एनसीईआरटी समाधान कक्षा 6 गणित प्रकाश अध्याय 1 गणित में पैटर्न

कक्षा 6 गणित प्रकाश अध्याय 1 पेज 2 पर दिए गए “आइए, पता लगाएँ” के हल तथा उत्तर

उत्तर:
हाँ, गणित दैनिक जीवन में अनेक स्थानों पर हमारी सहायता करता है:

• बाजार में खरीदारी करते समय — दाम, छूट और बाकी पैसे निकालने में
• खाना बनाते समय — मात्रा और अनुपात मापने में
• समय देखने और यात्रा की दूरी मापने में
• खेल खेलते समय — स्कोर गिनने में
• बैंक में पैसे जमा करने और ब्याज समझने में
• इमारत, पुल, सड़क बनाने में नापजोख के लिए
• मौसम का पूर्वानुमान लगाने में
• कैलेंडर देखने और दिन-तारीख समझने में

उत्तर:
गणित ने मानव सभ्यता को आगे बढ़ाने में इस प्रकार सहायता की:

• वैज्ञानिक प्रयोग: गणित के सूत्रों से भौतिकी, रसायन, जीव विज्ञान में नए आविष्कार हुए
• अर्थव्यवस्था: बजट, कर, GDP की गणना गणित पर आधारित है
• लोकतंत्र: चुनाव में मतगणना और प्रतिनिधित्व
• पुल और घर बनाना: भार, दूरी, कोण की सटीक गणना
• टी.वी., मोबाइल, कंप्यूटर बनाना: बाइनरी संख्याएँ, सर्किट डिज़ाइन
• रेलगाड़ी, कार, वायुयान: गति, ईंधन, समय की गणना
• घड़ी और कैलेंडर: समय को व्यवस्थित रखने के लिए
• अंतरिक्ष अभियान: रॉकेट की गति और ग्रहों की स्थिति की गणना

कक्षा 6 गणित प्रकाश अध्याय 1 पेज 3 पर दिए गए “आइए, पता लगाएँ” के हल तथा उत्तर

उत्तर:
हाँ, प्रत्येक अनुक्रम का पैटर्न निम्नलिखित है:

• सभी ‘1’ (1, 1, 1, 1, …) — प्रत्येक पद 1 है, कोई परिवर्तन नहीं
• गणन संख्याएँ (1, 2, 3, 4, …) — हर बार 1 जोड़ा जाता है
• विषम संख्याएँ (1, 3, 5, 7, …) — हर बार 2 जोड़ा जाता है
• सम संख्याएँ (2, 4, 6, 8, …) — हर बार 2 जोड़ा जाता है
• त्रिभुजाकार संख्याएँ (1, 3, 6, 10, …) — क्रमशः 2, 3, 4, 5… जोड़े जाते हैं
• वर्ग संख्याएँ (1, 4, 9, 16, …) — 1², 2², 3², 4²… प्रत्येक पद का वर्ग
• घन संख्याएँ (1, 8, 27, 64, …) — 1³, 2³, 3³, 4³… प्रत्येक पद का घन
• विरहांक संख्याएँ (1, 2, 3, 5, 8, …) — पिछले दो पदों का योग
• 2 की घातें (1, 2, 4, 8, …) — हर बार 2 से गुणा
• 3 की घातें (1, 3, 9, 27, …) — हर बार 3 से गुणा

उत्तर:
अगली तीन संख्याएँ:

• सभी ‘1’: 1, 1, 1 → नियम: हर पद 1 होता है
• गणन संख्याएँ: 8, 9, 10 → नियम: हर पद में 1 जोड़ते जाओ
• विषम संख्याएँ: 15, 17, 19 → नियम: हर पद में 2 जोड़ते जाओ
• सम संख्याएँ: 16, 18, 20 → नियम: हर पद में 2 जोड़ते जाओ
• त्रिभुजाकार: 36, 45, 55 → नियम: क्रमशः 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 जोड़ते जाओ
• वर्ग संख्याएँ: 64, 81, 100 → नियम: n का वर्ग (n²)
• घन संख्याएँ: 343, 512, 729 → नियम: n का घन (n³)
• विरहांक संख्याएँ: 34, 55, 89 → नियम: पिछली दो संख्याओं को जोड़ो
• 2 की घातें: 128, 256, 512 → नियम: हर बार 2 से गुणा
• 3 की घातें: 2187, 6561, 19683 → नियम: हर बार 3 से गुणा

