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कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 5 के त्वरित लिंक:

• प्रश्नावली 5.1
• प्रश्नावली 5.2
• प्रश्नावली 5.3
• प्रश्नावली 5.4
• प्रश्नावली 5.5
• प्रश्नावली 5.6
• अंतिम प्रश्नावली

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कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 5 प्रश्नावली 5.1 समाधान

उत्तर:
रचना के चरण:

1. रेखाखंड AB = 5 सेंटीमीटर खींचिए।
2. बिंदु A पर, ∠CAB = 70° की रचना कीजिए।
3. बिंदु B पर, ∠CBA = 60° की रचना कीजिए।
4. दोनों किरणों को C पर मिलने दें। इस प्रकार ΔABC बनता है।
5. AB का लंब समद्विभाजक  खींचिए।
6. BC और AC के लंब समद्विभाजक खींचिए।
7. तीनों लंब समद्विभाजकों को O पर मिलने दें। यह बिंदु O परिकेंद्र  है।
8. केंद्र O और त्रिज्या OA लेकर, एक वृत्त खींचिए जो A, B और C से होकर जाए। यह ΔABC का परिवृत्त  है।

∠C = 180° − (70° + 60°) = 50°
चूँकि त्रिभुज के सभी कोण 90° से कम हैं, अतः यह त्रिभुज एक न्यूनकोण त्रिभुज है।
एक न्यूनकोण त्रिभुज में, परिकेंद्र त्रिभुज के अंदर स्थित होता है।
अतः, केंद्र त्रिभुज के अंदर स्थित है।

उत्तर:
रचना के चरण:

1. रेखाखंड AB = 5 सेंटीमीटर खींचिए।
2. बिंदु A पर, ∠BAC = 100° की रचना कीजिए।
3. किरण AX पर, बिंदु C इस प्रकार अंकित कीजिए कि AC = 4 सेंटीमीटर हो।
4. C को B से मिलाइए। इस प्रकार ΔABC बनता है।
5. AB का लंब समद्विभाजक खींचिए।
6. AC और BC के लंब समद्विभाजक खींचिए।
7. इन समद्विभाजकों को O पर मिलने दें। यह बिंदु O परिकेंद्र है।
8. केंद्र O और त्रिज्या OA लेकर, A, B और C से होकर जाने वाला वृत्त खींचिए। यह परिवृत्त है।

चूँकि ∠A = 100° है, अतः यह त्रिभुज एक अधिककोण त्रिभुज है।
एक अधिककोण त्रिभुज में, परिकेंद्र त्रिभुज के बाहर स्थित होता है।
अतः, केंद्र त्रिभुज के बाहर स्थित है।

उत्तर:
रचना के चरण:

1. AB = 6 सेंटीमीटर खींचिए।
2. केंद्र A और त्रिज्या 7 सेंटीमीटर लेकर, एक चाप खींचिए।
3. केंद्र B और त्रिज्या 7 सेंटीमीटर लेकर, दूसरा चाप खींचिए जो पहले चाप को C पर काटे।
4. AC और BC को मिलाइए। इस प्रकार ΔABC बनता है।
5. AB का लंब समद्विभाजक खींचिए।
6. AC और BC के लंब समद्विभाजक खींचिए।
7. उन्हें O पर प्रतिच्छेद करने दें। यह बिंदु O परिकेंद्र है।
8. केंद्र O और त्रिज्या OA लेकर, परिवृत्त खींचिए।

अवलोकन:
चूँकि O परिकेंद्र है, अतः यह तीनों शीर्षों से समदूरस्थ होता है।
अतः, OA = OB = OC
अनुमानित मापन:
7 सेंटीमीटर, 7 सेंटीमीटर, 6 सेंटीमीटर भुजाओं वाले त्रिभुज के लिए,
OA = OB = OC ≈ 4 सेंटीमीटर
अतः, तीनों माप बराबर हैं, प्रत्येक लगभग 4 सेंटीमीटर।

उत्तर:
दो स्थिर बिंदुओं A और B से होकर जाने वाले सभी वृत्तों के लिए, केंद्र AB के लंब समद्विभाजक पर स्थित होता है।
सबसे छोटा वृत्त तब बनता है जब केंद्र AB का मध्य बिंदु हो।
उस स्थिति में, AB वृत्त का व्यास  बन जाता है।
अतः, न्यूनतम संभावित त्रिज्या है:
त्रिज्या = AB/2
अतः, A और B से होकर जाने वाले वृत्त की न्यूनतम संभावित त्रिज्या, AB की आधी है।

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 5 प्रश्नावली 5.2 समाधान

उत्तर:
मान लीजिए AB, केंद्र O वाले एक वृत्त की एक जीवा है।
OA और OB को मिलाइए।

त्रिभुज OAB में
OA = OB [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ]
अतः, त्रिभुज OAB एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

उत्तर:
मान लीजिए AB और PQ, केंद्र O वाले एक ही वृत्त की दो बराबर जीवाएँ  हैं।
तब बने त्रिभुज हैं: △OAB और △OPQ

