एनसीईआरटी समाधान कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 4 बीजीय सर्वसमिकाओं का अन्वेषण

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 4 के त्वरित लिंक:

• प्रश्नावली 4.1
• प्रश्नावली 4.2
• प्रश्नावली 4.3
• प्रश्नावली 4.4
• प्रश्नावली 4.5
• अंतिम प्रश्नावली

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कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 4 प्रश्नावली 4.1 समाधान

(i) (7x + 4y)²
(ii) (7/5 x + 3/2 y)²
(iii) (2.5p + 1.5q)²
(iv) (3/4 s + 8t)²
(v) (x + 1/2y)²
(vi) (1/x + 1/y)²
उत्तर:
(i) (7x + 4y)²
सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² का उपयोग करते हुए
यहाँ, a = 7x और b = 4y
(7x + 4y)² = (7x)² + 2(7x)(4y) + (4y)²
= 49x² + 56xy + 16y²

(ii) [(7/5)x + (3/2)y]²
यहाँ, a = (7/5)x और b = (3/2)y
(7/5 x + 3/2 y)² = [(7/5)x]² + 2 × (7/5)x × (3/2)y + [(3/2)y]²
= (49/25)x² + 2 × (21/10)xy + (9/4)y²
= (49/25)x² + (42/10)xy + (9/4)y²
सरलीकरण करने पर:
= (49/25)x² + (21/5)xy + (9/4)y²

(iii) (2.5p + 1.5q)²
यहाँ, a = 2.5p और b = 1.5q
(2.5p + 1.5q)² = (2.5p)² + 2(2.5p)(1.5q) + (1.5q)²
= 6.25p² + 7.5pq + 2.25q²

(iv) [(3/4)s + 8t]²
यहाँ, a = (3/4)s और b = 8t
[(3/4)s + 8t]² = [(3/4)s]² + 2 × (3/4)s × 8t + (8t)²
= (9/16)s² + 2 × (24/4)st + 64t²
= (9/16)s² + 12st + 64t²

(v) [x + 1/(2y)]²
यहाँ, a = x और b = 1/(2y)
[x + 1/(2y)]² = x² + 2 × x × [1/(2y)] + [1/(2y)]²
= x² + (2x)/(2y) + 1/(4y²)
= x² + x/y + 1/(4y²)

(vi) (1/x + 1/y)²
यहाँ, a = 1/x और b = 1/y
(1/x + 1/y)² = (1/x)² + 2(1/x)(1/y) + (1/y)²
= 1/x² + 2/(xy) + 1/y²

(i) (64)²
(ii) (105)²
(iii) (205)²
उत्तर:
(i) (64)²
64 = 60 + 4 लिखने पर
सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² का उपयोग करते हुए:
(60 + 4)² = 60² + 2 × 60 × 4 + 4²
= 3600 + 480 + 16
= 4096

(ii) (105)²
105 = 100 + 5 लिखने पर
अब (105)² = (100 + 5)²
= 100² + 2 × 100 × 5 + 5² [सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² का उपयोग करते हुए]
= 10000 + 1000 + 25
= 11025

(iii) (205)²
205 = 200 + 5 लिखने पर
अतः, (205)² = (200 + 5)²
= 200² + 2 × 200 × 5 + 5² [सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² का उपयोग करते हुए]
= 40000 + 2000 + 25
= 42025

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 4 प्रश्नावली 4.2 समाधान

(i) 9x² + 24xy + 16y²
(ii) 4s² + 20st + 25t²
(iii) 49x² + 28xy + 4y²
(iv) 64p² + (32/3)pq + (4/9)q²
(v) 3a² + 4ab + (4/3)b²
(vi) (9/5)s² + 6sv + 5v²
(संकेत- उदाहरण 7 में 2 को एक सार्व गुणनखंड के रूप में प्राप्त किया गया था। क्या इसी विधि का उपयोग ऊपर दिए गए प्रश्न (v) और (vi) में किया जा सकता है?)
उत्तर:
(i) 9x² + 24xy + 16y²
हम जानते हैं कि:
9x² = (3x)²
16y² = (4y)²
24xy = 2 × 3x × 4y
अतः, 9x² + 24xy + 16y²
= (3x)² + 2 × 3x × 4y + (4y)²
= (3x + 4y)² [सर्वसमिका a² + 2ab + b² = (a + b)² का उपयोग करते हुए]

(ii) 4s² + 20st + 25t²
हम लिख सकते हैं:
4s² = (2s)²
25t² = (5t)²
20st = 2 × 2s × 5t
अतः, 4s² + 20st + 25t²
= (2s)² + 2 × 2s × 5t + (5t)²
= (2s + 5t)² [सर्वसमिका a² + 2ab + b² = (a + b)² का उपयोग करते हुए]

(iii) 49x² + 28xy + 4y²
49x² = (7x)²
4y² = (2y)²
28xy = 2 × 7x × 2y
अतः, 49x² + 28xy + 4y²
= (7x)² + 2 × 7x × 2y + (2y)²
= (7x + 2y)² [सर्वसमिका a² + 2ab + b² = (a + b)² का उपयोग करते हुए]

(iv) 64p² + (32/3)pq + (4/9)q²
64p² = (8p)²
(4/9)q² = (2/3 q)²
मध्य पद:
2 × 8p × (2/3 q) = 32/3 pq
अतः, 64p² + (32/3)pq + (4/9)q²
= (8p)² + 2 × 8p × (2/3 q) + (2/3 q)²
= (8p + 2/3 q)² [सर्वसमिका a² + 2ab + b² = (a + b)² का उपयोग करते हुए]

(v) 3a² + 4ab + (4/3)b²
उभयनिष्ठ गुणनखंड 3 लेने पर:
= 3[a² + (4/3)ab + (4/9)b²]
अब, a² = (a)²
(4/9)b² = (2/3 b)²
(4/3)ab = 2 × a × (2/3 b)
अतः, 3a² + 4ab + (4/3)b²
= 3[a² + (4/3)ab + (4/9)b²]
= 3[a² + 2 × a × (2/3 b) + (2/3 b)²]
= 3(a + 2/3 b)² [सर्वसमिका a² + 2ab + b² = (a + b)² का उपयोग करते हुए]

