एनसीईआरटी समाधान कक्षा 6 गणित प्रकाश अध्याय 2 रेखाएँ और कोण

कक्षा 6 गणित प्रकाश अध्याय 2 पेज 15 पर दिए गए “आइए, पता लगाएँ” के हल तथा उत्तर

उत्तर:
हम एक बिंदु से होकर अनन्त (असीमित) संख्या में रेखाएँ खींच सकते हैं, इसलिए रिहान इस बिंदु से होकर अनन्त रेखाएँ बना सकता है।

दो बिंदुओं से होकर केवल एक ही रेखा खींची जा सकती है, इसलिए शीतल इन दो बिंदुओं से होकर केवल एक ही रेखा बना सकती है।

उत्तर:
दिए गए चित्र में रेखाखंड LM, MP, PQ और QR हैं।
केवल एक रेखाखंड पर स्थित बिंदु:

• L: यह रेखाखंड LM का एक अंतिम बिंदु है।
• R: यह रेखाखंड QR का एक अंतिम बिंदु है।

दो रेखाखंडों पर स्थित बिंदु:

• M: यह वह बिंदु है जहाँ रेखाखंड LM और MP मिलते हैं।
• P: यह वह बिंदु है जहाँ रेखाखंड MP और PQ मिलते हैं।
• Q: यह वह बिंदु है जहाँ रेखाखंड PQ और QR मिलते हैं।

परिणाम:
एक रेखाखंड पर स्थित बिंदु: L, R
दो रेखाखंडों पर स्थित बिंदु: M, P, Q

उत्तर:
दिए गए चित्र में दो किरणें हैं:

• किरण TA: यह किरण बिंदु T से शुरू होती है और बिंदु A से होकर गुजरती है तथा A के आगे अनंत तक बढ़ती है।
• किरण TB: यह किरण भी बिंदु T से शुरू होती है और बिंदु B से होकर गुजरती है तथा B के आगे अनंत तक बढ़ती है।

अतः, T दोनों किरणों का प्रारंभिक बिंदु है।

उत्तर:
a. OP और OQ बिंदु O पर मिलते हैं।

b. XY और PQ बिंदु M पर प्रतिच्छेद करते हैं।

c. रेखा l पर बिंदु E और F स्थित हैं, पर बिंदु D स्थित नहीं है।

d. बिंदु P, AB पर स्थित है।

a. पाँच बिंदु
b. एक रेखा
c. चार किरणें
d. पाँच रेखाखंड

उत्तर:
a. पाँच बिंदु: D, E, O, C और B।
b. एक रेखा: BD।
c. चार किरणें: OD, OB, OC और ED।
d. पाँच रेखाखंड: DE, EO, OC, BO और DO।

उत्तर:
a. हाँ, इस किरण का नाम OB भी रखा जा सकता है क्योंकि किरण OA बिंदु B से भी गुजरती है। किरणों का नाम उनके प्रारंभिक बिंदु से शुरू होकर किरण पर स्थित किसी अन्य बिंदु के माध्यम से रखा जाता है। चूँकि किरण O से शुरू होती है और B तथा A दोनों से गुजरती है, इसलिए इसे OB भी कहा जा सकता है।

b. नहीं, हम किरण OA को किरण AO नहीं लिख सकते क्योंकि किरणों की एक दिशा होती है। किरण बिंदु O से शुरू होकर A की ओर जाती है, इसलिए किरण OA, O से A की दिशा को दर्शाता है। यदि हम इसे किरण AO लिखें, तो इसका अर्थ होगा कि किरण A से शुरू होकर O की ओर जा रही है, जो यहाँ सही नहीं है क्योंकि O प्रारंभिक बिंदु है।

