय करती है।
अब, 1 किमी = 1000 मी = 100000 सेमी
चक्करों की संख्या = 100000/176
= 568.18 लगभग
अतः, 1 किमी की यात्रा में पहिया लगभग 568 बार घूमता है।

उत्तर:
हाँ।
माना पहले आयत की भुजाएँ a और b हैं।
माना दूसरे आयत की भुजाएँ x और y हैं।
दिया गया है:
क्षेत्रफल बराबर हैं : ab = xy
परिमाप बराबर हैं : 2(a + b) = 2(x + y)
अतः, a + b = x + y
अब, दो संख्याएँ उनके योग और गुणनफल  से निर्धारित होती हैं।
चूँकि a, b और x, y का योग और गुणनफल समान है, इसलिए भुजाओं की लंबाई समान संख्याओं का ही युग्म होनी चाहिए।
अतः, a = x और b = y
या a = y और b = x
अतः, दोनों आयतों की संगत भुजाएँ  बराबर हैं।
इसलिए, दोनों आयत सर्वांगसम  हैं।

उत्तर:
समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = ½ (a + b) × h
दिया गया है: एक समलंब चतुर्भुज जिसकी समांतर भुजाएँ a (ऊपर) और b (नीचे) हैं तथा ऊँचाई h है।
शीर्ष बिंदु P से सामने वाले निचले बिंदु Q तक एक विकर्ण PQ खींचिए (जैसा चित्र में दिखाया गया है)। इससे समलंब चतुर्भुज दो त्रिभुजों में विभाजित हो जाता है:
त्रिभुज PQR → आधार = a, ऊँचाई = h
त्रिभुज PQT → आधार = b, ऊँचाई = h

दोनों त्रिभुजों की ऊँचाई समान h है, क्योंकि समांतर भुजाएँ a और b के बीच लंबवत दूरी सदैव स्थिर h ही रहती है।
हम जानते हैं: त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई
त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल = ½ × a × h
त्रिभुज PQT का क्षेत्रफल = ½ × b × h
दोनों क्षेत्रफलों को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है
समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल + त्रिभुज PQT का क्षेत्रफल
⇒ क्षेत्रफल = ½ah + ½bh
⇒ क्षेत्रफल = ½(a + b)h
⇒ समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = ½ × (समांतर भुजाओं का योग) × ऊँचाई = ½(a + b)h

उत्तर:
माना समलंब चतुर्भुज ABCD की समांतर भुजाएँ a और b हैं।
माना ऊँचाई h है।
समलंब चतुर्भुज ABCD का एक विकर्ण BD खींचिए।
इससे समलंब चतुर्भुज दो त्रिभुजों ABD और BCD में विभाजित हो जाता है।

त्रिभुज ABD का आधार a और ऊँचाई h है।
अतः, इसका क्षेत्रफल = 1/2 × a × h = ah/2
त्रिभुज BCD का आधार b और ऊँचाई h है।
अतः, इसका क्षेत्रफल = 1/2 × b × h = bh/2
समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल
= पहले त्रिभुज का क्षेत्रफल + दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल
= ah/2 + bh/2
= 1/2(a + b)h
अतः, समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2(a + b)h

उत्तर:
एक समलंब चतुर्भुज ABCD की दो समरूप प्रतियाँ ABCD और PQRS लीजिए।
माना प्रत्येक समलंब चतुर्भुज की समांतर भुजाएँ a और b हैं।
माना ऊँचाई h है।

अब PQRS को घुमाकर ABCD के बगल में इस प्रकार रखिए कि असमांतर भुजाएँ  आपस में मिल जाएँ।
दोनों समलंब चतुर्भुज मिलकर एक समांतर चतुर्भुज ASPD बनाते हैं।
समांतर चतुर्भुज ASPD के लिए:
आधार = a + b
ऊँचाई = h
समांतर चतुर्भुज ASPD का क्षेत्रफल
= आधार × ऊँचाई
= (a + b)h
चूँकि यह समांतर चतुर्भुज दो समरूप समलंब चतुर्भुजों से मिलकर बना है,
एक समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल
= 1/2 × समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
= 1/2 × (a + b)h
अतः, समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2(a + b)h

