एनसीईआरटी समाधान कक्षा 8 गणित प्रकाश का अध्याय 1 वर्ग और घन
सत्र 2026-27 में कक्षा 8 के विद्यार्थियों के लिए एनसीईआरटी गणित प्रकाश का अध्याय 1 — ‘वर्ग और घन’ — गणित की नींव को मजबूत करने वाला सबसे महत्वपूर्ण अध्याय है। राष्ट्रीय शिक्षा नीति 2020 पर आधारित इस नई पुस्तक में यह अध्याय रानी रत्नामंजुरी की रोचक लॉकर पहेली से शुरू होता है, जो बच्चों को सोचने और खोजने के लिए प्रेरित करता है।
इस अध्याय में विद्यार्थी पूर्ण वर्ग संख्याओं की पहचान करना, वर्गमूल निकालने की तीन विधियाँ — अभाज्य गुणनखंडन, क्रमागत विषम संख्याओं की विधि और अनुमान विधि — सीखते हैं। इसी के साथ पूर्ण घन संख्याएँ, घनमूल, और गणितज्ञ रामानुजन की प्रसिद्ध टैक्सीकैब संख्या 1729 जैसे रोचक तथ्य भी इस अध्याय को खास बनाते हैं।
सीबीएसई वार्षिक परीक्षा, गणित ओलंपियाड और आगे की कक्षाओं की तैयारी — तीनों के लिए यह अध्याय अत्यंत आवश्यक है।
एनसीईआरटी गणित प्रकाश का अध्याय 1 के लिए समाधान
पेज 10 के प्रश्न उत्तर
1. निम्नलिखित में से कौन-सी संख्याएँ पूर्ण वर्ग नहीं हैं?
(i) 2032
(ii) 2048
(iii) 1027
(iv) 1089
उत्तर:
पूर्ण वर्ग संख्याएँ सामान्यतः 0, 1, 4, 5, 6 या 9 पर समाप्त होती हैं।
(i) 2032 → इकाई अंक 2 → पूर्ण वर्ग नहीं
(ii) 2048 → इकाई अंक 8 → पूर्ण वर्ग नहीं
(iii) 1027 → इकाई अंक 7 → पूर्ण वर्ग नहीं
(iv) 1089 → 33² = 1089 → पूर्ण वर्ग
2. 64², 108², 292², 36² में से किसका इकाई अंक 4 है?
उत्तर:
64² → 4096 → इकाई अंक 6
108² → 11664 → इकाई अंक 4
292² → 85264 → इकाई अंक 4
36² → 1296 → इकाई अंक 6
3. यदि 125² = 15625 तो 126² का मान क्या होगा?
(i) 15625 + 126
(ii) 15625 + 26²
(iii) 15625 + 253
(iv) 15625 + 251
(v) 15625 + 51²
उत्तर:
(n + 1)² = n² + 2n + 1
126² = 125² + 2×125 + 1
= 15625 + 250 + 1
= 15876
(iv) 15876
(दिया गया सही विकल्प: 15625 + 251)
पेज 11 के प्रश्न उत्तर
4. 441 वर्गमीटर क्षेत्रफल वाले वर्ग की भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
वर्ग की भुजा = √441 = 21
21 मीटर
5. वह छोटी से छोटी वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए जो 4, 9 और 10 से विभाजित होती हो।
उत्तर:
पहले 4, 9 और 10 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) निकालते हैं।
4 = 2²
9 = 3²
10 = 2 × 5
LCM = 2² × 3² × 5 = 180
अब 180 को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए 5 से गुणा करेंगे:
180 × 5 = 900
6. वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 9408 से गुणा करने पर पूर्ण वर्ग प्राप्त हो। प्राप्त गुणनफल का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
9408 का अभाज्य गुणनखंडन: 9408 = 2⁶ × 3 × 7²
पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम होनी चाहिए।
यहाँ 3 की घात विषम है, इसलिए 3 से गुणा करेंगे।
9408 × 3 = 28224
अब,
28224 = 2⁶ × 3² × 7²
अतः यह एक पूर्ण वर्ग है।
√28224 = 2³ × 3 × 7 = 8 × 3 × 7 = 168
7. निम्नांकित संख्याओं के वर्गों के मध्य कितनी संख्याएँ हैं?