कक्षा 6 गणित प्रकाश अध्याय 2 पेज 19 पर दिए गए “आइए, पता लगाएँ” के हल तथा उत्तर

उत्तर:
∠BDC का शीर्ष D है।

∠AOB का शीर्ष O है।

∠APB का शीर्ष P है।

∠ASB का शीर्ष S है।

उत्तर:
∠RST की भुजाएँ ST और SR हैं।

उत्तर:
बिंदु P पर एक से अधिक कोण हैं, जैसे ∠APB, ∠APC और ∠BPC। इसलिए हम ∠APC को केवल ∠P नहीं लिख सकते।

उत्तर:
दी गई आकृति में अंकित कोण ∠RTQ और ∠RTP हैं।

उत्तर:
हमें बिंदुओं के युग्मों को जोड़कर तीन रेखाएँ AB, BC और CA प्राप्त होती हैं। इन बिंदुओं का उपयोग करके तीन कोण ∠ABC, ∠ACB और ∠BAC बनते हैं।

उत्तर:
हमें बिंदुओं के युग्मों को जोड़कर चार रेखाएँ AB, BC, CD और DA प्राप्त होती हैं। इन बिंदुओं का उपयोग करके 12 कोण ∠ABC, ∠ADC, ∠DCB, ∠BAD, ∠BAC, ∠DAC, ∠ABD, ∠DBC, ∠ACB, ∠ACD, ∠BDC और ∠BDA बनते हैं।

कक्षा 6 गणित प्रकाश अध्याय 2 पेज 23 पर दिए गए “आइए, पता लगाएँ” के हल तथा उत्तर

हम अध्यारोपण द्वारा और कहाँ तुलना करते हैं?
उत्तर:
अध्यारोपण का उपयोग वास्तविक जीवन की वस्तुओं जैसे कैंची, परकार या अन्य उपकरणों में किया जाता है, जिनमें कोण बनते हैं। हम इन वस्तुओं से बने कोणों (जैसे कैंची के ब्लेड के बीच का कोण) को एक-दूसरे पर रखकर यह तुलना कर सकते हैं कि कौन-सा कोण बड़ा है या छोटा।

उत्तर:
मोड़ पर खींची गई रेखा के साथ बने कोण ∠AEF, ∠BEF, ∠DFE और ∠CFE हैं, जिन्हें क्रमशः 1, 2, 3 और 4 से दर्शाया गया है।
इनमें से ∠AEF और ∠CFE बड़े कोण हैं, जबकि ∠BEF और ∠DFE छोटे कोण हैं।

a. ∠AOB या ∠XOY
b. ∠AOB या ∠XOB
c. ∠XOB या ∠XOC
अपने मित्रों से चर्चा कीजिए कि आपने यह निर्णय कैसे लिया कि कौन-सा कोण बड़ा है।

उत्तर:
a. ∠AOB > ∠XOY, क्योंकि ∠XOY, ∠AOB के भीतर स्थित है। अर्थात ∠XOY, ∠AOB का एक भाग है।
b. ∠AOB > ∠XOB, क्योंकि ∠XOB, ∠AOB के भीतर स्थित है। अर्थात ∠XOB, ∠AOB का एक भाग है।
c. ∠XOB = ∠XOC, क्योंकि दोनों कोण समान किरणों से बने हैं।

उत्तर:
∠XOB > ∠AOB, क्योंकि ∠AOB, ∠XOB के भीतर स्थित है। अर्थात ∠AOB, ∠XOB का एक भाग है।

कक्षा 6 गणित प्रकाश अध्याय 2 पेज 29 पर दिए गए “आइए, पता लगाएँ” के हल तथा उत्तर

यदि  सरल कोण, एक पूर्ण घुमाव के आधे से बनता है, तो एक समकोण, पूर्ण  घुमाव का कितना होगा?
उत्तर:
यदि एक सरल कोण पूर्ण घुमाव के आधे से बनता है, तो एक समकोण पूर्ण घुमाव के एक-चौथाई (1/4) से बनता है।
निष्कर्ष के चरण:

