एनसीईआरटी समाधान कक्षा 6 गणित प्रश्नावली 3.7

4 और 6 के सार्व गुणज क्या हैं? ये 12, 24, 36, — हैं। इनमें सबसे छोटा गुणज कौन-सा है? यह 12 है। हम कहते हैं कि 4 और 6 का सबसे छोटा (लघुतम) गुणज या लघुतम समापवर्त्य 12 है। यह वह छोटी से छोटी संख्या है जो दोनों का गुणज है। दो या दो से अधिक दी हुई संख्याओं का लघुतम समापवर्त्य इन संख्याओं के सार्व गुणजों में से सबसे छोटा (लघुतम या निम्नतम) गुणज होता है। संक्षेप में, इसे ल० स० (LCM) भी लिखा जाता है।
उदाहरण:
12 और 18 का ल-स- ज्ञात कीजिए।
हल हम जानते हैं कि 12 और 18 के सार्व गुणज 36, 72, 108 इत्यादि हैं। इनमें सबसे छोटा 36 है।

आइए, एक और विधि से इसे निकालेंः
12 और 18 के अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार हैं:
12 = 2 × 2 × 3 18 = 2 × 3 × 3
इन अभाज्य गुणनखंडनों में, अभाज्य गुणनखंड 2 अधिकतम दो बार आता है (यह 12 के गुणनखंडों में है)। इसी प्रकार अभाज्य गुणनखंड 3 अधिकतम दो बार आता है (यह 18 के गुणनखंडों में है)। दो संख्याओं का ल० स० उन अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल है जो उन संख्याओं में अधिकतम बार आते हैं। अतः इनका ल० स० = 2 × 2 × 3 × 3 = 36 है।

हमें अनेक स्थितियों का सामना करना पड़ता है, जहाँ हम म० स० और ल० स० की संकल्पनाओं का प्रयोग करते हैं। हम इन्हें कुछ उदाहरणों की सहायता से समझाएँगे।

उदाहरण:
दो टैंकरों में क्रमशः 850 लीटर और 680 लीटर मिट्टी का तेल आता है। उस बर्तन की अधिकतम धारिता ज्ञात कीजिए, जो इन दोनों टैंकरों के तेल को पूरा-पूरा माप देगा।

हल:
वांछित बर्तन को दोनों टैंकरों के तेल को पूरा-पूरा मापना है। अतः इसकी धारिता दोनों टैंकरों की धारिताओं का एक पूरा-पूरा विभाजक होगा। साथ ही, इसकी धारिता अधिकतम भी होनी चाहिए। अतः ऐसे बर्तन की अधिकतम धारिता 850 और 680 का म० स० होगी।
इसे निम्नलिखित प्रकार से ज्ञात किया जाता है:
दोनों संख्याओं के गुणनखंड लम्बी विभाजन विधि से ज्ञात कर सकते हैं।
इस प्रकार इनके गुणनखंड होंगे:
850 = 2 × 5 × 5 × 17 = 2 × 5 × 17 × 5
680 = 2 × 2 × 2 × 5 × 17 = 2 × 5 × 17 × 2 × 2
850 और 680 के सार्व गुणनखंड 2, 5 और 17 है।
अतः, 850 और 680 का म० स० 2 × 5 × 17 = 170 है।
अतः वांछित बर्तन की अधिकतम धारिता 170 लीटर है। यह पहले बर्तन को 5 बार में और दूसरे को 4 बार में पूरा-पूरा माप देगा।

प्रातःकालीन सैर में, तीन व्यक्ति एक साथ कदम उठाकर चलना प्रारंभ करते हैं। उनके कदमों की लंबाइयाँ क्रमशः 80 सेमी, 85 सेमी और 90 सेमी हैं। इनमें से प्रत्येक न्यूनतम कितनी दूरी चले कि वे उसे पूरे-पूरे कदमों में तय करें?

हल:
प्रत्येक व्यक्ति द्वारा चली गई दूरी को समान और न्यूनतम रहना है। यह वांछित न्यूनतम दूरी, जो प्रत्येक व्यक्ति को चलनी है, उनके कदमों की मापों का लघुतम समापवर्त्य (ल० स०) होगी। क्या आप बता सकते हैं क्यों?
इसलिए, हम 80, 85 और 90 का ल० स० ज्ञात करते हैं। 80, 85 और 90 का ल० स० 12240 है।
अतः वांछित न्यूनतम दूरी 12240 सेमी है।