(i) 16 और 17
(ii) 99 और 100
उत्तर:
(i) 16 और 17
16² = 256
17² = 289
बीच की संख्याएँ = 289 – 256 – 1 = 32
(ii) 99 और 100
99² = 9801
100² = 10000
बीच की संख्याएँ = 10000 – 9801 – 1 = 198
8. निम्नलिखित प्रतिरूप में विलुप्त संख्या अंकित कीजिए।
1² + 2² + 2² = 3²
2² + 3² + 6² = 7²
3² + 4² + 12² = 13²
4² + 5² + 20² = ( __ )²
9² + 10² + ( __ )² = ( __ )²
उत्तर:
प्रतिरूप:
n² + (n+1)² + [n(n+1)]² = (n² + n + 1)²
अतः
4² + 5² + 20² = 21²
9² + 10² + 90² = 91²
9. निम्नांकित चित्र में छोटे वर्गों की संख्या कितनी है? छोटे वर्गों की संख्या का अभाज्य गुणनखंडन लिखिए।
उत्तर:
चित्र में कुल 9 पंक्तियाँ और 9 स्तंभ हैं, अर्थात कुल बड़े खंड = 9 × 9 = 81
प्रत्येक बड़े खंड में 5 × 5 = 25 छोटे वर्ग हैं।
अतः छोटे वर्गों की कुल संख्या:
81 × 25 = 2025
अब 2025 का अभाज्य गुणनखंडन:
2025 = 45 × 45
= (9 × 5) × (9 × 5)
= 3² × 5 × 3² × 5
= 3⁴ × 5²
पेज 17 – आइए, पता लगाएँ के प्रश्न उत्तर
1. 27000 और 10648 का घनमूल ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
30³ = 27000
अतः ∛27000 = 30
22³ = 10648
अतः ∛10648 = 22
2. 1323 को घन संख्या बनाने के लिए आप किस संख्या से गुणा करेंगे?
उत्तर:
हम जानते हैं कि
11³ = 1331
1323 को 1331 बनाने के लिए:
1331 − 1323 = 8
अतः 1323 में 8 जोड़ने पर यह घन संख्या बन जाएगी।
3. निम्न में से सत्य या असत्य बताइए तथा अपने तर्क की व्याख्या कीजिए।
(i) किसी विषम संख्या का घन सम होगा।
(ii) ऐसा कोई पूर्ण घन नहीं है जो 8 पर समाप्त होता है।
(iii) 2 अंकीय संख्या का घन 3 अंकीय संख्या हो सकता है।
(iv) 2 अंकों वाली संख्या के घन में सात या अधिक अंक हो सकते हैं।
(v) घन संख्याओं के गुणनखंडों की संख्या विषम होती है।
उत्तर:
(i) असत्य
कारण: विषम संख्या का घन भी विषम होता है।
(ii) असत्य
कारण: 64 = 4³ = 8², यह घन भी है और पूर्ण वर्ग भी।
(iii) सत्य
उदाहरण: 5³ = 125 (3 अंकीय संख्या)
(iv) असत्य
उदाहरण: 99³ = 970299 (6 अंक)
(v) असत्य
केवल पूर्ण वर्गों के गुणनखंडों की संख्या विषम होती है।
4. आपको बताया जाता है कि 1331 एक पूर्ण घन संख्या है। इस संख्या का गुणनखंड किए बिना क्या आप अनुमान लगा सकते हैं कि इसका घनमूल क्या है?
इसी प्रकार 4913, 12167 और 32768 के घनमूलों का अनुमान लगाइए।
(i) 1331
हम जानते हैं:
11³ = 1331
अतः ∛1331 = 11
(ii) 4913
17³ = 4913
अतः ∛4913 = 17
(iii) 12167
23³ = 12167
अतः ∛12167 = 23
(iv) 32768
32³ = 32768
अतः ∛32768 = 32
5. निम्नलिखित में से सबसे बड़ा कौन है? अपने तर्क की व्याख्या कीजिए।
(i) 67³ − 66³
(ii) 43³ − 42³
(iii) 67² − 66²
(iv) 43² − 42²
उत्तर:
मान निकालते हैं:
67³ − 66³ = 13267
43³ − 42³ = 5419
67² − 66² = 133
43² − 42² = 85
सबसे बड़ा मान = 13267
(i) 67³ − 66³
कक्षा 8 एनसीईआरटी गणित प्रकाश अध्याय 1 – अक्सर पूंछे जाने वाले प्रश्न
सत्र 2026-27 में कक्षा 8 में कौन-सी गणित की किताब पढ़ाई जाएगी?
सत्र 2026-27 में भी एनसीईआरटी की नई पुस्तक गणित प्रकाश कक्षा 8 में पढ़ाई जाएगी, जो राष्ट्रीय शिक्षा नीति (एनईपी 2020) पर आधारित है। यह पुस्तक पुरानी एनसीईआरटी गणित पुस्तक की जगह लागू की गई है और इसमें अध्यायों को कहानी व गतिविधि आधारित तरीके से प्रस्तुत किया गया है। ‘वर्ग और घन’ इस पुस्तक का पहला अध्याय है।
सत्र 2026-27 की सीबीएसई परीक्षा में ‘वर्ग और घन’ से कितने नंबर के प्रश्न आ सकते हैं?