• एक पूर्ण घुमाव 360 डिग्री का होता है।
• एक सरल कोण पूर्ण घुमाव का आधा होता है, इसलिए इसका माप 180 डिग्री होता है।
• एक समकोण, सरल कोण का आधा होता है, इसलिए इसका माप 90 डिग्री होता है, जो 360 डिग्री के पूर्ण घुमाव का एक-चौथाई है।

उत्तर:
मेरी कक्षा में खिड़कियों में सामान्यतः कई समकोण होते हैं, क्योंकि जहाँ फ्रेम मिलते हैं वहाँ कोने आमतौर पर 90 डिग्री के होते हैं। प्रत्येक आयताकार या वर्गाकार खिड़की में चार समकोण होते हैं।
खिड़कियों के अलावा, कक्षा में अन्य वस्तुएँ जिनमें समकोण होते हैं, उनमें दरवाजों के कोने, ब्लैकबोर्ड या व्हाइटबोर्ड के किनारे, डेस्क या मेज तथा फर्श या दीवारों की टाइलें शामिल हैं, क्योंकि ये सभी वर्गाकार या आयताकार होती हैं।

उत्तर:
एक सरल कोण बनाने के विभिन्न तरीके:

उत्तर:
एक समकोण बनाने के विभिन्न तरीके:

a. अब आपके पास कितने समकोण हैं? तर्क संगत उत्तर दीजिए कि ये कोण पूर्णतया समकोण क्यों हैं?
b. वर्णन कीजिए कि आपने इसे कैसे मोड़ा ताकि जो व्यक्ति इस प्रक्रिया को करना नहीं जानता वह आपकी प्रक्रिया का अनुसरण करके समकोण बना सके।
उत्तर:
a. जब हम कागज को इस प्रकार मोड़ते हैं कि मूल तिरछे मोड़ पर एक लम्बवत क्रीज़ बन जाए, तो हम चार समकोण बना लेते हैं। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि जब दो रेखाएँ (या क्रीज़) एक-दूसरे के लम्बवत होती हैं, तो वे 90 डिग्री के कोण पर प्रतिच्छेद करती हैं और समकोण बनाती हैं। इन दो क्रीज़ के प्रतिच्छेदन से चार भाग बनते हैं और प्रत्येक भाग 90 डिग्री का कोण दर्शाता है।
b. पहला तिरछा मोड़ बनाइए:

• एक आयताकार या वर्गाकार कागज का टुकड़ा लीजिए।
• इसे तिरछा मोड़िए (एक कोने से सामने वाले कोने तक) ताकि एक तिरछी क्रीज़ बन जाए।
• कागज को खोलिए ताकि कागज पर तिरछी रेखा दिखाई दे।

लम्बवत क्रीज़ बनाइए:

• अब कागज को फिर से मोड़िए, लेकिन इस बार कागज के एक किनारे को इस प्रकार मोड़िए कि वह तिरछी क्रीज़ को बीच में जाकर मिले।
• ध्यान रखें कि किनारा क्रीज़ के साथ बिल्कुल सीध में हो, ताकि नया मोड़ तिरछी क्रीज़ के लम्बवत हो।
• कागज को खोलिए और आप दो क्रीज़ देखेंगे—एक तिरछी और एक लम्बवत—जो जहाँ एक-दूसरे को काटती हैं वहाँ समकोण बनाती हैं।

इन चरणों का पालन करके हम उस बिंदु पर चार सटीक समकोण बना सकते हैं जहाँ दोनों क्रीज़ मिलती हैं।

कक्षा 6 गणित प्रकाश अध्याय 2 पेज 31 पर दिए गए “आइए, पता लगाएँ” के हल तथा उत्तर

उत्तर:
आकृतियों में न्यून कोण, समकोण, अधिक कोण और सरल कोण:

उत्तर:
विभिन्न दिशाओं में न्यून कोण और अधिक कोण:

उत्तर:
हाँ, ज्यामिति में “न्यून कोण” और “अधिक कोण” शब्दों के अर्थ उनके सामान्य उपयोग से जुड़े हुए हैं:
न्यून कोण: सामान्य अंग्रेज़ी में “acute” का अर्थ “तेज” या “नुकीला” होता है। इसी कारण न्यून कोण को ऐसा कहा जाता है। न्यून कोण 90 डिग्री से छोटा होता है और देखने में नुकीला या पतला लगता है, जैसे चाकू की नोक या कोई तेज किनारा।

अधिक कोण: “obtuse” का अर्थ “मंद” या “भद्दा (कम तेज)” होता है। अधिक कोण 90 डिग्री से बड़ा होता है और देखने में चौड़ा या फैला हुआ लगता है, इसलिए यह कम नुकीला या भद्दा प्रतीत होता है, जैसे कोई कुंद (मंद) वस्तु।

इन शब्दों का उपयोग इसलिए किया गया है क्योंकि इन कोणों का आकार रोज़मर्रा की चीज़ों से मिलता-जुलता है, जिससे इन्हें समझना आसान हो जाता है। न्यून कोण नुकीला होता है क्योंकि यह पतला और छोटा होता है, जबकि अधिक कोण चौड़ा होता है इसलिए यह कम नुकीला या मंद दिखाई देता है।

अगली आकृति क्या होगी और उसमें कितने न्यून कोण होंगे? क्या आप संख्याओं में कोई पैटर्न देखते हैं?
उत्तर:
आकृति 1 में न्यून कोणों की संख्या 3 है, आकृति 2 में 12 है और आकृति 3 में 21 है।
अगली आकृति में न्यून कोणों की संख्या 30 होगी।
प्रत्येक आकृति में न्यून कोणों की संख्या में एक पैटर्न है। अगली आकृति में न्यून कोणों की संख्या पिछली आकृति से 9 अधिक होती है।

कक्षा 6 गणित प्रकाश अध्याय 2 पेज 35 पर दिए गए “आइए, पता लगाएँ” के हल तथा उत्तर

a. ∠KAL
b. ∠WAL
c. ∠TAK
उत्तर:
a. ∠KAL = 30°
b. ∠WAL = 50°
c. ∠TAK = 40°

कक्षा 6 गणित प्रकाश अध्याय 2 पेज 40 पर दिए गए “आइए, पता लगाएँ” के हल तथा उत्तर

उत्तर:
निम्नलिखित कोणों के माप (डिग्री में) इस प्रकार हैं:
चित्र 1 में कोण = 48°
चित्र 2 में कोण = 24°
चित्र 3 में कोण = 109°

उत्तर:
मेरे कक्षा में विभिन्न कोणों के माप:
खिड़की के फ्रेम का कोना: 90°
डेस्क का किनारा: 90°
दीवार पर पोस्टर का झुकाव: 45°
आधी खुली पुस्तक: 180°
थोड़ा खुला दरवाज़ा: 30°
कुर्सी का बैकरेस्ट: 120°

उत्तर:
कागज़ के चाँदे का उपयोग करके कोणों के माप (डिग्री में) नीचे दिए गए हैं:
चित्र 1 में कोण = 42°
चित्र 2 में कोण = 115°

उत्तर:
कोण का अंश माप = 102°

उत्तर:
निम्नलिखित कोणों के अंश माप नीचे दिए गए हैं:
a. कोण का अंश माप = 77°
b. कोण का अंश माप = 120°
c. कोण का अंश माप = 58°
d. कोण का अंश माप = 130°
e. कोण का अंश माप = 128°
f. कोण का अंश माप = 60°

उत्तर:
∠BXE, ∠CXE, ∠AXB और ∠BXC के अंश माप निम्नानुसार हैं:
∠BXE = 115°
∠CXE = 85°
∠AXB = 65°
∠BXC = 30°

उत्तर:
∠PQR, ∠PQS और ∠PQT के अंश माप निम्नानुसार हैं:
∠PQR = 45°
∠PQS = 100°
∠PQT = 152°