(vi) (9/5)s² + 6sv + 5v²
उभयनिष्ठ गुणनखंड 1/5 लेने पर:
= (1/5)[9s² + 30sv + 25v²]
अब, 9s² = (3s)²
25v² = (5v)²
30sv = 2 × 3s × 5v
अतः, (9/5)s² + 6sv + 5v²
= (1/5)[9s² + 30sv + 25v²]
= (1/5)[(3s)² + 2 × 3s × 5v + (5v)²]
= (1/5)(3s + 5v)² [सर्वसमिका a² + 2ab + b² = (a + b)² का उपयोग करते हुए]

(i) (79)² (ii) (193)² (iii) (299)²
उत्तर:
(i) (79)²
79 = 80 − 1
= (80 − 1)²
= 80² − 2×80×1 + 1² [सर्वसमिका (a − b)² = a² − 2ab + b² का उपयोग करते हुए]
= 6400 − 160 + 1
= 6241

(ii) (193)²
193 = 200 − 7
= (200 − 7)²
= 200² − 2×200×7 + 7² [सर्वसमिका (a − b)² = a² − 2ab + b² का उपयोग करते हुए]
= 40000 − 2800 + 49
= 37249

(iii) (299)²
299 = 300 − 1
= (300 − 1)²
= 300² − 2×300×1 + 1² [सर्वसमिका (a − b)² = a² − 2ab + b² का उपयोग करते हुए]
= 90000 − 600 + 1
= 89401

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 4 प्रश्नावली 4.3 समाधान

(i) 117²
(ii) 78²
(iii) 198²
(ii) 214²
(v) 1104²
(vi) 1120²
उत्तर:
(i) 117²
117 = 110 + 7
अतः, 117² = (110 + 7)²
= 110² + 2(110)(7) + 7² [सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² का उपयोग करते हुए]
= 12100 + 1540 + 49
= 13689

(ii) 78²
78 = 80 − 2
अतः, 78² = (80 − 2)²
= 80² − 2(80)(2) + 2² [सर्वसमिका (a − b)² = a² − 2ab + b² का उपयोग करते हुए]
= 6400 − 320 + 4
= 6084

(iii) 198²
198 = 200 − 2
अतः, 198² = (200 − 2)²
= 200² − 2(200)(2) + 2² [सर्वसमिका (a − b)² = a² − 2ab + b² का उपयोग करते हुए]
= 40000 − 800 + 4
= 39204

(iv) 214²
214 = 200 + 14
अतः, 214² = (200 + 14)²
= 200² + 2(200)(14) + 14² [सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² का उपयोग करते हुए]
= 40000 + 5600 + 196
= 45796

(v) 1104²
1104 = 1100 + 4
अतः, 1104² = (1100 + 4)²
= 1100² + 2(1100)(4) + 4² [सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² का उपयोग करते हुए]
= 1210000 + 8800 + 16
= 1218816

(vi) 1120²
1120 = 1100 + 20
अतः, 1120² = (1100 + 20)²
= 1100² + 2(1100)(20) + 20² [सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² का उपयोग करते हुए]
= 1210000 + 44000 + 400
= 1254400

(i) 16y² − 24y + 9
(ii) (9/4)s² + 6st + 4t²
(iii) m²/9 + mk/3 + k²/4 + 3nk + 2mn + 9n²
(iv) p²/16 − 2 + 16/p²
(v) 9a² + 4b² + c² − 12ab + 6ac − 4bc
उत्तर:
(i) 16y² − 24y + 9
16y² = (4y)²
9 = 3²
−24y = −2(4y)(3)
अतः, 16y² − 24y + 9
= (4y)² − 2(4y)(3) + 3²
= (4y − 3)² [सर्वसमिका a² − 2ab + b² = (a − b)² का उपयोग करते हुए]

(ii) (9/4)s² + 6st + 4t²
(9/4)s² = (3s/2)²
4t² = (2t)²
6st = 2 × (3s/2) × (2t)
अतः, (9/4)s² + 6st + 4t²
= (3s/2)² + 2 × (3s/2) × (2t) + (2t)²
= (3s/2 + 2t)² [सर्वसमिका a² + 2ab + b² = (a + b)² का उपयोग करते हुए]

(iii) m²/9 + mk/3 + k²/4 + 3nk + 2mn + 9n²
पदों को इस प्रकार समूहित करने पर:
m²/9 + mk/3 + k²/4 + 2mn + 3nk + 9n²
हमें प्राप्त होता है:
m²/9 = (m/3)²
k²/4 = (k/2)²
9n² = (3n)²
अब मध्य पदों की जाँच करने पर:
2 × (m/3) × (k/2) = mk/3
2 × (m/3) × (3n) = 2mn
2 × (k/2) × (3n) = 3nk
अतः, m²/9 + mk/3 + k²/4 + 3nk + 2mn + 9n²
= m²/9 + k²/4 + 9n² + mk/3 + 3nk + 2mn [पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर]
= (m/3)² + (k/2)² + (3n)² + 2 × (m/3) × (k/2) + 2 × (m/3) × (3n) + 2 × (k/2) × (3n)
= (m/3 + k/2 + 3n)² [सर्वसमिका a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)² का उपयोग करते हुए]

(iv) p²/16 − 2 + 16/p²
−2 को इस प्रकार लिखने पर:
−2 = −2 × (p/4) × (4/p)
अब, p²/16 = (p/4)²
16/p² = (4/p)²
अतः, p²/16 − 2 + 16/p²
= (p/4)² − 2(p/4)(4/p) + (4/p)²
= (p/4 − 4/p)² [सर्वसमिका a² − 2ab + b² = (a − b)² का उपयोग करते हुए]