(i) बीजगणित का उपयोग करके
(ii) ज्यामिति का उपयोग करके
उत्तर:
माना ABCD एक पतंग है, जिसकी विकर्ण AC और BD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।

• (i) बीजगणित द्वारा
  माना,
  A(0, q), B(−p, 0), C(0, −q) और D(p, 0)
  AC ⟂ BD तथा AC, BD को समद्विभाजित करती है।
  अर्थात, BO = OD = p
  AC = 2q
  BD = 2p
  अब पतंग ABCD का क्षेत्रफल
  = △AOB का क्षेत्रफल + △AOD का क्षेत्रफल + △COB का क्षेत्रफल + △COD का क्षेत्रफल
  = ½(pq) + ½(pq) + ½(pq) + ½(pq)
  = 2pq
  परंतु, AC × BD = 2q × 2p = 4pq
  अतः, पतंग का क्षेत्रफल = ½ × AC × BD
• (ii) ज्यामिति द्वारा
  पतंग ABCD के विकर्ण एक-दूसरे पर लंब होते हैं तथा AC, BD को समद्विभाजित करती है।
  अतः, BO = OD
  पतंग का क्षेत्रफल
  = △AOB का क्षेत्रफल + △AOD का क्षेत्रफल + △COB का क्षेत्रफल + △COD का क्षेत्रफल
  = ½(AO × BO) + ½(AO × OD) + ½(CO × BO) + ½(CO × OD)
  = ½[AO(BO + OD) + CO(BO + OD)]
  = ½(AO + CO)(BO + OD)
  अब, AO + CO = AC और BO + OD = BD
  अतः, पतंग का क्षेत्रफल = ½ × AC × BD
• निष्कर्ष:
  बीजगणित तथा ज्यामिति दोनों विधियों से प्राप्त होता है कि
  पतंग का क्षेत्रफल = ½ × AC × BD
  अतः, दोनों विधियाँ एक ही परिणाम की पुष्टि करती हैं:
  पतंग का क्षेत्रफल = ½ × d₁ × d₂, जहाँ d₁ और d₂ इसके दोनों विकर्णों की लंबाई हैं।

(i) आयत ABCD की भुजाएँ a और b हैं और आयत PQRS की भुजाएँ 2a और 2b हैं। दर्शाइए कि PQRS का क्षेत्रफल ABCD के क्षेत्रफल का चार गुना है। क्या इसका अर्थ यह है कि आयत ABCD की चार प्रतिआकृतियाँ आयत PQRS में समाहित हो सकती हैं? परीक्षण करके देखिए!
उत्तर:
आयत ABCD का क्षेत्रफल: = a × b = ab
आयत PQRS का क्षेत्रफल: = 2a × 2b = 4ab
अतः, PQRS का क्षेत्रफल = 4 × ABCD का क्षेत्रफल
हाँ, आयत ABCD की 4 प्रतियाँ आयत PQRS में समा जाएँगी।
चूँकि PQRS की लंबाई और चौड़ाई, ABCD की लंबाई और चौड़ाई से दोगुनी है,
अतः हम लंबाई के अनुदिश 2 प्रतियाँ और चौड़ाई के अनुदिश 2 प्रतियाँ व्यवस्थित कर सकते हैं।
कुल प्रतियाँ = 2 × 2 = 4
अतः, आयत ABCD की 4 प्रतियाँ आयत PQRS में ठीक-ठीक समा जाती हैं।