अब, △OAB और △OPQ में
OA = OP [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ]
OB = OQ [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ]
AB = PQ [दिया है]
अतः, SSS सर्वांगसमता कसौटी  द्वारा,
△OAB ≅ △OPQ

अतः, यदि ऐसे दो समद्विबाहु त्रिभुजों के आधार की लंबाई समान हो, तो वे एक-दूसरे के सर्वांगसम होते हैं।

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 5 प्रश्नावली 5.3 समाधान

(संकेत- चित्र 5.12 का उपयोग कीजिए। आपको बताया गया है कि –
∠CMA = ∠CMB = 90° है। आपको प्रदर्शित करना है कि AM = BM है।)
उत्तर:
प्रमेय 4 का विलोम: किसी वृत्त के केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब उस जीवा को समद्विभाजित करता है।
मान लीजिए AB, केंद्र O वाले एक वृत्त की जीवा है, और OM ⟂ AB है।
सिद्ध करना है: AM = BM

△OMA और △OMB में,
OA = OB [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ]
OM = OM [दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ]
∠OMA = ∠OMB [प्रत्येक 90°, चूँकि OM ⟂ AB]
अतः, RHS सर्वांगसमता  द्वारा
△OMA ≅ △OMB

अतः, AM = BM [CPCT]
अतः, M, AB का मध्यबिंदु  है।
अतः, किसी वृत्त के केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब उस जीवा को समद्विभाजित करता है।

उत्तर:
दिया है: △ABC एक वृत्त के अंतर्गत अंतर्निहित है और AB = AC है।
चूँकि AB = AC है, अतः त्रिभुज ABC आधार BC वाला एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
मान लीजिए AD, A से BC पर डाला गया शीर्षलंब है।
तब AD ⟂ BC

△ABD और △ACD में,
AB = AC [दिया है]
AD = AD [दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ]
∠ADB = ∠ADC [प्रत्येक 90°, चूँकि AD ⟂ BC]
अतः, RHS सर्वांगसमता द्वारा
△ABD ≅ △ACD
अतः, BD = DC [CPCT]
अतः, AD, BC का समद्विभाजक है।
चूँकि AD, BC पर लंब है और साथ ही BC को समद्विभाजित भी करता है, अतः AD जीवा BC का लंब समद्विभाजक  है।
अतः, AD वृत्त के केंद्र से होकर जाता है।
अतः, A से BC पर डाला गया शीर्षलंब वृत्त के केंद्र से होकर जाता है।

उत्तर:
दिया है: वृत्त की त्रिज्या OA = OC = 5 सेंटीमीटर
दोनों जीवाओं की लंबाइयाँ हैं: AB = 6 सेंटीमीटर और CD = 8 सेंटीमीटर
केंद्र O से जीवाओं AB और CD पर डाला गया लंब उन्हें क्रमशः M और N पर समद्विभाजित करता है।
अतः, आधी लंबाइयाँ हैं:
6 सेंटीमीटर वाली जीवा के लिए: AM = 3 सेंटीमीटर
8 सेंटीमीटर वाली जीवा के लिए: CN = 4 सेंटीमीटर
मान लीजिए जीवाओं की केंद्र से दूरियाँ d₁ और d₂ हैं।

त्रिभुज OAM में, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
OM² + AM² = OA²
⇒ d₁² + 3² = 5²
⇒ d₁² + 9 = 25
⇒ d₁² = 16
⇒ d₁ = 4 सेंटीमीटर
इसी प्रकार, त्रिभुज OCN में, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
ON² + CN² = OC²
⇒ d₂² + 4² = 5²
⇒ d₂² + 16 = 25
⇒ d₂² = 9
⇒ d₂ = 3 सेंटीमीटर
चूँकि जीवाएँ केंद्र के विपरीत ओर स्थित हैं और उनके केंद्र एक ही रेखा पर स्थित हैं,
अतः, उनके मध्यबिंदुओं के मध्य दूरी = d₁ + d₂ = 4 + 3 = 7 सेंटीमीटर
अतः, दोनों जीवाओं के मध्यबिंदुओं के मध्य दूरी 7 सेंटीमीटर है।

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 5 प्रश्नावली 5.4 समाधान

उत्तर:
प्रमेय 6: समान लंबाई वाली किसी वृत्त की जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं।
मान लीजिए AB और CD, केंद्र O वाले एक वृत्त की दो बराबर जीवाएँ हैं।
मान लीजिए OM ⟂ AB और ON ⟂ CD है।
हम जानते हैं कि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब उस जीवा को समद्विभाजित करता है।
अतः, AM = MB = AB/2 और CN = ND = CD/2
चूँकि AB = CD है, अतः हमें प्राप्त होता है: AM = CN
साथ ही, OA = OC = वृत्त की त्रिज्या