कक्षा 6 गणित प्रकाश अध्याय 1 पेज 5 पर दिए गए “आइए, पता लगाएँ” के हल तथा उत्तर

उत्तर:

उत्तर:

• त्रिभुजाकार संख्याएँ (1, 3, 6, 10, 15, …): इन संख्याओं के बिंदुओं को त्रिभुज के आकार में व्यवस्थित किया जा सकता है — पहली पंक्ति में 1, दूसरी में 2, तीसरी में 3 बिंदु, इसी प्रकार आगे।
• वर्ग संख्याएँ (1, 4, 9, 16, 25, …): इन संख्याओं के बिंदुओं को एक वर्गाकार ग्रिड (जैसे 3×3 = 9) में व्यवस्थित किया जा सकता है।
• घन संख्याएँ (1, 8, 27, 64, …): इन संख्याओं को घन के रूप में व्यवस्थित किया जा सकता है — जैसे 2×2×2 = 8, 3×3×3 = 27।

इससे ज्ञात होता है कि एक ही संख्या को अलग अलग तरीके से दर्शाया जा सकता है और संदर्भ के आधार पर अलग-अलग भूमिकाएँ निभाई जा सकती हैं। कुछ अन्य संख्याओं को अलग-अलग तरीके से चित्रात्मक रूप में दर्शाने का प्रयास कीजिए।
उत्तर:
36 बिंदुओं की त्रिभुज और वर्ग दोनों रूपों में व्यवस्था:
36 = 6² → यह वर्ग संख्या है (6×6 वर्गाकार ग्रिड में)
36 = 1+2+3+4+5+6+7+8 → यह त्रिभुजाकार संख्या भी है (8 पंक्तियों वाला त्रिभुज)
इससे यह सिद्ध होता है कि एक ही संख्या को अलग-अलग तरीकों से दर्शाया जा सकता है।

कुछ अन्य संख्याएँ निम्नलिखित हैं:
संख्या 6
त्रिकोणीय संख्या: 6 बिंदुओं को 1, 2 और 3 बिंदुओं की पंक्तियों वाले त्रिभुज में व्यवस्थित करें।
आयताकार संख्या: 6 बिंदुओं को 2 x 3 के आयत में व्यवस्थित करें।

संख्या 10
त्रिकोणीय संख्या: 10 बिंदुओं को 1, 2, 3 और 4 बिंदुओं की पंक्तियों वाले त्रिभुज (पिरामिड की तरह) में व्यवस्थित करें।
आयताकार संख्या: 10 बिंदुओं को 2 x 5 के ग्रिड में व्यवस्थित करें, जिससे एक आयत बनता है।

इन्हें षड्भुजाकार (hexagonal) संख्याएँ कहते हैं। इन्हें अपनी नोटबुक में बनाइए। अनुक्रम में अगली संख्या क्या होगी?
उत्तर:
इन्हें षड्भुजाकार (Hexagonal) संख्याएँ कहते हैं।
अंतरों का पैटर्न: 6, 12, 18, 24, … (हर बार 6 बढ़ता है)
अगली संख्या = 37 + 24 = 61

यहाँ ‘2 की घात के चित्रात्मक प्रस्तुतीकरण का एक संभावित तरीक़ा दिया है-

उत्तर:
3 की घात’ का निरूपण:
‘3 की घात’ के लिए 3D घनों की श्रृंखला बनाई जा सकती है:
1 घन, 3×3×3 के 27 छोटे घन, इत्यादि।