(v) 9a² + 4b² + c² − 12ab + 6ac − 4bc
हमारे पास है:
9a² = (3a)²
4b² = (−2b)² [यहाँ 4b² = (−2b)² है, क्योंकि दो ऋणात्मक पदों −12ab और −4bc में b उभयनिष्ठ है]
c² = c²
अब, 9a² + 4b² + c² − 12ab + 6ac − 4bc
= (3a)² + (−2b)² + c² + 2(3a)(−2b) + 2(3a)(c) + 2(−2b)(c)
= (3a − 2b + c)² [सर्वसमिका x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx = (x + y + z)² का उपयोग करते हुए]

(i) (p + 3q + 7r)²
(ii) (3x − 2y + 4z)²
उत्तर:
(i) (p + 3q + 7r)²
यहाँ, a = p, b = 3q, c = 7r
सर्वसमिका का उपयोग करते हुए:
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
अतः, (p + 3q + 7r)²
= p² + (3q)² + (7r)² + 2(p)(3q) + 2(3q)(7r) + 2(p)(7r)
= p² + 9q² + 49r² + 6pq + 42qr + 14pr

(ii) (3x − 2y + 4z)²
इसे इस प्रकार लिखने पर: [3x + (−2y) + 4z]²
यहाँ, a = 3x, b = −2y, c = 4z
सर्वसमिका का उपयोग करते हुए:
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
अतः, (3x − 2y + 4z)²
= (3x)² + (−2y)² + (4z)² + 2(3x)(−2y) + 2(−2y)(4z) + 2(3x)(4z)
= 9x² + 4y² + 16z² − 12xy − 16yz + 24xz

(a + b − c)² + (a − b + c)² + (a − b − c)² = 2a² + 2b² + 2c²
उत्तर:
यह जाँचने के लिए कि क्या यह एक सर्वसमिका है, बायाँ पक्ष लघुत्तम समापवर्त्य का विस्तार करते हैं।
पहला भाग: (a + b − c)²
= a² + b² + c² + 2ab − 2ac − 2bc
दूसरा भाग: (a − b + c)²
= a² + b² + c² − 2ab + 2ac − 2bc
तीसरा भाग: (a − b − c)²
= a² + b² + c² − 2ab − 2ac + 2bc

अब तीनों को जोड़ने पर:
LHS = (a² + b² + c² + 2ab − 2ac − 2bc)
(a² + b² + c² − 2ab + 2ac − 2bc)
(a² + b² + c² − 2ab − 2ac + 2bc)
= 3a² + 3b² + 3c² − 2ab − 2ac − 2bc
यह 2a² + 2b² + 2c² के बराबर नहीं है।
अतः, दिया गया कथन a, b और c के सभी मानों के लिए सत्य नहीं है।
अतः, यह एक सर्वसमिका नहीं है।

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 4 प्रश्नावली 4.4 समाधान

(i) s² − 11s + 24 = (______) (______)
(ii) (______) (x + 1) = (3x² − 4x − 7)
(iii) 10x² − 11x − 6 = (2x − ) ( + 2)
(iv) 6x² + 7x + 2 = () ()
उत्तर:
(i) s² − 11s + 24 = ()()
हमें दो ऐसी संख्याएँ चाहिए जिनका:
योग = 11 और गुणनफल = 24
ये संख्याएँ 3 और 8 हैं।
अतः, s² − 11s + 24
= s² − 8s − 3s + 24
= s(s − 8) − 3(s − 8)
= (s − 3)(s − 8)
अतः, s² − 11s + 24 = (s − 3)(s − 8)

(ii) (______)(x + 1) = (3x² − 4x − 7)
RHS: 3x² − 4x − 7
= 3x² − 7x + 3x − 7
= x(3x − 7) + 1(3x − 7)
= (3x − 7)(x + 1)
अतः, (3x − 7)(x + 1) = (3x² − 4x − 7)

(iii) 10x² − 11x − 6 = (2x − )( + 2)
LHS = 10x² − 11x − 6
= 10x² − 15x + 4x − 6
= 5x(2x − 3) + 2(2x − 3)
= (5x + 2)(2x − 3)
= (2x − 3)(5x + 2)
अतः, 10x² − 11x − 6 = (2x − 3)(5x + 2)

(iv) 6x² + 7x + 2 = ()()
= 6x² + 3x + 4x + 2
= 3x(2x + 1) + 2(2x + 1)
= (3x + 2)(2x + 1)
अतः, 6x² + 7x + 2 = (3x + 2)(2x + 1)

(i) (41)²
(ii) (27)²
(iii) (23 × 17)
(iv) (135)²
(v) (97)²
(vi) (18 × 29)
(vii) (34 × 43)
(viii) (205)²
उत्तर:
(i) (41)²
41 = 40 + 1
= (40 + 1)²
= 40² + 2 × 40 × 1 + 1² [सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² का उपयोग करते हुए]
= 1600 + 80 + 1
= 1681

(ii) (27)²
27 = 30 − 3
अतः, (27)² = (30 − 3)²
= (30)² − 2 × 30 × 3 + (3)² [सर्वसमिका (a − b)² = a² − 2ab + b² का उपयोग करते हुए]
= 900 − 180 + 9
= 729

(iii) (23 × 17)
सर्वसमिका का उपयोग करते हुए:
23 × 17 = (20 + 3)(20 − 3)
= 20² − 3² [सर्वसमिका (a + b)(a − b) = a² − b² का उपयोग करते हुए]
= 400 − 9
= 391

(iv) (135)²
135 = 100 + 35
अतः, (135)²
= (100 + 35)²
= (100)² + 2 × 100 × 35 + (35)² [सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² का उपयोग करते हुए]
= 10000 + 7000 + 1225
= 18225

(v) (97)²
97 = 100 − 3
अतः, (97)²
= (100 − 3)²
= (100)² − 2 × 100 × 3 + (3)² [सर्वसमिका (a − b)² = a² − 2ab + b² का उपयोग करते हुए]
= 10000 − 600 + 9
= 9409