अब समकोण त्रिभुज OMA और ONC में बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करते हैं:
△OMA में: OA² = OM² + AM²
△ONC में: OC² = ON² + CN²
चूँकि OA = OC और AM = CN है,
अतः, हमें प्राप्त होता है: OM² + AM² = ON² + CN²
अतः, OM² = ON²
⇒ OM = ON
अतः, बराबर जीवाएँ AB और CD केंद्र से समदूरस्थ हैं।
इस प्रकार, प्रमेय 6 सिद्ध हुआ।

उत्तर:
दिया है: CE ⟂ AB, CH ⟂ GF और CE = CH
सिद्ध करना है: AB = GF
उपपत्ति :
चूँकि CE, जीवा AB पर लंब है, अतः केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब उस जीवा को समद्विभाजित करता है।
अतः, AE = EB
इसी प्रकार, चूँकि CH, जीवा GF पर लंब है, अतः GH = HF
△CEA और △CHG में, हमारे पास है
CA = CG [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ]
CE = CH [दिया है]
∠CEA = ∠CHG [प्रत्येक 90°]
अतः, RHS सर्वांगसमता  द्वारा
△CEA ≅ △CHG
अतः, AE = GH [CPCT]
⇒ 2AE = 2GH
⇒ AB = GF [चूँकि AB = 2AE और GF = 2GH]

ऊपर दी गई प्रश्नावली के प्रश्न 2 से निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होता है।
उत्तर:
दिया है: CE ⟂ AB, CH ⟂ GF और CE = CH
सिद्ध करना है: AB = GF
उपपत्ति :
चूँकि CE, जीवा AB पर लंब है, अतः यह AB को समद्विभाजित करता है।
अतः, E, AB का मध्यबिंदु  है।
⇒ AE = AB/2
इसी प्रकार, चूँकि CH, जीवा GF पर लंब है, अतः यह GF को समद्विभाजित करता है।
अतः, H, GF का मध्यबिंदु है।
⇒ GH = GF/2

अब समकोण त्रिभुज △CEA और △CHG में बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय  का प्रयोग करते हैं।
△CEA में: CA² = CE² + AE²
△CHG में: CG² = CH² + GH²
परंतु, CA = CG [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ]
CE = CH [दिया है]
अतः, CE² + AE² = CH² + GH²
⇒ AE² = GH² [चूँकि CE = CH]
अतः, AE = GH
अतः, AB/2 = GF/2
अतः, AB = GF

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 5 प्रश्नावली 5.5 समाधान

उत्तर:
मान लीजिए जीवा AB है और O वृत्त का केंद्र है।
मान लीजिए OM, O से जीवा AB पर डाला गया लंब है।
दिया है: त्रिज्या, OA = OB = 7 सेंटीमीटर
लंबवत दूरी, OM = 6 सेंटीमीटर
हम जानते हैं कि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब उस जीवा को समद्विभाजित करता है।
अतः, AM = MB

समकोण त्रिभुज OMA में,
OA² = OM² + AM²
⇒ 7² = 6² + AM²
⇒ 49 = 36 + AM²
⇒ AM² = 13
⇒ AM = √13
अतः, जीवा AB = 2 × AM = 2√13 सेंटीमीटर
अतः, जीवा की लंबाई 2√13 सेंटीमीटर है।

उत्तर:
मान लीजिए AB, केंद्र O वाले एक वृत्त की जीवा है।
मान लीजिए OM, O से AB पर डाला गया लंब है।
दिया है: त्रिज्या = r
केंद्र से जीवा की लंबवत दूरी = d
चूँकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब उस जीवा को समद्विभाजित करता है, अतः
M, AB का मध्यबिंदु है।
अतः, AM = MB = जीवा की लंबाई का आधा भाग

समकोण त्रिभुज OMA में, बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय द्वारा:
OA² = OM² + AM²
⇒ r² = d² + AM²
⇒ AM² = r² − d²
⇒ AM = √(r² − d²)
परंतु जीवा की लंबाई AB = 2 × AM
अतः, AB = 2√(r² − d²)
अतः, जीवा की लंबाई 2√(r² − d²) है।

उत्तर:
नहीं, हम यह निष्कर्ष नहीं निकाल सकते कि CD = 2AB है।
कारण: किसी जीवा की लंबाई इस सूत्र पर निर्भर करती है:
जीवा की लंबाई = 2√(r² − d²)
यह संबंध केंद्र से दूरी के सीधे समानुपाती नहीं है।
मान लीजिए जीवा CD की केंद्र से दूरी d है।
तब जीवा AB की केंद्र से दूरी 2d है।
अतः, AB = 2√(r² − (2d)²) = 2√(r² − 4d²)
CD = 2√(r² − d²)
स्पष्ट रूप से, CD सामान्यतः 2AB के बराबर नहीं है।

उदाहरण के लिए:
मान लीजिए त्रिज्या r = 5 सेंटीमीटर
और d = 2 सेंटीमीटर
तब AB की केंद्र से दूरी = 4 सेंटीमीटर
अब, CD = 2√(5² − 2²)
= 2√(25 − 4)
= 2√21
AB = 2√(5² − 4²)
= 2√(25 − 16)
= 2√9
= 6
अब, 2AB = 12 परंतु CD = 2√21, जो 12 के बराबर नहीं है।
अतः, दिया गया कथन असत्य है।
अतः, हम यह निष्कर्ष नहीं निकाल सकते कि CD = 2AB है।