कक्षा 6 गणित प्रकाश अध्याय 1 पेज 8 पर दिए गए “आइए, पता लगाएँ” के हल तथा उत्तर

उत्तर:
वर्ग संख्याएँ प्राप्त करने के लिए गिनती वाली संख्याओं को बढ़ते और घटते क्रम में जोड़ने की सचित्र व्याख्या:
इसका विचार अनुक्रम के प्रत्येक पद को बिंदुओं की पंक्तियों के रूप में देखना है, जहाँ योग 1 + 2 + 3 + 2 + 1 को एक पूर्ण वर्ग के रूप में व्यवस्थित किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए:
1 + 2 + 1 से एक 2 × 2 का वर्ग बनता है।
1 + 2 + 3 + 2 + 1 से एक 3 × 3 का वर्ग बनता है और इसी तरह आगे भी।
बिंदुओं की प्रत्येक परत, मौजूदा वर्ग के चारों ओर बिंदुओं की एक सममित परत जोड़कर अगला वर्ग बनाती है।

उत्तर:
1 + 2 + 3 + …. + 99 + 100 + 99 + … + 3 + 2 + 1 का योग:
यह अनुक्रम 100 की भुजा लंबाई वाला एक बड़ा वर्ग बनाएगा, जिसका कुल योग 100 × 100 = 10,000 होगा।
यह अनुक्रम इसलिए काम करता है क्योंकि सममित व्यवस्था सबसे बड़ी संख्या (100) को भुजा की लंबाई मानकर एक वर्ग का निर्माण करती है।

उत्तर:
जब मैं ‘सभी 1’ के अनुक्रम को जोड़ता हूँ, तो मुझे गिनती वाली संख्याओं का अनुक्रम (1,2,3,4,…) प्राप्त होता है। जब मैं ‘सभी 1’ के अनुक्रम को बढ़ते और फिर घटते क्रम में जोड़ता हूँ, तो मुझे फिर से गिनती वाली संख्याओं का अनुक्रम मिलता है, लेकिन यह एक शिखर के चारों ओर प्रतिबिंबित (1, 2, 3, 2, 1) होता है, जो एक हीरे जैसी आकृति बनाता है।

उत्तर:
गिनती वाली संख्याओं को जोड़ने पर प्राप्त अनुक्रम:
गिनती वाली संख्याओं को जोड़ने पर त्रिकोणीय संख्याएँ प्राप्त होती हैं

• 1 = 1
• 1+2 = 3
• 1+2+3 = 6
• 1+2+3+4 = 10

त्रिभुजाकार संख्याएँ (1, 3, 6, 10, …)
सचित्र रूप में, हम प्रत्येक योग को बिंदुओं के एक त्रिभुज के रूप में देख सकते हैं, जहाँ प्रत्येक परत में पिछली परत की तुलना में एक बिंदु अधिक होता है।

उत्तर:
क्रमागत त्रिकोणीय संख्याओं के जोड़ों को जोड़ने पर प्राप्त अनुक्रम:
जब मैं क्रमागत त्रिकोणीय संख्याओं के जोड़ों को जोड़ता हूँ (जैसे: 1 + 3 = 4, 3 + 6 = 9, 6 + 10 = 16,…), तो मुझे वर्ग संख्याएँ (4, 9, 16, …) प्राप्त होती हैं। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि त्रिकोणीय संख्याओं का प्रत्येक जोड़ा मिलकर एक पूर्ण वर्ग बनाता है। मैं इसे सचित्र रूप में दो त्रिकोणीय संख्याओं के बिंदुओं को एक वर्ग में पुनर्व्यवस्थित करके दर्शा सकता हूँ।

उत्तर:
1 से शुरू होने वाली 2 की घातों को जोड़ना और फिर 1 जोड़ना:
जब हम 2 की घातों को जोड़ते हैं (जैसे: 1, 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 4 = 7, 1 + 2 + 4 + 8 = 15 …) और फिर प्रत्येक योग में 1 जोड़ते हैं, तो हमें अनुक्रम 2, 4, 8, 16… प्राप्त होता है, जो फिर से 2 की घातें हैं।
ऐसा इसलिए होता है क्योंकि एक निश्चित बिंदु तक 2 की घातों के अनुक्रम को जोड़ने और फिर 1 जोड़ने का परिणाम 2 की अगली घात होती है। इस पैटर्न को हर बार बिंदुओं के एक ब्लॉक के आकार को सचित्र रूप से दोगुना करके देखा जा सकता है।

उत्तर:
जब हम त्रिकोणीय संख्याओं को 6 से गुणा करते हैं और 1 जोड़ते हैं:

• 1×6+1 = 7
• 3×6+1 = 19
• 6×6+1 = 37
• 10×6+1 = 61

त्रिकोणीय संख्याओं को 6 से गुणा करने और 1 जोड़ने पर हमें षटकोणीय संख्याएँ प्राप्त होती हैं। यह अनुक्रम 7, 19, 37, 61, 91, 127… है। यह अनुक्रम देखने पर षटकोण बनाता है।
उदाहरण के लिए, 7 एक ऐसे षटकोण का प्रतिनिधित्व करता है जिसके केंद्र में 1 बिंदु है और उसके चारों ओर 6 बिंदु हैं। प्रत्येक अगली संख्या षटकोण में एक और परत जोड़ती है, जिससे आकार समान रहता है लेकिन उसका विस्तार होता जाता है। यह पैटर्न षटकोणीय संरचना को दर्शाता है।

उत्तर:
जब हम षटकोणीय संख्याओं को जोड़ना शुरू करते हैं:
अनुक्रम 1, 1 + 7, 1 + 7, 19, 1 + 7 + 19 + 37… में जोड़ने पर प्राप्त होने वाला अनुक्रम घन संख्याएँ होता है: 1, 8, 27, 64 …
घन के चित्र द्वारा व्याख्या:
प्रत्येक चरण संरचना में एक और षटकोणीय परत जोड़ता है।
पहला योग (1) एक एकल घन का प्रतिनिधित्व करता है।
अगला षटकोण (7) जोड़ने पर एक बड़ा 2 × 2 × 2 का घन बनता है (कुल 8 घन)।
इस प्रक्रिया को जारी रखने से और भी बड़े घन बनते हैं, जो घन संख्याओं 3³ = 27, 4³ = 64, आदि से मेल खाते हैं।
घन की यह कल्पना दर्शाती है कि कैसे षटकोणीय परतों को एक के ऊपर एक रखने से एक त्रि-आयामी (3D) घन बनता है। प्रत्येक चरण एक नई पूर्ण परत जोड़ता है जो घन के आकार को समान रूप से बढ़ाता है।

उत्तर:
पैटर्न: वर्ग संख्याओं और विषम संख्याओं के बीच संबंध
वर्ग संख्याओं का अनुक्रम: 1, 4, 9, 16, 25, 36,…
विषम संख्याओं का अनुक्रम: 1, 3, 5, 7, 9, 11, …
संबंध: प्रत्येक वर्ग संख्या प्रथम n विषम संख्याओं का योग होती है।
उदाहरण के लिए:

• 1 = 1
• 4 = 1 + 3
• 9 = 1 + 3 + 5
• 16 = 1 + 3 + 5 + 7

चित्र के साथ व्याख्या:
यदि हम बिंदुओं को रखकर एक वर्ग बनाने की कल्पना करें: 1 बिंदु से शुरू करें, फिर 2 × 2 का वर्ग बनाने के लिए 3 बिंदुओं की एक पंक्ति (L – आकार) जोड़ें, फिर 3 × 3 का वर्ग बनाने के लिए 5 बिंदुओं की एक पंक्ति जोड़ें, और इसी तरह आगे बढ़ें।
यह दर्शाता है कि प्रत्येक वर्ग बिंदुओं की अगली विषम संख्या जोड़कर बनाया गया है। यह पैटर्न इसलिए बनता है क्योंकि प्रत्येक नया वर्ग पिछले वर्ग को L-आकार की बिंदुओं की परत से विस्तारित करके बनता है, जहाँ उस परत में बिंदुओं की संख्या अगली विषम संख्या के बराबर होती है।

कक्षा 6 गणित प्रकाश अध्याय 1 पेज 11 पर दिए गए “आइए, पता लगाएँ” के हल तथा उत्तर

उत्तर:
पूर्ण ग्राफ
पैटर्न: प्रत्येक आकृति रेखाओं द्वारा जुड़े हुए बिंदुओं को दर्शाती है। प्रत्येक बिंदु हर दूसरे बिंदु से जुड़ा होता है और जैसे-जैसे अधिक बिंदु जोड़े जाते हैं, रेखाओं की संख्या बढ़ती जाती है।