(vi) (18 × 29)
18 × 29
= (20 − 2)(20 + 9)
= 20² + (−2 + 9) × 20 − 18 [सर्वसमिका (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + a × b का उपयोग करते हुए]
= 400 + 140 − 18
= 522

(vii) (34 × 43)
= (38 − 4)(38 + 5)
= 38² + (−4 + 5) × 38 − 20 [सर्वसमिका (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + a × b का उपयोग करते हुए]
= 38² + 38 − 20
= 1444 + 38 − 20
= 1462

(viii) (205)²
205 = 200 + 5
= (200 + 5)²
= (200)² + 2 × 200 × 5 + (5)² [सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² का उपयोग करते हुए]
= 40000 + 2000 + 25
= 42025

(i) 9a² + b² + 4c² − 6ab + 12ac − 4bc
(ii) 16s² + 25t² − 40st
(iii) r² − r − 42 (iv) 49g² + 14gh + h²
(v) 64u² + 121v² + 4w² − 176uv − 32uw + 44vw
उत्तर:
(i) 9a² + b² + 4c² − 6ab + 12ac − 4bc
9a² + b² + 4c² − 6ab + 12ac − 4bc
= (3a)² + (b)² + (2c)² + 2(3a)(−b) + 2(−b)(2c) + 2(3a)(2c)
= (3a − b + 2c)² [सर्वसमिका x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz = (x + y + z)² का उपयोग करते हुए]

(ii) 16s² + 25t² − 40st
16s² + 25t² − 40st
= 16s² − 40st + 25t² [पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर]
= (4s)² − 2(4s)(5t) + (5t)²
= (4s − 5t)² [सर्वसमिका a² − 2ab + b² = (a − b)² का उपयोग करते हुए]

(iii) r² − r − 42
हमें दो ऐसी संख्याएँ चाहिए जिनका:
गुणनफल = −42 और योग = −1
ये संख्याएँ −7 और 6 हैं।
अतः, r² − r − 42
= r² − 7r + 6r − 42
= r(r − 7) + 6(r − 7)
= (r − 7)(r + 6)

(iv) 49g² + 14gh + h²
49g² + 14gh + h²
= (7g)² + 2(7g)(h) + (h)²
= (7g + h)² [सर्वसमिका a² + 2ab + b² = (a + b)² का उपयोग करते हुए]

(v) 64u² + 121v² + 4w² − 176uv − 32uw + 44vw
64u² + 121v² + 4w² − 176uv − 32uw + 44vw
= 64u² + 121v² + 4w² − 176uv + 44vw − 32uw [पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर]
= (8u)² + (11v)² + (2w)² + 2(8u)(−11v) + 2(−11v)(−2w) + 2(8u)(−2w)
= (8u − 11v − 2w)² [सर्वसमिका x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz = (x + y + z)² का उपयोग करते हुए]

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 4 प्रश्नावली 4.5 समाधान

(i) (3p² − 3pq − 18q²)/(p² + 3pq − 10q²)
(ii) (n³ − 3n²m + 3nm² − m³)/(5m² − 10mn + 5n²)
(iii) (w³ − v³ + x³ + 3wvx)/(w² + v² + x² − 2wv − 2vx + 2wx)
(iv) (4y² − 20yz + 25z²)/(25z² − 4y²)
(v) [(x² + x − 6)(x² − 7x + 12)]/[(x² − 6x + 8)(x² − 9)]
(vi) (p⁴ − 16)/(p² − 4p + 4)
उत्तर:
(i) पहले अंश का गुणनखंडन करते हैं:
3p² − 3pq − 18q²
= 3(p² − pq − 6q²)
= 3[p² − 3pq + 2pq − 6q²]
= 3[p(p − 3q) + 2q(p − 3q)]
= 3(p − 3q)(p + 2q)
अब हर  का गुणनखंडन करते हैं:
p² + 3pq − 10q²
= p² + 5pq − 2pq − 10q²
= p(p + 5q) − 2q(p + 5q)
= (p + 5q)(p − 2q)
अतः, (3p² − 3pq − 18q²)/(p² + 3pq − 10q²)
= 3(p − 3q)(p + 2q) / [(p + 5q)(p − 2q)]
कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड निरस्त नहीं होता।

(ii) (n³ − 3n²m + 3nm² − m³)/(5m² − 10mn + 5n²)
सर्वसमिका का उपयोग करते हुए अंश का गुणनखंडन:
n³ − 3n²m + 3nm² − m³
= (n − m)³ [सर्वसमिका a³ − 3a²b + 3ab² − b³ = (a − b)³ का उपयोग करते हुए]
हर का गुणनखंडन:
5m² − 10mn + 5n²
= 5(m² − 2mn + n²)
= 5(m − n)² [सर्वसमिका a² − 2ab + b² = (a − b)² का उपयोग करते हुए]
अब, (n − m)³ / [5(m − n)²]
= −(m − n)³ / [5(m − n)²] [चूँकि, (n − m) = −(m − n), अतः (n − m)³ = −(m − n)³]
= −(m − n)/5

(iii) (w³ − v³ + x³ + 3wvx)/(w² + v² + x² − 2wv − 2vx + 2wx)
अंश का गुणनखंडन:
w³ − v³ + x³ + 3wvx
= w³ + (−v)³ + x³ − 3w(−v)x
= (w − v + x)(w² + v² + x² + wv + vx − wx)
[सर्वसमिका a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca) का उपयोग करते हुए]
अब हर:
w² + v² + x² − 2wv − 2vx + 2wx
= w² + (−v)² + x² + 2w(−v) + 2(−v)x + 2xw
= (w − v + x)² [सर्वसमिका a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)² का उपयोग करते हुए]
अतः, (w³ − v³ + x³ + 3wvx)/(w² + v² + x² − 2wv − 2vx + 2wx)
= [(w − v + x)(w² + v² + x² + wv + vx − wx)] / (w − v + x)²
= (w² + x² + v² − wx + vx − wv) / (w + x − v) [उभयनिष्ठ गुणनखंड निरस्त करने पर]