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 5 प्रश्नावली 5.6 समाधान

उत्तर:
दिया है: त्रिज्या OA = OB = 12 सेंटीमीटर
∠AOB = 60°
त्रिभुज AOB में: OA = OB
अतः, ∠OAB = ∠OBA [त्रिभुज की बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण]
मान लीजिए ∠OAB = ∠OBA = x

त्रिभुज OAB में,
∠AOB + ∠OAB + ∠OBA = 180° [त्रिभुज का कोण योग गुणधर्म]
⇒ 60° + x + x = 180° [चूँकि ∠AOB = 60°]
⇒ 2x = 180° − 60° = 120°
⇒ x = 120°/2 = 60°
⇒ ∠OAB = ∠OBA = 60°
अतः, त्रिभुज AOB एक समबाहु त्रिभुज है।
अतः, AB = OA = 12 सेंटीमीटर
अतः, जीवा AB की लंबाई 12 सेंटीमीटर है।

(i) क्या AB के एक ही ओर वृत्त पर स्थित दो बिंदु X, Y इस प्रकार हो सकते हैं कि ∠AXB, ∠AYB से भिन्न हो?
(ii) क्या यह सत्य है कि यदि ∠AXB = ∠AYB हो तो बिंदु X व Y वृत्त पर एक ही ओर स्थित हैं?
(iii) यदि ∠AXB = ∠AYB हो और X व Y वृत्त पर स्थित नहीं हैं तो क्या A, B और X से होकर जाने वाला वृत्त बिंदु Y से होकर जाएगा?
उत्तर:
(i) नहीं।
कारण:
यदि X और Y, जीवा AB के एक ही ओर स्थित हों, तो वे AB के एक ही चाप पर स्थित होते हैं।
किसी वृत्त के एक ही वृत्तखंड में एक ही जीवा द्वारा अंतरित कोण  बराबर होते हैं।
अतः, ∠AXB = ∠AYB
अतः, AB के एक ही ओर ऐसे कोई बिंदु X और Y नहीं हैं, जिनके लिए कोण भिन्न हों।

(ii) नहीं, यह सदैव सत्य नहीं है।
कारण:
बराबर कोण, जीवा AB द्वारा विपरीत चापों  पर स्थित बिंदुओं पर भी अंतरित किए जा सकते हैं।
अतः, यदि ∠AXB = ∠AYB भी हो, तो यह आवश्यक नहीं है कि X और Y, AB के एक ही ओर स्थित हों।
अतः, दिया गया कथन असत्य है।

(iii) हाँ।
कारण:
यदि ∠AXB = ∠AYB है, तो रेखाखंड AB, X और Y पर बराबर कोण अंतरित करता है।
चक्रीयता के विलोम प्रमेय के अनुसार:
यदि कोई रेखाखंड, एक ही ओर स्थित दो बिंदुओं पर बराबर कोण अंतरित करता है, तो चारों बिंदु चक्रीय होते हैं
अतः, A, B, X और Y एक ही वृत्त पर स्थित हैं।
अतः, A, B और X से होकर जाने वाला वृत्त, Y से होकर भी जाएगा।

उत्तर:
चित्र में, A, D, C और B एक ही वृत्त पर स्थित बिंदु हैं।
अतः, चतुर्भुज ADCB एक चक्रीय चतुर्भुज  है।
दिया है: ∠ADC = 100°
एक चक्रीय चतुर्भुज में, सम्मुख कोण  संपूरक होते हैं।
अतः, ∠ABC + ∠ADC = 180°
⇒ x + 100° = 180°
⇒ x = 80°
अतः, x = 80°

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 5 अंतिम प्रश्नावली के समाधान

उत्तर:
मान लीजिए AB जीवा है और O केंद्र है।
मान लीजिए OM, O से AB पर डाला गया लंब है।
दिया है:
OM = 5 सेंटीमीटर
OA = 13 सेंटीमीटर
चूँकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब उस जीवा को समद्विभाजित करता है, अतः AM = MB

समकोण त्रिभुज OMA में,
OA² = OM² + AM²
⇒ 13² = 5² + AM²
⇒ 169 = 25 + AM²
⇒ AM² = 144
⇒ AM = 12 सेंटीमीटर
अतः, AB = 2 × AM = 2 × 12 = 24 सेंटीमीटर
अतः, जीवा की लंबाई 24 सेंटीमीटर है।

उत्तर:
हम जानते हैं:
केंद्र पर चाप द्वारा अंतरित कोण = 2 × वृत्त के किसी बिंदु पर उसी चाप द्वारा अंतरित कोण
दिया है: केंद्र पर कोण = 70°
अतः, वृत्त पर कोण
= 70°/2
= 35°
अतः, अभीष्ट कोण 35° है।