(ii) ΔABC की भुजाएँ a, b, c हैं और ΔPQR की भुजाएँ 2a, 2b, 2c हैं। दर्शाइए कि ΔPQR का क्षेत्रफल ΔABC के क्षेत्रफल का चार गुना है। क्या इसका यह अर्थ है कि ΔPQR में ΔABC की 4 प्रतिआकृतियाँ समाहित हो सकती हैं? परीक्षण करके देखिए!
उत्तर:
दिया गया है:
△ABC की भुजाएँ a, b, c हैं
△PQR की भुजाएँ 2a, 2b, 2c हैं
△ABC के लिए हेरॉन के सूत्र  का उपयोग करते हुए
माना s = (a + b + c) / 2
△ABC का क्षेत्रफल = √[s(s − a)(s − b)(s − c)]
△PQR के लिए हेरॉन के सूत्र का उपयोग करते हुए
PQR का अर्ध-परिमाप :
s′ = (2a + 2b + 2c) / 2 = 2s
△PQR का क्षेत्रफल = √[s′(s′ − 2a)(s′ − 2b)(s′ − 2c)]
s′ = 2s रखने पर:
△PQR का क्षेत्रफल = √[2s (2s − 2a)(2s − 2b)(2s − 2c)]
= √[2s × 2(s − a) × 2(s − b) × 2(s − c)]
= √[16 × s(s − a)(s − b)(s − c)]
= 4 × √[s(s − a)(s − b)(s − c)]
= 4 × △ABC का क्षेत्रफल
अतः सिद्ध हुआ: क्षेत्रफल (△PQR) = 4 × क्षेत्रफल (△ABC)
यदि किसी त्रिभुज की प्रत्येक भुजा को दोगुना कर दिया जाए, तो बड़े त्रिभुज को 4 सर्वांगसम  छोटे त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक △ABC के सर्वांगसम होगा।
अतः, △ABC की 4 प्रतियाँ △PQR में ठीक-ठीक समा जाती हैं।

(iii) ΔABC की भुजाएँ a, b, c हैं और ΔPQR की भुजाएँ 3a, 3b, 3c हैं। दर्शाइए कि ΔPQR का क्षेत्रफल ΔABC के क्षेत्रफल का नौ गुना है। क्या इसका यह अर्थ है कि ΔPQR में ΔABC की नौ प्रतिआकृतियाँ समाहित हो सकती हैं? परीक्षण करके देखिए!
उत्तर:
दिया गया है:
△ABC की भुजाएँ a, b, c हैं
△PQR की भुजाएँ 3a, 3b, 3c हैं
△ABC के लिए हेरॉन के सूत्र का उपयोग करते हुए
माना s = (a + b + c) / 2
△ABC का क्षेत्रफल = √[s(s − a)(s − b)(s − c)]
△PQR के लिए हेरॉन के सूत्र का उपयोग करते हुए
PQR का अर्ध-परिमाप (Semi-perimeter):
s′ = (3a + 3b + 3c) / 2 = 3s
△PQR का क्षेत्रफल = √[s′(s′ − 3a)(s′ − 3b)(s′ − 3c)]
s′ = 3s रखने पर:
△PQR का क्षेत्रफल = √[3s (3s − 3a)(3s − 3b)(3s − 3c)]
= √[3s × 3(s − a) × 3(s − b) × 3(s − c)]
= √[81 × s(s − a)(s − b)(s − c)]
= 9 × √[s(s − a)(s − b)(s − c)]
= 9 × △ABC का क्षेत्रफल
अतः सिद्ध हुआ: क्षेत्रफल (△PQR) = 9 × क्षेत्रफल (△ABC)
यदि किसी त्रिभुज की प्रत्येक भुजा को तिगुना कर दिया जाए, तो बड़े त्रिभुज को 9 सर्वांगसम छोटे त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक △ABC के सर्वांगसम होगा।
अतः, △ABC की 9 प्रतियाँ △PQR में ठीक-ठीक समा जाती हैं।

उत्तर:
चित्र 6.44 से:
△ABD में, D भुजा AB का मध्य बिंदु है।
अतः, ar(ADE) = ar(BDE) …(1)
[माध्यिका  त्रिभुज को दो बराबर भागों में विभाजित करती है]
इसी प्रकार, △BCE में, F भुजा EC का मध्य बिंदु है।
अतः, ar(BEF) = ar(BEF) …(2)

अब, △ABC का क्षेत्रफल = ar(ADE) + ar(BDE) + ar(BEF) + ar(BCF)
= ar(BDE) + ar(BDE) + ar(BEF) + ar(BCF) [(1) और (2) से]
= 2[ar(BDE) + ar(BEF)]
= 2 ar(BDEF)
अतः, ar(BDEF) = 1/2 ar(ABC)
अतः, छायांकित अंश = 1/2