ढेरित वर्ग
पैटर्न: अनुक्रम की प्रत्येक आकृति बिंदुओं की अधिक पंक्तियाँ और कॉलम जोड़कर एक वर्ग बनाती है। अधिक बिंदुओं के साथ वर्ग बड़े होते जाते हैं, जिसकी शुरुआत 1 बिंदु से होती है, फिर 2 × 2 वर्ग में 4 बिंदु, फिर 3 × 3 वर्ग में 9 बिंदु, और इसी तरह आगे भी।

ढेरित त्रिभुज
पैटर्न: अनुक्रम की प्रत्येक आकृति एक त्रिभुज बनाने के लिए बिंदुओं की एक नई पंक्ति जोड़ती है। जैसे-जैसे आप अनुक्रम में नीचे जाते हैं, बिंदुओं की संख्या बढ़ती जाती है, जिसकी शुरुआत 1 बिंदु से होती है, फिर 3 बिंदु, फिर 6 बिंदु, और इसी तरह आगे भी।

कोच हिमकण
पैटर्न: पिछली आकृति के प्रत्येक पक्ष पर छोटे “कूबड़” जोड़कर प्रत्येक आकृति और अधिक जटिल हो जाती है। जैसे-जैसे मैं अनुक्रम में आगे बढ़ता हूँ, यह आकृति और भी अधिक बर्फ के टुकड़े की तरह दिखने लगती है।

उत्तर:
प्रत्येक अनुक्रम का अगला आकार:

उत्तर:
नियमित बहुभुजों के अनुक्रम में, भुजाओं की संख्या कोनों (या शीर्षों) की संख्या के बराबर होती है क्योंकि प्रत्येक कोना एक भुजा से मेल खाता है। यहाँ प्रत्येक आकृति की गणना दी गई है:

• त्रिभुज: 3 भुजाएँ, 3 कोने
• चतुर्भुज: 4 भुजाएँ, 4 कोने
• पंचभुज: 5 भुजाएँ, 5 कोने
• षटभुज: 6 भुजाएँ, 6 कोने
• सप्तभुज: 7 भुजाएँ, 7 कोने
• अष्टभुज: 8 भुजाएँ, 8 कोने
• नवभुज: 9 भुजाएँ, 9 कोने
• दसभुज: 10 भुजाएँ, 10 कोने

भुजाओं और कोनों दोनों के लिए संख्या अनुक्रम: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,…
यह अनुक्रम 3 से शुरू होने वाली गिनती की संख्याएँ हैं। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि परिभाषा के अनुसार नियमित बहुभुजों में भुजाओं और कोनों की संख्या समान होती है और जैसे-जैसे हम अधिक भुजाओं वाले बहुभुज की ओर बढ़ते हैं, कोनों की संख्या भी उसी के अनुसार बढ़ती जाती है। भुजाओं और कोनों के बीच का यह संबंध दोनों के लिए एक ही अनुक्रम बनाता है।

उत्तर:
रेखाओं की संख्या का अनुक्रम: 1, 3, 6, 10, 15,…

यह त्रिकोणीय संख्याओं का अनुक्रम है। जैसे-जैसे शीर्षों की संख्या बढ़ती है, रेखाओं की संख्या इस पैटर्न का अनुसरण करती है। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि एक पूर्ण ग्राफ़ में, प्रत्येक शीर्ष हर दूसरे शीर्ष से जुड़ा होता है, जिससे नए शीर्ष जुड़ने पर रेखाओं की संख्या क्रमिक रूप से बढ़ती जाती है।

उत्तर:
ढेरित वर्गों के अनुक्रम में, जैसे-जैसे हम अनुक्रम में आगे बढ़ते हैं, छोटे वर्गों की संख्या बढ़ती जाती है।

संख्या अनुक्रम: 1, 4, 9, 16, 25,…

1. पहली आकृति: 1 छोटा वर्ग।
2. दूसरी आकृति: 2 × 2 = 4 छोटे वर्ग।
3. तीसरी आकृति: 3 × 3 = 9 छोटे वर्ग।
4. चौथी आकृति: 4 × 4 = 16 छोटे वर्ग।
5. पांचवीं आकृति: 5 × 5 = 25 छोटे वर्ग।