उत्तर:
व्यास = 26 सेंटीमीटर
अतः, त्रिज्या = 13 सेंटीमीटर
जीवा AB की लंबाई = 24 सेंटीमीटर
आधी जीवा AM = 12 सेंटीमीटर
मान लीजिए OM, केंद्र O से जीवा AB की लंबवत दूरी है।
तब M, जीवा का मध्यबिंदु है।

समकोण त्रिभुज OMA में,
OA² = OM² + AM²
⇒ 13² = OM² + 12²
⇒ 169 = OM² + 144
⇒ OM² = 25
⇒ OM = 5 सेंटीमीटर
अतः, केंद्र से जीवा की दूरी 5 सेंटीमीटर है।

उत्तर:
मान लीजिए AB जीवा है और O केंद्र है।
मान लीजिए OM, O से AB पर डाला गया लंब है।
दिया है:
OA = 15 सेंटीमीटर
OM = 9 सेंटीमीटर
चूँकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब उस जीवा को समद्विभाजित करता है,
अतः AM = MB

समकोण त्रिभुज OMA में,
OA² = OM² + AM²
⇒ 15² = 9² + AM²
⇒ 225 = 81 + AM²
⇒ AM² = 144
⇒ AM = 12 सेंटीमीटर
अतः, AB = 2 × AM = 24 सेंटीमीटर
अतः, जीवा की लंबाई 24 सेंटीमीटर है।

उत्तर:
मान लीजिए AB, केंद्र O वाले एक वृत्त की एक जीवा है।
मान लीजिए M, AB का मध्यबिंदु है।
हमें यह दर्शाना है कि OM, AB पर लंब है, जिसका अर्थ है कि AB का लंब समद्विभाजक O से होकर जाता है।

अतः, त्रिभुज OMA और OMB में:
OA = OB [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ]
AM = MB [M, AB का मध्यबिंदु है]
OM = OM [उभयनिष्ठ]
अतः, SSS सर्वांगसमता  द्वारा
△OMA ≅ △OMB
अतः, ∠OMA = ∠OMB [CPCT]
परंतु ये दोनों कोण एक रैखिक युग्म बनाते हैं, अतः ∠OMA + ∠OMB = 180°
चूँकि वे बराबर हैं, अतः ∠OMA = ∠OMB = 90°
अतः, OM ⟂ AB
अतः, O और M से होकर जाने वाली रेखा, जीवा AB का लंब समद्विभाजक है।
इति सिद्धम् ।

उत्तर:
AB एक व्यास है।
वृत्त के किसी बिंदु पर व्यास द्वारा अंतरित कोण 90° होता है।
अतः, ∠ACB = 90°
अतः, ∠ACB की माप 90° है।

उत्तर:
एक चक्रीय चतुर्भुज में, सम्मुख कोण संपूरक होते हैं।
अतः, ∠A + ∠C = 180°
⇒ 75° + ∠C = 180°
⇒ ∠C = 105°
साथ ही, ∠B + ∠D = 180°
⇒ 110° + ∠D = 180°
⇒ ∠D = 70°
अतः, ∠C = 105° और ∠D = 70°

उत्तर:
चूँकि PQRS एक चक्रीय चतुर्भुज है, अतः सम्मुख कोण संपूरक होते हैं।
अतः, ∠P + ∠R = 180°
⇒ (2x + 10) + (3x − 20) = 180
⇒ 5x − 10 = 180
⇒ 5x = 190
⇒ x = 38

अब,
∠P = 2x + 10 = 2(38) + 10 = 86°
∠R = 3x − 20 = 3(38) − 20 = 94°
अतः, x = 38, ∠P = 86° और ∠R = 94°

उत्तर:
जीवा की लंबाई AB = 16 सेंटीमीटर
आधी जीवा AM = MB = 8 सेंटीमीटर
केंद्र से जीवा की दूरी OM = 6 सेंटीमीटर
मान लीजिए त्रिज्या r है।

समकोण त्रिभुज OAM में,
OA² = AM² + OM²
⇒ r² = 8² + 6²
⇒ r² = 64 + 36
⇒ r² = 100
⇒ r = 10 सेंटीमीटर
अतः, वृत्त की त्रिज्या 10 सेंटीमीटर है।

उत्तर:
चूँकि चक्रीय चतुर्भुज की भुजाएँ 5, 5, 12, 12 हैं, अतः इसका अर्धपरिमाप  है:
s = (5 + 5 + 12 + 12)/2
= 34/2
= 17
एक चक्रीय चतुर्भुज के लिए, क्षेत्रफल ब्रह्मगुप्त सूत्र  द्वारा दिया जाता है:
क्षेत्रफल = √[(s − a)(s − b)(s − c)(s − d)]
मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है:
क्षेत्रफल = √[(17 − 5)(17 − 5)(17 − 12)(17 − 12)]
= √[(12)(12)(5)(5)]
= √3600
= 60
अतः, चक्रीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल 60 वर्ग इकाई है।