उत्तर:
चरण 1: जब हम वर्गाकार कागज को विकर्णतः मोड़ते हैं, तो हम नीचे के कोनों पर दो समकोण (90°) और शीर्ष पर एक 45° का कोण बनाते हैं।
चरण 2: मोड़ने के बाद, त्रिभुज का आधार सीधा होता है, जिससे नीचे के कोनों पर 90° के कोण बनते हैं, जबकि शीर्ष शीर्ष 45° ही रहता है।
चरण 3: जब हम आधार को ऊपर की ओर मोड़ते हैं, तो उस कोने पर एक छोटा समकोण (90°) बनता है जहाँ आधार त्रिभुज से मिलता है।
चरण 4: कान बनाने के लिए किनारों को अंदर मोड़ने पर शीर्ष के पास न्यून कोण बनते हैं, जो संभवतः 30° से 45° के बीच होते हैं।
चरण 5: जैसे-जैसे हम किनारों को और अधिक अंदर की ओर मोड़ते हैं, त्रिकोणीय कानों के कोण और अधिक तीक्ष्ण (sharp) हो सकते हैं, जिससे कानों के सिरों पर 30° के करीब न्यून कोण  बन जाते हैं।
चरण 6: ऊपर की ओर मोड़ से बनी के चेहरे की नोक पर एक और न्यून कोण बनता है, जो संभवतः 45° के आसपास होता है।
चरण 7: अंतिम मोड़ नीचे के हिस्से को तीक्ष्ण बनाता है, जिससे आधार पर 90° और कानों के पास 45° से 60° का कोण बना रहता है।
चरण 8: पूर्ण बनी  चेहरे में, हमारे पास कई कोण होंगे:
कान न्यून कोण (लगभग 30° से 45°) बनाते हैं।
ठुड्डी  के पास का चेहरा एक अधिक कोण  बनाता है, जो 120° के करीब होता है।
मोड़ की सटीकता के आधार पर चेहरे के किनारे लगभग 90° से 120° के होते हैं।

उत्तर:
(a) में त्रिभुज के तीनों कोणों का योग: 45° + 65° + 70° = 180°
(b) में त्रिभुज के तीनों कोणों का योग: 56° + 62° + 62° = 180°
(c) में त्रिभुज के तीनों कोणों का योग: 30° + 55° + 95° = 180°
सामान्य अनुमान
किसी भी त्रिभुज के तीनों आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री के बराबर होता है। यह यूक्लिडियन ज्यामिति में त्रिभुजों का एक मौलिक गुण है।
हम विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों (जैसे समद्विबाहु, विषमबाहु, समबाहु आदि) के साथ इसका परीक्षण कर सकते हैं और परिणाम हमेशा समान रहेगा: आंतरिक कोणों का योग 180° होता है।
यह गुण ज्यामिति में अत्यंत महत्वपूर्ण है और भविष्य के अध्ययन में अधिक जटिल आकृतियों और संबंधों को समझने का आधार बनता है।

कक्षा 6 गणित प्रकाश अध्याय 2 पेज 45 पर दिए गए “आइए, पता लगाएँ” के हल तथा उत्तर

कोण कहाँ हैं?

a. घड़ी की सूइयाँ अलग-अलग समय पर भिन्न कोण बनाती हैं। 1 बजे सूइयों के बीच 30° का कोण होता है। क्यों?
b. 2 बजे कोण कितना होगा? और 4 बजे? 6 बजे?
c. घड़ी की सूइयों द्वारा बने अन्य कोणों को ढूँढ़िए।
उत्तर:
1. a. घड़ी पर 12 संख्याएँ होती हैं जो 12 घंटों को दर्शाती हैं। 12 घंटों में तय किया गया कुल कोण 360° होता है। इसलिए, दो क्रमागत संख्याओं के बीच का कोण = 360°/12 = 30°। यही कारण है कि 1 बजे सूइयों के बीच का कोण 30° होता है।

b. 2 बजे का कोण = 60°
4 बजे का कोण = 120°
6 बजे का कोण = 180°

c. घड़ी की सूइयों द्वारा बनाए गए अन्य कोण:
3 बजे का कोण = 90°
9 बजे का कोण = 270°
5 बजे का कोण = 150° (नोट: चित्र के अनुसार 5 बजे का कोण 150° है)
11 बजे का कोण = 330°