(iv) (4y² − 20yz + 25z²)/(25z² − 4y²)
अंश का गुणनखंडन:
4y² − 20yz + 25z²
= (2y)² − 2(2y)(5z) + (5z)²
= (2y − 5z)² [सर्वसमिका a² − 2ab + b² = (a − b)² का उपयोग करते हुए]
हर का गुणनखंडन:
25z² − 4y²
= (5z − 2y)(5z + 2y) [सर्वसमिका a² − b² = (a − b)(a + b) का उपयोग करते हुए]
अतः, (4y² − 20yz + 25z²)/(25z² − 4y²)
= (5z − 2y)² / [(5z − 2y)(5z + 2y)] [चूँकि (2y − 5z)² = (−1)²(5z − 2y)² = (5z − 2y)²]
= (5z − 2y)/(5z + 2y)

(v) [(x² + x − 6)(x² − 7x + 12)]/[(x² − 6x + 8)(x² − 9)]
प्रत्येक बहुपद का गुणनखंडन करते हुए:
x² + x − 6 = x² + 3x − 2x − 6 = x(x + 3) − 2(x + 3) = (x + 3)(x − 2)
x² − 7x + 12 = x² − 3x − 4x + 12 = x(x − 3) − 4(x − 3) = (x − 3)(x − 4)
x² − 6x + 8 = x² − 4x − 2x + 8 = x(x − 4) − 2(x − 4) = (x − 2)(x − 4)
x² − 9 = (x − 3)(x + 3)
प्रत्येक बहुपद को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
[(x + 3)(x − 2)][(x − 3)(x − 4)] / [(x − 2)(x − 4)][(x − 3)(x + 3)]
= 1 [चूँकि सभी गुणनखंड निरस्त हो जाते हैं]

(vi) (p⁴ − 16)/(p² − 4p + 4)
अंश का गुणनखंडन:
p⁴ − 16
= (p² − 4)(p² + 4) [सर्वसमिका a² − b² = (a + b)(a − b) का उपयोग करते हुए]
= (p − 2)(p + 2)(p² + 4) [पुनः सर्वसमिका a² − b² = (a + b)(a − b) का उपयोग करते हुए]
हर का गुणनखंडन:
p² − 4p + 4
= p² − 2(p)(2) + 2²
= (p − 2)² [सर्वसमिका a² − 2ab + b² = (a − b)² का उपयोग करते हुए]
अतः, [(p − 2)(p + 2)(p² + 4)] / (p − 2)²
= (p + 2)(p² + 4) / (p − 2) [उभयनिष्ठ गुणनखंड (p − 2) निरस्त करने पर]

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 4 अंतिम प्रश्नावली के समाधान

(i) (−3x + 4)²
(ii) (2s + 7)(2s − 7)
(iii) (p² + 1/2)(p² − 1/2)
(iv) (2n + 7)(2n − 7)
(v) (s − 2t)(s² + 2st + 4t²)
(vi) (1/2r − 4r)²
(vii) (−3m + 4k − l)²
(viii) (x − 1/3 y)³
(ix) (7/2 k − 2/3 m)³
उत्तर:
(i) (−3x + 4)²
= (−3x)² + 2(−3x)(4) + 4² [सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² का उपयोग करते हुए]
= 9x² − 24x + 16

(ii) (2s + 7)(2s − 7)
= (2s)² − 7² [सर्वसमिका (a + b)(a − b) = a² − b² का उपयोग करते हुए]
= 4s² − 49

(iii) (p² + 1/2)(p² − 1/2)
= (p²)² − (1/2)² [सर्वसमिका (a + b)(a − b) = a² − b² का उपयोग करते हुए]
= p⁴ − 1/4

(iv) (2n + 7)(2n − 7)
= (2n)² − 7² [सर्वसमिका (a + b)(a − b) = a² − b² का उपयोग करते हुए]
= 4n² − 49

(v) (s − 2t)(s² + 2st + 4t²)
= s³ − (2t)³ [सर्वसमिका (a − b)(a² + ab + b²) = a³ − b³ का उपयोग करते हुए]
= s³ − 8t³

(vi) [1/(2r) − 4r]²
= [1/(2r)]² − 2 × [1/(2r)] × 4r + (4r)² [सर्वसमिका (a − b)² = a² − 2ab + b² का उपयोग करते हुए]
= 1/(4r²) − 4 + 16r²

(vii) (−3m + 4k − l)²
= (−3m)² + (4k)² + (−l)² + 2(−3m)(4k) + 2(4k)(−l) + 2(−3m)(−l)
[सर्वसमिका (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca का उपयोग करते हुए]
= 9m² + 16k² + l² − 24mk − 8kl + 6ml

(viii) (x − 1/3 y)³
= x³ − 3x²(y/3) + 3x(y/3)² − (y/3)³
[सर्वसमिका (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ का उपयोग करते हुए]
= x³ − x²y + 3x(y²/9) − y³/27
= x³ − x²y + (1/3)xy² − y³/27

(ix) (7/2 k − 2/3 m)³
सर्वसमिका (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ का उपयोग करते हुए
यहाँ, a = 7k/2, b = 2m/3
अतः, a³ = (7k/2)³ = 343k³/8
3a²b = 3 × (49k²/4) × (2m/3) = 49k²m/2
3ab² = 3 × (7k/2) × (4m²/9) = 14km²/3
b³ = (2m/3)³ = 8m³/27
अतः, (7/2 k − 2/3 m)³
= 343k³/8 − 49k²m/2 + 14km²/3 − 8m³/27

(i) 17 × 21
(ii) 104 × 96
(iii) 24 × 16
(iv) 147³
(v) 199³
(vi) 127³
(vii) (−107)³
(viii) (−299)³
उत्तर:
(i) 17 × 21
सर्वसमिका (a − b)(a + b) = a² − b² का उपयोग करते हुए:
17 × 21 = (19 − 2)(19 + 2)
= 19² − 2²
= 361 − 4
= 357