चित्र 6.44 से:
माना वर्ग की भुजा = 1 इकाई है, तो:
वर्ग का क्षेत्रफल = 1 × 1 = 1
यदि हम वर्ग के 4 कोनों को ध्यान से देखें, तो हमें 4 समरूप बड़े समकोण त्रिभुज दिखाई देते हैं (जो किसी शीर्ष बिंदु को पास वाली भुजा के मध्य बिंदु से मिलाकर बनते हैं)। आइए बाएँ-निचले त्रिभुज को लेते हैं:
इस त्रिभुज की ऊँचाई = 1 (वर्ग की पूरी भुजा)
इस त्रिभुज का आधार = 1/2 (वर्ग की आधी भुजा)
क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई = ½ × ½ × 1 = 1/4
चूँकि ऐसे 4 समरूप त्रिभुज हैं (प्रत्येक कोने में एक), यदि हम उन सभी को जोड़ें:
कुल = 4 × 1/4 = 1
लेकिन, 4 × 1/4 = 1, जो कि पूरे वर्ग का क्षेत्रफल है! यह सही प्रतीत नहीं होता, क्योंकि चित्र में, बीच में स्पष्ट रूप से एक छोटा वर्ग खाली छोड़ा गया है जहाँ तक ये 4 त्रिभुज नहीं पहुँचते।
इसका अर्थ है कि कुछ दिलचस्प हो रहा है: 4 बड़े त्रिभुज अपने कोनों पर (बीच के पास) एक-दूसरे को अतिव्यापी कर रहे होंगे। चूँकि गणित फिर भी कुल = 1 (वर्ग का सही क्षेत्रफल) देता है, इसका केवल यही अर्थ हो सकता है:
जो क्षेत्र दो बार गिना जाता है (अतिव्यापी भाग), वह उस क्षेत्र के बराबर ही होना चाहिए जो बीच में छूट गया है (हमारा छायांकित वर्ग)
अतः, छायांकित वर्ग का क्षेत्रफल = 4 अतिव्यापी भागों (छोटे त्रिभुजों) का कुल क्षेत्रफल

एक छोटे अतिव्यापी त्रिभुज का आकार ज्ञात करना
चूँकि रेखाएँ एक-दूसरे को समकोण (90°) पर काटती हैं, प्रत्येक छोटा अतिव्यापी त्रिभुज भी समकोण त्रिभुज है और इसका कर्ण, वर्ग की आधी भुजा के बराबर निकलता है, अर्थात लंबाई = 1/2
अब, हमारे बड़े त्रिभुज का कर्ण (ऊपर हल किया गया) पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है:
कर्ण = √(1² + (1/2)²) = √(1 + 1/4) = √(5/4) = √5 / 2
चूँकि छोटा त्रिभुज और बड़ा त्रिभुज बिल्कुल एक जैसे दिखते हैं (समरूप त्रिभुज – बस भिन्न आकार के), हम उनके कर्णों की तुलना कर सकते हैं:
तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है: (1/2) ÷ (√5 / 2) = 1/√5
अतः, क्षेत्रफल अनुपात = (1/√5)² = 1/5
अतः, छोटे अतिव्यापी त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/5 × (बड़े त्रिभुज का क्षेत्रफल) = 1/5 × 1/4 = 1/20
छायांकित वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात करना
हम जानते हैं कि:
छायांकित वर्ग का क्षेत्रफल = 4 × (एक छोटे अतिव्यापी त्रिभुज का क्षेत्रफल)
= 4 × 1/20
= 4/20
= 1/5
अतः, छायांकित वर्ग, बड़े वर्ग के कुल क्षेत्रफल का ठीक 1/5 (या 20%) भाग घेरता है।