उत्तर:
हाँ, जब दरवाजा खुला हो तो उसके कोण को मापना संभव है। कोण का शीर्ष B है और इसकी भुजाएँ AB और BC हैं।

उत्तर:
कोण झूले की रस्सी और उर्ध्वाधर रेखा के बीच बनता है। इसे चित्र में दिखाया गया है।

उत्तर:
हाँ, इस खिलौने में तख्तों के झुकाव का वर्णन करने के लिए कोणों का प्रयोग किया जा सकता है। प्रत्येक तख्ता एक झुका हुआ तल बनाता है और झुकाव का कोण (तख्ते और क्षैतिज सतह के बीच का कोण) यह निर्धारित करता है कि गेंद कितनी तेजी से नीचे लुढ़कती है।
तख्ते के ढलान का कोण जितना बड़ा होगा, झुकाव उतना ही अधिक तीव्र होगा, जिससे गेंद तेजी से लुढ़केगी। कोण जितना छोटा होगा, ढलान उतनी ही धीमी होगी और गेंद उतनी ही धीरे लुढ़केगी।
कोण की एक भुजा क्षैतिज सतह (खिलौने का आधार या कोई भी क्षैतिज तल जिससे तख्ता जुड़ा है) है। दूसरी भुजा स्वयं तिरछा तख्ता है। दिखाई देने वाली भुजा वह तिरछा तख्ता है जिसे हम चित्र में देख सकते हैं। अदृश्य भुजा क्षैतिज आधार है, जो चित्र में सीधे तौर पर दिखाई नहीं देती है, लेकिन इसे जमीन के समानांतर सतह के रूप में कल्पना की जा सकती है।

संकेत— कीट को छूकर जाती हुई क्षैतिज रेखा को देखिए।
उत्तर:
हाँ, एक केंद्रीय बिंदु के चारों ओर घुमाव को मापकर, एक कीट और उसके घूर्णित संस्करण के बीच के घूर्णन का वर्णन करने के लिए कोणों का उपयोग किया जा सकता है। कोण का शीर्ष कीट का केंद्र है, जबकि भुजाएँ केंद्र से शरीर पर एक संदर्भ बिंदु तक जाने वाली रेखाएँ हैं, जो घूर्णन से पहले और बाद की स्थिति दर्शाती हैं। उदाहरण के लिए, यदि घोंघे के सिर की नोक या लेडीबग के एंटीना को संदर्भ बिंदुओं के रूप में उपयोग किया जाता है, तो कीट के घूमने से पहले और बाद में केंद्र से इन रेखाओं के बीच का कोण घूर्णन की मात्रा (डिग्री) को दर्शाता है। यह कोण घूर्णन को परिमाणित करता है, जैसे कि उल्टी स्थिति के लिए 180 डिग्री।

कक्षा 6 गणित प्रकाश अध्याय 2 पेज 49 पर दिए गए “आइए, पता लगाएँ” के हल तथा उत्तर

उत्तर:
कोणों की सूची: ∠PAC, ∠APD, ∠DPS, ∠LPR, ∠PLS, ∠ARP, ∠PRS, ∠RSL और ∠ALC.
अब, आइए अंश (डिग्री) में मापों का अनुमान लगाएं:
∠PAC: 120°
∠APD: 90°
∠DPS: 120°
∠LPR: 60°
∠PLS: 90°
∠ARP: 30°
∠PRS: 150°
∠RSL: 90°
∠ALC: 120°
मेरे अनुमानों और वास्तविक मापों को रिकॉर्ड करने के लिए तालिका:

a. 110° b. 40° c. 75° d. 112° e. 134°
उत्तर:
चाँदे की सहायता से बने कोण:

इस कोण को बनाने में प्रयुक्त सभी चरणों को भी लिखिए।
उत्तर:
दिए गए कोण के समान कोण बनाना:
रचना के चरण

• एक किरण HJ खींचिए जो कोण की एक भुजा के रूप में कार्य करेगी।
• किरण HJ पर एक बिंदु H अंकित कीजिए। यह बिंदु कोण का शीर्ष होगा।
• चांदे के केंद्र बिंदु को H पर रखें और चांदे की आधार रेखा को किरण HJ के साथ संरेखित करें।
• चांदे का उपयोग करते हुए, कोण के लिए आवश्यक डिग्री माप पर एक बिंदु अंकित करें (जैसा कि दी गई आकृति में है)।
• चांदे को हटा दें और शीर्ष H से अंकित बिंदु से होकर एक दूसरी किरण HI खींचिए। यह किरण कोण की दूसरी भुजा बनाएगी।
• नई किरण के अंतिम बिंदु को I के रूप में अंकित करें, जिससे कोण ∠IHJ की रचना पूरी हो जाएगी।

कक्षा 6 गणित प्रकाश अध्याय 2 पेज 51 पर दिए गए “आइए, पता लगाएँ” के हल तथा उत्तर

कोणों को छाप द्वारा अंकित कीजिए जिससे इच्छित कोणों की पहचान हो सके। एक आपके लिए क्या गया है।
उत्तर:

a. ∠PTR b. ∠PTQ c. ∠PTW d. ∠WTP

उत्तर:
a. ∠PTR = 30° : न्यून कोण
b. ∠PTQ = 60° : न्यून कोण
c. ∠PTW = 112° : अधिक कोण
d. ∠WTP = 248° : प्रतिवर्ती कोण

कक्षा 6 गणित प्रकाश अध्याय 2 पेज 53 पर दिए गए “आइए, पता लगाएँ” के हल तथा उत्तर

उत्तर:
डिग्री माप में कोण:

इन कोणों को न्यून कोण, अधिक कोण, समकोण और प्रतिवर्ती कोणों में वर्गीकृत कीजिए।
उत्तर:
कोणों का मापन:
a. 45° : न्यून कोण
b. 165° : प्रतिवर्ती कोण
c. 120° : अधिक कोण
d. 32° : न्यून कोण
e. 90° : समकोण
f. 169° : प्रतिवर्ती कोण

उत्तर:
तीन न्यून कोण, एक समकोण और दो अधिक कोण वाली आकृति:

उत्तर:
अक्षर ‘M’ इस प्रकार बनाइए कि दोनों ओर के कोण 40°-40° हों और बीच का कोण 60° हो।

उत्तर:
अक्षर ‘Y’ इस प्रकार बनाइए कि बनने वाले तीन कोण 150°, 60° और 150° हों।

उत्तर:
अशोक चक्र में 24 तीलियाँ होती हैं, जो समान दूरी पर स्थित होती हैं। दो संलग्न तीलियों के बीच कोण का अंश माप ज्ञात करने के लिए, हम वृत्त के कुल अंश (360°) को तीलियों की संख्या से विभाजित कर सकते हैं।
दो तीलियों के बीच का कोण = 360°/24 = 15°
सबसे बड़ा न्यून कोण उन दो तीलियों के बीच का कोण है जो सबसे पास-पास होती हैं। चूँकि किसी भी दो संलग्न तीलियों के बीच का कोण 15° है, इसलिए यही उनके बीच बनने वाला सबसे बड़ा न्यून कोण है।