उत्तर:
एक चक्रीय चतुर्भुज में, हम जानते हैं कि सम्मुख कोण संपूरक होते हैं (उनका योग 180° होता है)।
यह ज्ञात करने के लिए कि परिवृत्त का केंद्र  चतुर्भुज के अंदर या बाहर स्थित है, हम चतुर्भुज के कोणों का अवलोकन कर सकते हैं:

• यदि सभी कोण 90° से कम (न्यूनकोण) हों, तो परिकेंद्र चतुर्भुज के अंदर स्थित होता है।
• यदि कोई एक कोण 90° से अधिक (अधिककोण) हो, तो परिकेंद्र चतुर्भुज के बाहर स्थित होता है।

सबसे उपयुक्त विधि: चतुर्भुज के कोणों की जाँच करना।
यह विधि सरल है और इसके लिए परिवृत्त की रचना करने की आवश्यकता नहीं होती।
अतः, केवल यह देखकर कि चतुर्भुज में कोई अधिककोण है या नहीं, हम परिकेंद्र की स्थिति निर्धारित कर सकते हैं।

उत्तर:
मान लीजिए जीवाएँ AB और CD, वृत्त के अंदर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती हैं और O केंद्र है।
चित्र से, ON ⟂ CD और OM ⟂ AB है।
बराबर जीवाएँ ⇒ केंद्र से बराबर दूरियाँ
दिया है: AB = CD …(1)
सिद्ध करना है: PB = PD और AP = CP
अतः, केंद्र से लंबवत दूरियाँ बराबर होंगी।
अतः, OM = ON

ΔOPM और ΔOPN में, हमारे पास है
OP = OP [उभयनिष्ठ भुजा]
OM = ON [ऊपर सिद्ध किया गया]
∠OMP = ∠ONP = 90° [लंब]
अतः, RHS सर्वांगसमता  द्वारा
ΔOPM ≅ ΔOPN
अतः, PM = PN [CPCT] …(2)
अब, OM ⟂ AB है, अतः AM = MB [केंद्र से डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है]
इसी प्रकार, ON ⟂ CD है, अतः CN = ND
चूँकि, AB = CD [समीकरण (1) से]
अतः, BM = DN [चूँकि BM = ½ AB और DN = ½ CD] …(3)
समीकरण (2) और (3) को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है
PM + BM = PN + DN
⇒ PB = PD …(4)
समीकरण (1) में से (4) घटाने पर
AB − PB = CD − PD
⇒ AP = CP

(संकेत- क्या यह एक किसी त्रिभुज का परिवृत्त है?)
उत्तर:
दिया है:
जीवा की लंबाई = 6 सेंटीमीटर
केंद्र से जीवा की दूरी = 3 सेंटीमीटर
रचना के चरण:
1. एक रेखाखंड AB = 6 सेंटीमीटर खींचिए।
2. AB का मध्यबिंदु  M ज्ञात कीजिए।
3. M पर AB के लंबवत एक रेखा खींचिए।
4. इस लंब रेखा पर, एक बिंदु O इस प्रकार अंकित कीजिए कि OM = 3 सेंटीमीटर हो।
5. OA या OB को मिलाइए।
6. केंद्र O और त्रिज्या OA लेकर, एक वृत्त खींचिए।
चूँकि OM, AB पर लंब है और इसके मध्यबिंदु से होकर जाता है, अतः AB वृत्त की एक जीवा है।
साथ ही, AM = 3 सेंटीमीटर और OM = 3 सेंटीमीटर
अतः, OA² = OM² + AM²
⇒ OA² = 3² + 3² = 18
⇒ OA = 3√2 सेंटीमीटर
अतः, अभीष्ट वृत्त का केंद्र O और त्रिज्या 3√2 सेंटीमीटर है।

उत्तर:
मान लीजिए ABCD एक समांतर चतुर्भुज  है जो एक वृत्त के अंतर्गत अंतर्निहित है।
चूँकि यह एक चक्रीय चतुर्भुज  है:
∠A + ∠C = 180°

परंतु एक समांतर चतुर्भुज में, सम्मुख कोण  बराबर होते हैं: ∠A = ∠C
अतः, ∠A + ∠A = 180°
⇒ 2∠A = 180°
⇒ ∠A = 90°
इसी प्रकार, सभी कोण 90° होते हैं।
अतः, वह समांतर चतुर्भुज एक आयत है।
अतः, आयत ही एकमात्र ऐसा समांतर चतुर्भुज है जिसे वृत्त के अंतर्गत बनाया जा सकता है।

उत्तर:
मान लीजिए ABCD एक आयत  है जो एक वृत्त के अंतर्गत अंतर्निहित है।
मान लीजिए इसके विकर्ण AC और BD, O पर प्रतिच्छेद करते हैं।