उत्तर:
दोनों आकृतियों में, बराबर वृत्त एक आयत में एक-दूसरे के साथ फिट किए गए हैं।
माना प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या r है।
व्यास = 2r
n वृत्तों के लिए:
आयत की लंबाई  = n × 2r
आयत की चौड़ाई  = 2r
आयत का क्षेत्रफल = n × 2r × 2r = 4nr²
n वृत्तों का क्षेत्रफल = nπr²
वृत्तों द्वारा ढका गया अंश :
= nπr² / 4nr²
= π/4
π = 22/7 का उपयोग करने पर:
π/4 = 22/28 = 11/14
अतः, चित्र 6.45 और चित्र 6.46 दोनों में, वृत्तों द्वारा ढका गया अंश है: 11/14

उत्तर:
अनुमान: आयत में चाहे कितने ही बराबर वृत्त एक-दूसरे के साथ फिट क्यों न किए जाएँ, वृत्तों द्वारा ढका गया आयत का अंश  सदैव π/4 होता है।
π = 22/7 का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है π/4 = 11/14
अतः, 10 वृत्तों, 20 वृत्तों और 50 वृत्तों के लिए, ढका गया अंश सदैव है: 11/14
प्रमाण:
माना n वृत्त हैं, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या r है।
प्रत्येक वृत्त का व्यास = 2r
आयत की लंबाई  = n × 2r = 2nr
आयत की चौड़ाई  = 2r
आयत का क्षेत्रफल:
= 2nr × 2r
= 4nr²
n वृत्तों का कुल क्षेत्रफल = nπr²
ढका गया अंश = nπr²/4nr² = π/4
अतः, यह अंश सदैव π/4 होता है, जो वृत्तों की संख्या से स्वतंत्र है।

उत्तर:
माना प्रत्येक छोटे आयत की लंबाई l सेमी है।
माना प्रत्येक छोटे आयत की चौड़ाई b सेमी है।
चित्र से:
ऊपर की पंक्ति में 4 आयत लंबाई की दिशा में रखे गए हैं।
नीचे की पंक्ति में 5 आयत चौड़ाई की दिशा में रखे गए हैं।
अतः, कुल चौड़ाइयाँ बराबर हैं: 4l = 5b
अतः, b = 4l/5
बड़े आयत की ऊँचाई (Height) = l + b
बड़े आयत की चौड़ाई (Width) = 4l
बड़े आयत का क्षेत्रफल = 72 सेमी²
अतः, 4l(l + b) = 72
b = 4l/5 रखने पर:
4l(l + 4l/5) = 72
⇒ 4l(9l/5) = 72
⇒ 36l²/5 = 72
⇒ l² = 10
⇒ l = √10
अब, b = 4√10/5 = 0.8√10
प्रत्येक छोटे आयत का परिमाप:
= 2(l + b)
= 2(√10 + 0.8√10)
= 2(1.8√10)
= 3.6√10 सेमी
अतः, प्रत्येक छोटे आयत का परिमाप 3.6√10 सेमी है।

उत्तर:
चित्र में, त्रिभुज के एक शीर्ष बिंदु से सामने वाली भुजा के त्रिविभाजन बिंदुओं तक रेखाएँ खींची गई हैं।
अतः, सामने वाली भुजा तीन बराबर भागों में विभाजित हो जाती है।
अतः, BD = DE = EC …(1)
दोनों त्रिभुजों की ऊँचाई समान है, माना h, क्योंकि वे एक ही शीर्ष बिंदु साझा करते हैं और उनके आधार एक ही सरल रेखा पर स्थित हैं।

नीले त्रिभुज ABD का क्षेत्रफल = 1/2 × BD × h
लाल त्रिभुज AEC का क्षेत्रफल = 1/2 × EC × h
(1) से, BD = EC
अतः, ar(ABD) = ar(AEC)
अतः, नीले त्रिभुज का क्षेत्रफल = लाल त्रिभुज का क्षेत्रफल

उत्तर:
माना चतुर्थांश चाप  के अंतर्गत चार क्षेत्र  A, B, C और D हैं।
माना वर्ग  की भुजा 2r है।
तब प्रत्येक अर्धवृत्त की त्रिज्या r है।