उत्तर:
चरण-दर-चरण गणनाएँ:
मान लीजिए कोण θ है।
कोण को दोगुना करने पर भी न्यून कोण बने—
2 × θ < 90° ⇒ θ < 45°
कोण को तीन गुना करने पर भी न्यून कोण बने—
3 × θ < 90° ⇒ θ < 30°
कोण को चार गुना करने पर भी न्यून कोण बने—
4 × θ < 90° ⇒ θ < 22.5° कोण को 5 से गुणा करने पर अधिक कोण प्राप्त हो— 5 × θ > 90° ⇒ θ > 18°
अतः कोण θ के संभावित मान 18° और 22.5° के बीच होंगे।
इसलिए, कोण इस सीमा में कोई भी मान हो सकता है, जैसे 19°, 20°, 21° या 22°।

• बिंदु: एक सटीक स्थान — कोई लंबाई, चौड़ाई या ऊँचाई नहीं।
• रेखाखंड: दो बिंदुओं को जोड़ने वाला सबसे छोटा मार्ग।
• रेखा: दोनों दिशाओं में अनंत तक विस्तारित।
• किरण: एक बिंदु से एक दिशा में अनंत तक।
• कोण: दो किरणों का उभयनिष्ठ प्रारंभिक बिंदु से बनना।

कोणों के प्रकार:

• कोणमापक / चाँदा
  एक अर्धवृत्ताकार उपकरण जिसे 180 समान भागों में बाँटा गया है। इससे कोण मापे और बनाए जाते हैं।
• कोण समद्विभाजक
  वह किरण जो किसी कोण को दो बराबर भागों में विभाजित करती है।
• लंब रेखाएँ
  जब दो रेखाएँ समकोण (90°) पर मिलती हैं तो वे लंब रेखाएँ कहलाती हैं।
• अध्यारोपण
  एक कोण को दूसरे पर रखकर तुलना करने की विधि।
• प्रतिवर्ती कोण
  180° से बड़ा और 360° से छोटा कोण।

1. पूर्ण घुमाव का माप: 1 पूर्ण घुमाव = 360°
2. सरल कोण: सरल कोण = 360° ÷ 2 = 180°
3. समकोण: समकोण = 180° ÷ 2 = 90°
4. घड़ी में कोण: दो संलग्न अंकों के बीच कोण = 360° ÷ 12 = 30°
   n घंटों के बाद घंटे की सूई का कोण = n × 30°
5. अशोक चक्र (24 तीलियाँ): दो संलग्न तीलियों के बीच कोण = 360° ÷ 24 = 15°
6. त्रिभुज के कोणों का योग: ∠A + ∠B + ∠C = 180°
7. प्रतिवर्ती कोण का माप: प्रतिवर्ती कोण = 360° − (उसका संगत न्यून/अधिक कोण)
8. कोण समद्विभाजक: प्रत्येक मोड़ = पिछले कोण का ½
   180° → 90° → 45° → 22.5° → 11.25°
9. n भागों में विभाजित वृत्त का प्रत्येक भाग:
   प्रत्येक भाग का कोण = 360° ÷ n

एक अंक के प्रश्न:

• किरण और रेखाखंड में क्या अंतर है?
• समकोण कितने डिग्री का होता है?
• 3 बजे घड़ी की सूइयों के बीच कितने डिग्री का कोण होता है?

दो अंक के प्रश्न:

• न्यून कोण, अधिक कोण और प्रतिवर्ती कोण की परिभाषा उदाहरण सहित दीजिए।
• चाँदे से 135° का कोण बनाने की विधि लिखिए।
• ∠AOB और ∠AO को OB नहीं लिख सकते — क्यों?

तीन अंक के प्रश्न:

• अध्यारोपण द्वारा दो कोणों की तुलना कैसे करते हैं? समझाइए।
• सरल कोण को कागज मोड़कर समकोण में कैसे बदला जाता है? प्रक्रिया लिखिए।
• 360° को 24 बराबर भागों में बाँटने पर प्रत्येक कोण कितना होगा? अशोक चक्र का उदाहरण दीजिए।