(ii) 104 × 96
सर्वसमिका (a + b)(a − b) = a² − b² का उपयोग करते हुए:
104 × 96 = (100 + 4)(100 − 4)
= 100² − 4²
= 10000 − 16
= 9984

(iii) 24 × 16
सर्वसमिका (a + b)(a − b) = a² − b² का उपयोग करते हुए:
24 × 16 = (20 + 4)(20 − 4)
= 20² − 4²
= 400 − 16
= 384

(iv) 147³
हम जानते हैं कि 147 = 150 − 3
अतः, 147³ = (150 − 3)³
= 150³ − 3 × 150² × 3 + 3 × 150 × 3² − 3³ [सर्वसमिका (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ का उपयोग करते हुए]
= 3375000 − 202500 + 4050 − 27
= 3176523

(v) 199³
199 = 200 − 1
अतः, 199³ = (200 − 1)³
= 200³ − 3 × 200² × 1 + 3 × 200 × 1² − 1 [सर्वसमिका (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ का उपयोग करते हुए]
= 8000000 − 120000 + 600 − 1
= 7880599

(vi) 127³
यहाँ, 127 = 130 − 3
अतः, 127³ = (130 − 3)³
= 130³ − 3 × 130² × 3 + 3 × 130 × 3² − 3³ [सर्वसमिका (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ का उपयोग करते हुए]
= 2197000 − 152100 + 3510 − 27
= 2048383

(vii) (−107)³
(−107)³ = −(107³)
अब, 107 = 100 + 7
107³ = (100 + 7)³
= 100³ + 3 × 100² × 7 + 3 × 100 × 7² + 7³ [सर्वसमिका (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ का उपयोग करते हुए]
= 1000000 + 210000 + 14700 + 343
= 1225043
अतः, (−107)³ = −1225043

(viii) (−299)³
(−299)³ = −(299³)
यहाँ, 299 = 300 − 1
अतः, 299³ = (300 − 1)³
= 300³ − 3 × 300² × 1 + 3 × 300 × 1² − 1 [सर्वसमिका (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ का उपयोग करते हुए]
= 27000000 − 270000 + 900 − 1
= 26730900 − 1
= 26730899
अतः, (−299)³ = −26730899

(i) 4y² + 1 + 1/16y²
(ii) 9m² − 1/25n²
(iii) 27b³ − 1/64b³
(iv) x² + 5x/6 + 1/6
(v) 27u³ − 1/125 − 27u²/5 + 9u/25
(vi) 64y³ + z³/125
(vii) p³ + 27q³ + r³ − 9pqr
(viii) 9m² − 12m + 4
(ix) 9x³ − 8/3 y³ + z³/3 + 6xyz
(x) 4x² + 9y² + 36z² + 12xy + 36yz + 24zx
(xi) 27u³ − 1/216 − 9u²/2 + u/4
उत्तर:
(i) 4y² + 1 + 1/(16y²)
यहाँ, 4y² = (2y)²
1/(16y²) = (1/4y)²
और 2 × 2y × 1/(4y) = 1
अतः, यह a² + 2ab + b² = (a + b)² के रूप में है।
अतः, 4y² + 1 + 1/(16y²)
= (2y + 1/(4y))²

(ii) 9m² − 1/(25n²)
= (3m)² − (1/5n)²
= (3m + 1/5n)(3m − 1/5n) [सर्वसमिका a² − b² = (a + b)(a − b) का उपयोग करते हुए]

(iii) 27b³ − 1/(64b³)
= [3b − 1/(4b)][(3b)² + (3b)(1/4b) + (1/4b)²] [सर्वसमिका a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) का उपयोग करते हुए]
= (3b − 1/4b)[9b² + 3/4 + 1/16b²]

(iv) x² + 5x/6 + 1/6
हमें दो ऐसी संख्याएँ चाहिए जिनका योग 5/6 और गुणनफल 1/6 हो।
ये संख्याएँ 1/2 और 1/3 हैं।
अतः, x² + 5x/6 + 1/6
= x² + x/2 + x/3 + 1/6 [मध्य पद को विभाजित करने पर]
= x(x + 1/2) + 1/3(x + 1/2)
= (x + 1/3)(x + 1/2)

(v) 27u³ − 1/125 − 27u²/5 + 9u/25
दिया गया व्यंजक:
27u³ − 1/125 − 27u²/5 + 9u/25
= 27u³ − 27u²/5 + 9u/25 − 1/125 [पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर]
= (3u)³ − 3(3u)²(1/5) + 3(3u)(1/5)² − (1/5)³
= (3u − 1/5)³ [सर्वसमिका a³ − 3a²b + 3ab² − b³ = (a − b)³ का उपयोग करते हुए]

(vi) 64y³ + (1/125)z³
= (4y)³ + (z/5)³
= (4y + z/5)[(4y)² − (4y)(z/5) + (z/5)²] [सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) का उपयोग करते हुए]
= (4y + z/5)(16y² − 4yz/5 + z²/25)

(vii) p³ + 27q³ + r³ − 9pqr
p³ + 27q³ + r³ − 9pqr
= p³ + (3q)³ + r³ − 3(p)(3q)(r)
= (p + 3q + r)[p² + (3q)² + r² − p(3q) − (3q)r − pr]
[सर्वसमिका a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca) का उपयोग करते हुए]
= (p + 3q + r)(p² + 9q² + r² − 3pq − 3qr − pr)

(viii) 9m² − 12m + 4
= (3m)² − 2(3m)(2) + (2)²
= (3m − 2)² [सर्वसमिका a² − 2ab + b² = (a − b)² का उपयोग करते हुए]