सीबीएसई कक्षा 8 की वार्षिक परीक्षा में ‘वर्ग और घन’ अध्याय से आमतौर पर 8 से 12 अंकों के प्रश्न पूछे जाते हैं। इनमें वर्गमूल और घनमूल ज्ञात करना, पूर्ण वर्ग या पूर्ण घन की जाँच करना, और किसी संख्या को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए गुणक ज्ञात करना — ये प्रश्न सबसे अधिक आते हैं। सत्र 2026-27 के लिए अपने विद्यालय का परीक्षा पैटर्न भी अवश्य देखें।
क्या सत्र 2026-27 में एनसीईआरटी गणित प्रकाश का सिलेबस बदला है?
सत्र 2026-27 में एनसीईआरटी गणित प्रकाश कक्षा 8 का मुख्य सिलेबस वही रहेगा जो 2026 में लागू हुआ था। ‘वर्ग और घन’ अध्याय में वर्ग संख्याएँ, वर्गमूल, घन संख्याएँ और घनमूल — ये सभी विषय-वस्तु यथावत हैं। यदि एनसीईआरटी कोई संशोधन करती है तो वह आधिकारिक एनसीईआरटी वेबसाइट पर उपलब्ध होगा।
अभिभावक घर पर बच्चे को अध्याय 1 वर्ग और घन कैसे समझाएँ?
घर पर समझाने का सबसे आसान तरीका है — पहले 1 से 15 तक के वर्ग (जैसे 1, 4, 9, 16…) और 1 से 10 तक के घन (जैसे 1, 8, 27, 64…) एक चार्ट बनाकर दीवार पर लगाएँ। फिर रोज़ 2-3 संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन बच्चे से करवाएँ। पुस्तक में दी गई लॉकर पहेली को खेल की तरह हल करवाना भी बहुत प्रभावी तरीका है।
गणित प्रकाश और पुरानी एनसीईआरटी गणित — सत्र 2026-27 में कौन-सी किताब बेहतर है?
सत्र 2026-27 में सीबीएसई के लिए गणित प्रकाश ही अधिकृत पुस्तक है, इसलिए इसी से पढ़ना जरूरी है। हालाँकि पुरानी NCERT गणित पुस्तक अतिरिक्त अभ्यास के लिए सहायक हो सकती है। नई पुस्तक में गतिविधि और चिंतन आधारित प्रश्न अधिक हैं, जबकि पुरानी पुस्तक में सांख्यिक अभ्यास अधिक था। दोनों का मिश्रण सबसे अच्छा परिणाम देगा।
कक्षा 8 के बाद किन परीक्षाओं में ‘वर्ग और घन’ काम आता है?
यह अध्याय कक्षा 9-10 की सीबीएसई परीक्षाओं के साथ-साथ एनटीएसई, गणित ओलंपियाड (आईएमओ, एनएसओ), और भविष्य में एसएससी, बैंकिंग, रेलवे जैसी प्रतियोगी परीक्षाओं में सीधे काम आता है। संख्या पद्धति के अंतर्गत वर्ग और घन से जुड़े प्रश्न लगभग हर सरकारी परीक्षा में पूछे जाते हैं। इसलिए सत्र 2026-27 में इसे ध्यान से पढ़ना दीर्घकालिक निवेश है।
क्या सत्र 2026-27 में गणित प्रकाश के लिए एनसीईआरटी की आधिकारिक पीडीएफ उपलब्ध है?
हाँ, NCERT गणित प्रकाश कक्षा 8 की आधिकारिक पीडीएफ एनसीईआरटी की वेबसाइट ncert.nic.in पर निःशुल्क उपलब्ध है। विद्यार्थी वहाँ से अध्याय 1 ‘वर्ग और घन’ की पीडीएफ डाउनलोड कर सकते हैं। किसी तीसरे स्रोत से PDF लेने की बजाय हमेशा एनसीईआरटी की आधिकारिक वेबसाइट का उपयोग करें।
कक्षा 8 गणित प्रकाश के अध्याय 1 में सबसे ज्यादा गलतियाँ बच्चे कहाँ करते हैं?
परीक्षा में बच्चे सबसे अधिक गलतियाँ इन तीन जगहों पर करते हैं — पहला, अभाज्य गुणनखंडन में कोई गुणनखंड छूट जाना; दूसरा, किसी संख्या को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए गुणा करना है या भाग — यह भ्रम; और तीसरा, वर्गमूल और घनमूल के चिह्न (√ और ∛) में गलती। इन तीनों बिंदुओं पर विशेष ध्यान देने से परीक्षा में अनावश्यक अंक नहीं कटेंगे।