एक आयत में, विकर्ण बराबर होते हैं और एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
अतः, OA = OC और OB = OD
साथ ही, AC = BD
अतः, OA = OB = OC = OD
इसका अर्थ है कि O, चारों शीर्षों A, B, C और D से समदूरस्थ  है।
वृत्त पर स्थित सभी बिंदुओं से समदूरस्थ बिंदु ही केंद्र होता है।
अतः, विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु ही वृत्त का केंद्र है।

उत्तर:
मान लीजिए वृत्त की त्रिज्या r है।
मान लीजिए प्रत्येक जीवा की निश्चित लंबाई x है।
केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब उस जीवा को समद्विभाजित करता है।
अतः, प्रत्येक जीवा के लिए, आधी जीवा = x/2
मान लीजिए d, जीवा के मध्यबिंदु की केंद्र से दूरी है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
r² = d² + (x/2)²
अतः, d² = r² − (x/2)²
चूँकि r और x निश्चित हैं, अतः d भी निश्चित है।
अतः, प्रत्येक मध्यबिंदु केंद्र से समान दूरी पर स्थित है।
अतः, मध्यबिंदु मूल वृत्त के समान केंद्र वाला एक वृत्त बनाते हैं।

उत्तर:
दिया है: AB = AC
OA, OB और OC को मिलाइए।

△AOB और △AOC में,
OB = OC [दोनों त्रिज्याएँ हैं]
OA = OA [उभयनिष्ठ]
AB = AC [दिया है]
अतः, SSS सर्वांगसमता द्वारा
△AOB ≅ △AOC
अतः, ∠BAO = ∠OAC
अतः, AO, ∠BAC को समद्विभाजित करता है।
अतः, केंद्र O, ∠BAC के कोण समद्विभाजक पर स्थित है।

उत्तर:
मान लीजिए त्रिज्या r है। अतः, OA = OC = r
जीवा AB की लंबाई 10 सेंटीमीटर के लिए:
आधी जीवा AB = 5 सेंटीमीटर
मान लीजिए इसकी केंद्र से दूरी OM = d₁
जीवा CD की लंबाई 24 सेंटीमीटर के लिए:
आधी जीवा CD = 12 सेंटीमीटर
मान लीजिए इसकी केंद्र से दूरी ON = d₂
चूँकि लंबी जीवा केंद्र के अधिक निकट होती है:
d₁ − d₂ = 7 …(1)

त्रिभुज OAM में, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए,
OA² = OM² + AM²
⇒ r² = d₁² + 5²
⇒ r² = d₁² + 25
त्रिभुज OCN में, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए,
OC² = ON² + CN²
⇒ r² = d₂² + 12²
⇒ r² = d₂² + 144
अतः, d₁² + 25 = d₂² + 144
⇒ d₁² − d₂² = 119
⇒ (d₁ − d₂)(d₁ + d₂) = 119
⇒ 7(d₁ + d₂) = 119 [चूँकि d₁ − d₂ = 7]
⇒ d₁ + d₂ = 17 …(2)
अब समीकरण (1) और (2) को हल करने पर,
2d₁ = 24
⇒ d₁ = 12
तब d₂ = 5
अब, r² = d₁² + 5²
= 12² + 5²
= 144 + 25
= 169
⇒ r = 13 सेंटीमीटर
अतः, वृत्त की त्रिज्या 13 सेंटीमीटर है।

उत्तर:
एक समषट्भुज , वृत्त को 6 बराबर केंद्रीय कोणों में विभाजित करता है।
प्रत्येक केंद्रीय कोण = 360°/6 = 60°
मान लीजिए AB, षट्भुज की एक भुजा है और O केंद्र है।
तब OA = OB = r और ∠AOB = 60°
अतः, △AOB एक समबाहु त्रिभुज  है।
अतः, AB = r
इस प्रकार, समषट्भुज की प्रत्येक भुजा r है।

अब प्रत्येक भुजा की केंद्र से दूरी ज्ञात करते हैं।
मान लीजिए OM, AB पर लंब है।
चूँकि △AOB समबाहु है: AM = AB/2 = r/2
समकोण त्रिभुज OMA में:
OA² = OM² + AM²
⇒ r² = OM² + (r/2)²
⇒ OM² = r² − r²/4
⇒ OM² = 3r²/4
⇒ OM = (√3/2)r
अतः, षट्भुज की भुजा की लंबाई = r
प्रत्येक भुजा की केंद्र से दूरी = (√3/2)r

उत्तर:
चूँकि MNOP एक वृत्त के अंतर्गत अंतर्निहित है, अतः यह एक चक्रीय चतुर्भुज है।
अतः, एक चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण संपूरक  होते हैं।
अतः,
∠MOP + ∠MNP = 180°
अतः, ∠MOP और ∠MNP संपूरक कोण  हैं।

उत्तर:
चक्रीय चतुर्भुज ABCD में:
∠ABC + ∠ADC = 180° …(1)
चूँकि E, CD के बढ़ाए जाने पर स्थित है,
अतः, ∠ADC और ∠CDE एक रैखिक युग्म  बनाते हैं।
अतः, ∠ADC + ∠CDE = 180° …(2)