(ix) 9x³ − (8/3)y³ + z³/3 + 6xyz
= (1/3)[9x³ − 8y³ + z³ + 18xyz]
= (1/3)[(3x)³ + (−2y)³ + z³ − 3(3x)(−2y)z]
= (1/3)(3x − 2y + z)[(3x)² + (−2y)² + z² − (3x)(−2y) − (−2y)(z) − (z)(3x)]
[सर्वसमिका a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca) का उपयोग करते हुए]
= (1/3)(3x − 2y + z)[9x² + 4y² + z² + 6xy + 2yz − 3zx]

(x) 4x² + 9y² + 36z² + 12xy + 36yz + 24zx
= 4x² + 9y² + 36z² + 24xy + 36yz + 12xz
= (2x)² + (3y)² + (6z)² + 2(2x)(3y) + 2(3y)(6z) + 2(2x)(6z)
= (2x + 3y + 6z)² [सर्वसमिका a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)² का उपयोग करते हुए]

(xi) 27u³ − 1/216 − 9u²/2 + u/4
= 27u³ − 9u²/2 + u/4 − 1/216 [पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर]
= (3u)³ − 3(3u)²(1/6) + 3(3u)(1/6)² − (1/6)³
= (3u − 1/6)³ [सर्वसमिका a³ − 3a²b + 3ab² − b³ = (a − b)³ का उपयोग करते हुए]

(i) (4x² + 4x + 1)/(4x² − 1)
(ii) 9(3a³ − 24b³)/(9a² − 36b²)
(iii) (s³ + 125t³)/(s² − 2st − 35t²)
संकेत – मान लीजिए कि ‘हर’ शून्य के समान नहीं है।
उत्तर:
(i) (4x² + 4x + 1)/(4x² − 1)
अंश का गुणनखंडन:
4x² + 4x + 1
= (2x)² + 2(2x)(1) + 1²
= (2x + 1)² [सर्वसमिका a² + 2ab + b² = (a + b)² का उपयोग करते हुए]
हर का गुणनखंडन:
4x² − 1 = (2x + 1)(2x − 1)
अब व्यंजक: (4x² + 4x + 1)/(4x² − 1)
= (2x + 1)² / [(2x + 1)(2x − 1)]
= (2x + 1)/(2x − 1)

(ii) 9(3a³ − 24b³)/(9a² − 36b²)
पहले सरलीकरण करने पर:
9(3a³ − 24b³) = 27(a³ − 8b³)
और 9a² − 36b² = 9(a² − 4b²)
अतः, 9(3a³ − 24b³)/(9a² − 36b²)
= 3(a³ − 8b³)/(a² − 4b²)
= 3(a − 2b)(a² + 2ab + 4b²)/(a² − 4b²) [चूँकि a³ − 8b³ = a³ − (2b)³ = (a − 2b)(a² + 2ab + 4b²)]
= 3(a − 2b)(a² + 2ab + 4b²)/(a − 2b)(a + 2b) [चूँकि a² − 4b² = (a − 2b)(a + 2b)]
= 3(a² + 2ab + 4b²)/(a + 2b) [उभयनिष्ठ गुणनखंड (a − 2b) निरस्त करने पर]

(iii) (s³ + 125t³)/(s² − 2st − 35t²)
अंश का गुणनखंडन:
s³ + 125t³ = s³ + (5t)³
= (s + 5t)(s² − 5st + 25t²) [सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) का उपयोग करते हुए]
हर का गुणनखंडन:
s² − 2st − 35t²
= s² − 7st + 5st − 35t²
= s(s − 7t) + 5t(s − 7t)
= (s + 5t)(s − 7t)
अब दिया गया व्यंजक:
(s³ + 125t³)/(s² − 2st − 35t²)
= (s + 5t)(s² − 5st + 25t²)/(s + 5t)(s − 7t)
= (s² − 5st + 25t²)/(s − 7t) [उभयनिष्ठ गुणनखंड (s + 5t) निरस्त करने पर]

(i) 25a² − 30ab + 9b²
(ii) 36s² − 49t²
उत्तर:
(i) 25a² − 30ab + 9b²
यह एक पूर्ण वर्ग है:
25a² − 30ab + 9b²
= (5a)² − 2(5a)(3b) + (3b)²
= (5a − 3b)² [सर्वसमिका a² − 2ab + b² = (a − b)² का उपयोग करते हुए]
अतः, लंबाई और चौड़ाई के संभावित व्यंजक हैं: (5a − 3b) और (5a − 3b)

(ii) 36s² − 49t²
36s² − 49t²
= (6s)² − (7t)²
= (6s + 7t)(6s − 7t) [सर्वसमिका a² − b² = (a + b)(a − b) का उपयोग करते हुए]
अतः, लंबाई और चौड़ाई के संभावित व्यंजक हैं: (6s + 7t) और (6s − 7t)

(i) 6a² − 24b²
(ii) 3ps² − 15ps + 12p
उत्तर:
(i) 6a² − 24b²
उभयनिष्ठ गुणनखंड लेने पर:
6a² − 24b²
= 6(a² − 4b²)
= 6[a² − (2b)²]
= 6(a + 2b)(a − 2b) [सर्वसमिका a² − b² = (a + b)(a − b) का उपयोग करते हुए]
अतः, संभावित विमाएँ हैं: 6, (a + 2b) और (a − 2b)

(ii) 3ps² − 15ps + 12p
3ps² − 15ps + 12p
= 3p(s² − 5s + 4) [उभयनिष्ठ गुणनखंड लेने पर]
= 3p(s² − 4s − 1s + 4)
= 3p[s(s − 4) − 1(s − 4)]
= 3p(s − 1)(s − 4)
अतः, संभावित विमाएँ हैं: 3p, (s − 1) और (s − 4)