आधार PQ वाले अर्धवृत्त का क्षेत्रफल:
C + A = 1/2 πr²
आधार SR वाले अर्धवृत्त का क्षेत्रफल:
D + A = 1/2 πr²
दोनों अर्धवृत्तों का कुल क्षेत्रफल:
C + D + 2A = πr² …(1)
चतुर्थांश वृत्त की त्रिज्या 2r है और इसमें A, B, C और D क्षेत्र शामिल हैं।
चतुर्थांश वृत्त का क्षेत्रफल:
A + B + C + D = 1/4 × π(2r)²
⇒ A + B + C + D = 1/4 × 4πr²
⇒ A + B + C + D = πr² …(2)
(1) और (2) के बाईं ओर (LHS) को बराबर करने पर, हमें प्राप्त होता है
C + D + 2A = A + B + C + D
⇒ A = B
अतः, A का क्षेत्रफल = B का क्षेत्रफल

उत्तर:
वर्ग  की भुजा = 2 इकाई
प्रत्येक अर्धवृत्त का व्यास = 2 इकाई
अतः, त्रिज्या = 1 इकाई
प्रत्येक पंखुड़ी, त्रिज्या 1 वाले दो चतुर्थांश चापों से बनी है।
अतः, एक पंखुड़ी का परिमाप
= 2 × एक चतुर्थांश वृत्त की लंबाई
= 2 × (1/4 × 2πr)
= 2 × (π/2)
= π
कुल 4 पंखुड़ियाँ हैं।
फूल का कुल परिमाप
= 4 × π
= 4π इकाई
π = 22/7 का उपयोग करने पर:
परिमाप = 4 × 22/7 = 88/7 इकाई
एक आधी पंखुड़ी का क्षेत्रफल:
पंखुड़ी, वृत्त के चतुर्थांश से बनी है।
एक चतुर्थांश त्रिज्यखंड  का क्षेत्रफल है:
= 1/4 × π × 1²
= π/4
दोनों त्रिज्याओं (radii) के बीच बना त्रिभुज (चित्र में अंकित) एक समकोण त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ 1 और 1 हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × 1 × 1 = 1/2

अतः, सेक्शन 1 का क्षेत्रफल:
= π/4 − 1/2
कुल मिलाकर 8 सेक्शन हैं, अतः पंखुड़ियों का कुल क्षेत्रफल = 8(π/4 − 1/2)
= 2π − 4
π = 22/7 का उपयोग करने पर:
क्षेत्रफल = 2 × 22/7 − 4
= 44/7 − 28/7
= 16/7 वर्ग इकाई
अतः:
फूल का परिमाप = 88/7 इकाई
फूल का क्षेत्रफल = 16/7 वर्ग इकाई

उत्तर:
माना बड़े वृत्त  की त्रिज्या R है।
माना छोटे वृत्त की त्रिज्या r है।
चूँकि BC, छोटे वृत्त को बिंदु A पर स्पर्श करती है, अतः OA, BC पर लंबवत है।
साथ ही, चूँकि O बड़े वृत्त का केंद्र है, अतः O से जीवा BC पर डाला गया लंब, जीवा को समद्विभाजित करता है।
अतः, AB = AC = l/2

अब, समकोण त्रिभुज OAC में:
OC² = OA² + AC²
यहाँ, OC = R, OA = r और AC = l/2
अतः, R² = r² + (l/2)²
अतः, R² − r² = l²/4
हरे क्षेत्र का क्षेत्रफल
= बड़े वृत्त का क्षेत्रफल − छोटे वृत्त का क्षेत्रफल
= πR² − πr²
= π(R² − r²)
R² − r² = l²/4 रखने पर:
हरे क्षेत्र का क्षेत्रफल
= π × l²/4
= 1/4 πl²

उत्तर:
माना समकोण त्रिभुज की भुजाएँ a, b और c हैं, जहाँ c कर्ण है।
व्यास d वाले अर्धवृत्त का क्षेत्रफल:
= 1/2 × π(d/2)² = πd²/8
अतः, भुजा a पर बने अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = πa²/8
भुजा b पर बने अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = πb²/8
भुजा c पर बने अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = πc²/8
चूँकि त्रिभुज समकोण है:
a² + b² = c²
दोनों पक्षों को π/8 से गुणा करने पर:
πa²/8 + πb²/8 = πc²/8
अतः, भुजा a पर बने अर्धवृत्त का क्षेत्रफल + भुजा b पर बने अर्धवृत्त का क्षेत्रफल
= भुजा c पर बने अर्धवृत्त का क्षेत्रफल
चित्र से, उभयनिष्ठ अतिव्यापी भागों को हटाने पर, हमें प्राप्त होता है:
क्षेत्रफल(A) + क्षेत्रफल(B) = क्षेत्रफल(C)