समीकरण (1) और (2) से,
∠ABC + ∠ADC = ∠ADC + ∠CDE
दोनों पक्षों से ∠ADC घटाने पर,
∠ABC = ∠CDE
अतः, चक्रीय चतुर्भुज के किसी शीर्ष पर बहिष्कोण, सम्मुख अंत:कोण के समान होता है।

उत्तर:
एक जीवा, एक वृत्त पर स्थित दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड होता है।
सबसे लंबी जीवा वृत्त के केंद्र से होकर जाती है।
ऐसी जीवा को व्यास  कहते हैं।
किसी अन्य जीवा के लिए, उसकी केंद्र से लंबवत दूरी 0 से अधिक होती है।
यदि त्रिज्या = r और जीवा की केंद्र से दूरी = d हो, तो:
जीवा की लंबाई = 2√(r² − d²)
चूँकि d > 0 है, किसी भी ऐसी जीवा के लिए जो केंद्र से होकर नहीं जाती,
r² − d² < r²
अतः, 2√(r² − d²) < 2r
परंतु व्यास = 2r
अतः, व्यास के अतिरिक्त प्रत्येक जीवा, व्यास से छोटी होती है।
अतः, वृत्त की ऐसी कोई जीवा नहीं है जो उसके व्यास से बड़ी हो।

उत्तर:
मान लीजिए वृत्त का केंद्र O है और A उसके अंदर स्थित एक बिंदु है।
A से होकर जाने वाली किसी भी जीवा की केंद्र O से कोई न कोई लंबवत दूरी होगी।
हम जानते हैं कि जीवा केंद्र से जितनी दूर होती है, वह उतनी ही छोटी होती है।
अतः, A से होकर जाने वाली सबसे छोटी जीवा वह होगी जिसकी O से दूरी अधिकतम हो।

A से होकर जाने वाली सभी रेखाओं में से, O से रेखा की लंबवत दूरी तब सबसे अधिक होती है जब वह रेखा OA पर लंब हो।
अतः, A से होकर जाने वाली वह जीवा जो OA पर लंब है, केंद्र से सबसे दूर होती है।
अतः, यह A से होकर जाने वाली सबसे छोटी जीवा है।
अतः, A से होकर जाने वाली सबसे छोटी जीवा वह है जो OA के लंबवत है।

उत्तर:
मान लीजिए व्यास BC है और O वृत्त का केंद्र है।
बिंदु A अर्धवृत्त पर स्थित है।
OA को मिलाइए।
चूँकि O केंद्र है:
OA = OB = OC
क्योंकि ये सभी एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।
अतः, △AOB समद्विबाहु है और △AOC समद्विबाहु है।
मान लीजिए: ∠ABO = a और ∠ACO = b
तब: ∠BAO = a और ∠OAC = b [∠ABO = ∠BAO और ∠ACO = ∠OAC]
अतः, ∠BAC = a + b
अब, त्रिभुज ABC में:
∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°
अतः, a + (a + b) + b = 180°
⇒ 2a + 2b = 180°
⇒ 2(a + b) = 180°
⇒ a + b = 90°
परंतु, ∠BAC = a + b
अतः, ∠BAC = 90°
अतः, अर्धवृत्त का कोण 90° होता है।

उत्तर:
मान लीजिए AB वृत्त का व्यास है।
चूँकि जीवाएँ CC’ और DD’, AB पर लंब हैं, अतः बिंदु C और C’, AB के परितः सममित  हैं।
इसी प्रकार, D और D’ भी AB के परितः सममित हैं।
अब, मान लीजिए M, CD का मध्यबिंदु है और M’, C’D’ का मध्यबिंदु है।
चूँकि C, AB में परावर्तन द्वारा C’ के संगत है और D, D’ के संगत है,
अतः CD का मध्यबिंदु, C’D’ के मध्यबिंदु के संगत होता है।
अतः, M और M’, AB के परितः सममित हैं।
AB के परितः सममित दो बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा, उस रेखा पर लंब होती है।
अतः, MM’ ⟂ AB
अतः, CD और C’D’ के मध्यबिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड, AB के लंबवत है।

उत्तर:
मान लीजिए ABCD, केंद्र O वाला एक चक्रीय चतुर्भुज है।
OA, OB, OC और OD को मिलाइए।
चूँकि OA, OB, OC और OD एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं:
OA = OB = OC = OD
अतः, केंद्र के साथ बने त्रिभुज समद्विबाहु त्रिभुज  हैं।
चित्र से:
मान लीजिए ∠OAB = p और ∠OBA = q
मान लीजिए ∠ODC = v और ∠OCD = u
त्रिभुजों में कोण-योग गुणधर्म का उपयोग करते हुए, केंद्र O के चारों ओर पूर्ण कोण है: 360°
चापों के संगत केंद्र पर बना कोण, परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है।
इस प्रकार: ∠A + ∠C = 180°
इसी प्रकार: ∠B + ∠D = 180°
अतः, एक चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योगफल 180° होता है।