उत्तर:
खेल के मैदान की भुजा = 40 मीटर
चूँकि खेल के मैदान के चारों ओर बाहर की ओर s मीटर चौड़ाई का एक मार्ग बनाया गया है, अतः बाहरी वर्ग की भुजा हो जाती है:
40 + 2s
बाहरी वर्ग का क्षेत्रफल = (40 + 2s)²
खेल के मैदान का क्षेत्रफल = 40² = 1600
अतः, मार्ग का क्षेत्रफल
= (40 + 2s)² − 1600
= (1600 + 160s + 4s²) − 1600
= 4s² + 160s
अतः, अभीष्ट व्यंजक: मार्ग का क्षेत्रफल = 4s² + 160s वर्ग मीटर

उत्तर:
मान लीजिए संख्या x है।
तब, प्रश्नानुसार: x + 1/x = 10/3
दोनों पक्षों को 3x से गुणा करने पर:
3x² + 3 = 10x
⇒ 3x² − 10x + 3 = 0
⇒ 3x² − 9x − x + 3 = 0
⇒ 3x(x − 3) − 1(x − 3) = 0
⇒ (3x − 1)(x − 3) = 0
अतः, 3x − 1 = 0 या x − 3 = 0
अतः, x = 1/3 या x = 3
अतः, वह संख्या 3 या 1/3 है।

उत्तर:
ताल का क्षेत्रफल = 2x² + 7x + 3
चौड़ाई = 2x + 1
लंबाई = क्षेत्रफल/चौड़ाई
= (2x² + 7x + 3)/(2x + 1)
= (2x² + 6x + x + 3)/(2x + 1)
= [2x(x + 3) + 1(x + 3)]/(2x + 1)
= (2x + 1)(x + 3)/(2x + 1)
= x + 3
अतः, ताल की लंबाई (x + 3) हस्त है।

उत्तर:
चूँकि x − 2 और x − 1/2 गुणनखंड हैं, अतः द्विघात बहुपद को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
px² + 5x + r = k(x − 2)(x − 1/2)
⇒ (x − 2)(x − 1/2) = k[x² − (5/2)x + 1]
⇒ x² − (1/2)x − 2x + 1 = k[x² − (5/2)x + 1]
⇒ x² − (5/2)x + 1 = k[x² − (5/2)x + 1]
दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है:
x² का गुणांक: k = p
अचर पद : k = r
अतः, p = r

उत्तर:
दिया है:
a + b + c = 5
ab + bc + ca = 10
पहले a² + b² + c² ज्ञात करने के लिए, हम इस सर्वसमिका का उपयोग करते हैं:
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
अतः, 5² = a² + b² + c² + 2(10)
⇒ 25 = a² + b² + c² + 20
⇒ a² + b² + c² = 5
अब, a² + b² + c² − ab − bc − ca = 5 − 10 = −5
सर्वसमिका a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca) का उपयोग करते हुए:
a³ + b³ + c³ − 3abc
= (5)(−5)
= −25
अतः, सिद्ध हुआ कि a³ + b³ + c³ − 3abc = −25

उत्तर:
हमारे पास है: n³ − n
= n(n² − 1)
= n(n − 1)(n + 1)
अतः, n³ − n = n(n − 1)(n + 1)
इस प्रकार, n³ − n तीन क्रमागत प्राकृत संख्याओं का गुणनफल है: (n − 1), n, (n + 1)
किन्हीं भी तीन क्रमागत प्राकृत संख्याओं में:

• इनमें से एक संख्या सदैव 3 से विभाज्य होती है।
• इनमें से कम से कम एक संख्या सदैव सम होती है, अतः 2 से विभाज्य होती है।

अतः, इनका गुणनफल सदैव इससे विभाज्य होता है: 2 × 3 = 6
अतः, n³ − n सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए सदैव 6 से विभाज्य है।

(i) x³ + y³ − 12xy + 64, जब x + y = −4
(ii) x³ − 8y³ − 36xy − 216, जब x = 2y + 6
उत्तर:
(i) x³ + y³ − 12xy + 64, जब x + y = −4
चूँकि x + y = −4 है, अतः:
(x + y)³ = (−4)³ = −64
सर्वसमिका (x + y)³ = x³ + y³ + 3xy(x + y) का उपयोग करते हुए:
अतः,
−64 = x³ + y³ + 3xy(−4)
⇒ −64 = x³ + y³ − 12xy
अतः, x³ + y³ − 12xy = −64
अब, x³ + y³ − 12xy + 64 = −64 + 64 = 0
अतः, मान 0 है।

(ii) x³ − 8y³ − 36xy − 216, जब x − 2y + 6 = 0
दिया है: x − 2y + 6 = 0
अतः, x − 2y = −6
अब सर्वसमिका (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ का उपयोग करते हैं।
हमारे पास है: x³ − 8y³ − 36xy − 216
= x³ − 8y³ + 3(x)(−2y)(−6) + (−6)³
अतः, यह a³ + b³ + c³ − 3abc से मेल खाता है, जहाँ a = x, b = −2y, c = −6
सर्वसमिका a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca) का उपयोग करते हुए:
इस प्रकार, x³ − 8y³ − 36xy − 216
= x³ + (−2y)³ + (−6)³ − 3(x)(−2y)(−6)
= (x − 2y − 6)[x² + 4y² + 36 + 2xy − 12y + 18x]
परंतु प्रश्न के अनुसार:
x − 2y + 6 = 0, जिससे x − 2y = −6 प्राप्त होता है, अतः x − 2y − 6 = −12, जो शून्य नहीं है।
अतः, यह व्यंजक दी गई शर्त के अनुसार जैसा लिखा गया है उसमें शून्य नहीं बनता।
शर्त से x = 2y − 6 का उपयोग करते हुए, इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
x³ − 8y³ − 36xy − 216
= (2y − 6)³ − 8y³ − 36(2y − 6)y − 216
= (8y³ − 72y² + 216y − 216) − 8y³ − 72y² + 216y − 216
= −144y² + 432y − 432
= −144(y² − 3y + 3)
अतः, दी गई शर्त के अंतर्गत, मान −144(y² − 3y + 3) है।
अतः, यदि प्रश्न में कोई टंकण त्रुटि न हो, तो यह व्यंजक एक अचर मान में सरल नहीं होता।