उत्तर:
दोनों वृत्त सर्वांगसम  हैं और प्रत्येक दूसरे के केंद्र से होकर गुजरता है।
माना उभयनिष्ठ त्रिज्या r है।
उभयनिष्ठ संलग्न क्षेत्र, दो बराबर वृत्तखंडों  से मिलकर बना है।
दोनों केंद्रों और दोनों प्रतिच्छेदन बिंदुओं  को मिलाइए।
प्रत्येक वृत्त, 120° कोण का एक त्रिज्यखंड बनाता है।
एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल:
= 120/360 × πr²
= πr²/3

त्रिभुज ACD समद्विबाहु है जिसमें AC = AD = r है।
त्रिभुज AMC में,
AM = r/2 [चूँकि AB = r]
पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,
AC² = AM² + MC²
⇒ r² = (r/2)² + MC²
⇒ MC² = 3r²/4
⇒ MC = √3r/2
⇒ CD = √3r [चूँकि CD = 2MC]
अब, त्रिभुज ADC का क्षेत्रफल = 1/2 × CD × AM
= 1/2 × √3r × r/2
= √3r²/4
अतः, एक वृत्तखंड का क्षेत्रफल = πr²/3 − √3r²/4
उभयनिष्ठ संलग्न क्षेत्र का क्षेत्रफल:
= 2 × (πr²/3 − √3r²/4)
= 2r²(π/3 − √3/4)
= r²(2π/3 − √3/2)
अतः, अभीष्ट क्षेत्रफल r²(2π/3 − √3/2) है।

उत्तर:
माना त्रिभुज C की ऊर्ध्वाधर भुजा p है।
माना त्रिभुज C की क्षैतिज भुजा q है।
अतः, C = 1/2 × p × q
अतः, pq = 2C

माना आयत की बाईं भुजा से p तक की क्षैतिज दूरी x है।
माना आयत की निचली भुजा से q तक की ऊर्ध्वाधर दूरी y है।
तब, A = 1/2 × p × x
अतः, px = 2A
साथ ही, B = 1/2 × q × y
अतः, qy = 2B
अब, आयत की:
लंबाई = x + q
चौड़ाई = y + p
आयत का क्षेत्रफल = (x + q)(y + p)
= xy + xp + qy + qp
अब, xp = 2A, qy = 2B और qp = 2C
साथ ही, xy = (xp × qy)/(pq)
= (2A × 2B)/(2C)
= 2AB/C
अतः, आयत का क्षेत्रफल
= 2AB/C + 2A + 2B + 2C
= 2(AB/C + A + B + C)
= 2(AB + AC + BC + C²)/C
= 2(A + C)(B + C)/C

दर्शाइए कि दोनों छायांकित क्षेत्रों का क्षेत्रफल समान है।
उत्तर:
माना दोनों छायांकित क्षेत्रों के बीच का क्षेत्रफल = x
माना OA = OB = r है।
तब AOB एक समकोण त्रिभुज है।
साथ ही, AB² = OA² + OB²
AB² = r² + r²
AB² = 2r²
अतः, AB = r√2
अब, AB, अर्धवृत्त का व्यास है।
अर्धवृत्त की त्रिज्या :
= AB/2
= r√2/2

अर्धवृत्त का क्षेत्रफल:
= 1/2 × π × (r√2/2)²
= 1/2 × π × r²/2
= πr²/4
वृत्तीय छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = πr²/4 – x
केंद्र O और त्रिज्या r वाले चतुर्थांश वृत्त का क्षेत्रफल:
= 1/4 × πr²
= πr²/4
त्रिभुजाकार छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = πr²/4 – x
अतः, दोनों छायांकित क्षेत्रों के क्षेत्रफल बराबर हैं।