यह वर्ग संख्याओं का अनुक्रम है। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि अनुक्रम का प्रत्येक चरण एक पूर्ण वर्गाकार ग्रिड बनाता है, जिसमें छोटे वर्गों की संख्या भुजा की लंबाई के वर्ग के बराबर होती है (अर्थात n², जहाँ n वर्ग की भुजा की लंबाई है)। जैसे-जैसे हम ग्रिड का आकार बढ़ाते हैं, यह पैटर्न द्विघातीय रूप से बढ़ता है।

उत्तर:
इस अनुक्रम में, प्रत्येक चरण के साथ छोटे त्रिभुजों की संख्या बढ़ती जाती है।

संख्या अनुक्रम: 1, 4, 9, 16, 25, …

• पहली आकृति: 1 छोटा त्रिभुज।
• दूसरी आकृति: 4 छोटे त्रिभुज।
• तीसरी आकृति: 9 छोटे त्रिभुज।
• चौथी आकृति: 16 छोटे त्रिभुज।
• पांचवीं आकृति: 25 छोटे त्रिभुज।

यह वर्ग संख्याओं का अनुक्रम है। इसका कारण यह है कि स्टैक्ड त्रिभुजों को इस तरह से व्यवस्थित किया जाता है कि उनकी संरचना स्टैक्ड वर्गों के समान एक ग्रिड जैसा पैटर्न बनाती है। त्रिभुजों की प्रत्येक पंक्ति पिछली पंक्ति पर आधारित होती है, जिससे एक चरण से दूसरे चरण पर जाने पर त्रिभुजों की कुल संख्या में द्विघातीय वृद्धि होती है। यह स्टैक्ड वर्गों के पीछे के तर्क के समान है, जहाँ भुजा की लंबाई का वर्ग (n²) प्रत्येक आकृति में छोटी इकाइयों (त्रिभुज या वर्ग) की कुल संख्या देता है।

उत्तर:
कोच हिमकण अनुक्रम में, प्रत्येक पुनरावृत्ति के साथ रेखा खंडों की संख्या बढ़ती जाती है। यहाँ इसकी प्रक्रिया दी गई है:

► पहली आकृति (समबाहु त्रिभुज): शुरुआती त्रिभुज में 3 रेखा खंड होते हैं।
► दूसरी आकृति: प्रत्येक रेखा खंड को 4 छोटे खंडों में विभाजित किया जाता है, जहाँ प्रत्येक खंड के मध्य भाग को एक “कूबड़” से बदल दिया जाता है (जिससे एक तारे जैसी आकृति बनती है)।
रेखा खंडों की संख्या = 3 × 4 = 12
► तीसरी आकृति: प्रत्येक 12 रेखा खंडों को फिर से 4 छोटे खंडों में विभाजित किया जाता है।
रेखा खंडों की संख्या = 12 × 4 = 48
► चौथी आकृति: प्रत्येक 48 रेखा खंडों को फिर से 4 छोटे खंडों में विभाजित किया जाता है।
रेखा खंडों की संख्या = 48 × 4 = 192
► पांचवीं आकृति: प्रत्येक 192 रेखा खंडों को फिर से 4 छोटे खंडों में विभाजित किया जाता है।
रेखा खंडों की संख्या = 192 × 4 = 768

रेखा खंडों की संख्या एक गुणोत्तर श्रेणी का पालन करती है: 3,12,48,192, 768,..
यह पैटर्न प्रत्येक चरण में खंडों की संख्या को 4 से गुणा करता है। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि प्रत्येक पुनरावृत्ति हर मौजूदा खंड को 4 छोटे खंडों में विभाजित करती है, जिससे खंडों की कुल संख्या घातांकीय रूप से बढ़ती है।

गणित क्या है?
गणित, पैटर्नों की खोज और उनके अस्तित्व के कारणों का स्पष्टीकरण है। पैटर्न प्रकृति, विज्ञान और दैनिक जीवन में हर जगह पाए जाते हैं।
संख्या अनुक्रम क्या हैं?
संख्याओं की एक व्यवस्थित श्रृंखला जो किसी नियम के अनुसार बनती है।
मुख्य अनुक्रमों की सूची:

• संख्या सिद्धांत: गणित की वह शाखा जिसमें पूर्ण संख्याओं के पैटर्नों का अध्ययन किया जाता है।
• ज्यामिति: गणित की वह शाखा जिसमें आकारों में पैटर्न का अध्ययन किया जाता है।
• विरहांक संख्याएँ: वह अनुक्रम जिसमें प्रत्येक संख्या उससे पहले की दो संख्याओं का योग होती है। जैसे 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 …
• त्रिभुजाकार संख्याएँ: वे संख्याएँ जिनके बिंदुओं को त्रिभुज के आकार में व्यवस्थित किया जा सकता है। जैसे 1, 3, 6, 10, 15 …
• वर्ग संख्याएँ: वे संख्याएँ जो किसी संख्या का वर्ग होती हैं। जैसे 1² = 1, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16 …
• घन संख्याएँ: वे संख्याएँ जो किसी संख्या का घन होती हैं। जैसे 1³ = 1, 2³ = 8, 3³ = 27, 4³ = 64 …
• षड्भुजाकार संख्याएँ: वे संख्याएँ जिनके बिंदुओं को षड्भुज के आकार में व्यवस्थित किया जा सकता है। जैसे 1, 7, 19, 37, 61 …
• कोच हिमकण: एक आकार अनुक्रम जिसमें प्रत्येक रेखाखंड को त्रिकोणीय उभार (∧) से बदला जाता है। यह एक प्रकार का फ्रैक्टल है।
• संपूर्ण आलेख: K2, K3, K4 … का अनुक्रम जिसमें प्रत्येक नया बिंदु पहले के सभी बिंदुओं से जुड़ता है।

परीक्षा में सीधे काम आने वाले सूत्र –

1. पहली n विषम संख्याओं का योग:
   1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n²
   उदाहरण: पहली 10 विषम संख्याओं का योग = 10² = 100
2. पहली n गणन संख्याओं का योग (त्रिभुजाकार संख्या):
   1 + 2 + 3 + … + n = n × (n + 1) ÷ 2
   उदाहरण: 1 + 2 + 3 + … + 10 = 10 × 11 ÷ 2 = 55
3. ऊपर और नीचे जोड़ने का सूत्र:
   1 + 2 + 3 + … + n + … + 3 + 2 + 1 = n²
   उदाहरण: 1+2+3+…+100+…+3+2+1 = 100² = 10,000
4. 2 की घातों के योग में 1 जोड़ने पर:
   1 + 2 + 4 + 8 + … + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ − 1
   उदाहरण: 1 + 2 + 4 + 8 = 15 → 15 + 1 = 16 = 2⁴
5. Kn आलेख में रेखाओं की संख्या:
   रेखाएँ = n × (n − 1) ÷ 2
   उदाहरण: K6 में रेखाएँ = 6 × 5 ÷ 2 = 15
6. त्रिभुजाकार × 6 + 1 = षड्भुजाकार
   उदाहरण: 6 × 6 + 1 = 37 ✓
7. क्रमागत दो त्रिभुजाकार संख्याओं का योग = वर्ग संख्या
   उदाहरण: 6 + 10 = 16 = 4²
8. कोच हिमकण में रेखाखंडों की संख्या:
   3, 12, 48, 192 … अर्थात् 3 × 4⁰, 3 × 4¹, 3 × 4², 3 × 4³ …
9. षड्भुजाकार संख्याओं का योग = घन संख्याएँ:
   1 = 1³, 1+7 = 8 = 2³, 1+7+19 = 27 = 3³, 1+7+19+37 = 64 = 4³

• विरहांक अनुक्रम में अगले दो पद क्या होंगे: 1, 2, 3, 5, 8, 13, ?, ?
• पहली 7 विषम संख्याओं का योग क्या होगा?
• 64 किस प्रकार की संख्या है – वर्ग, घन या दोनों?

• त्रिभुजाकार संख्याएँ क्या होती हैं? उदाहरण दीजिए।
• विषम संख्याओं को जोड़ने पर वर्ग संख्याएँ क्यों मिलती हैं? समझाइए।
• 36 एक साथ त्रिभुजाकार और वर्ग संख्या कैसे है?

• पहली 15 विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए और कारण बताइए।
• संपूर्ण आलेख K5 में कितनी रेखाएँ होती हैं? सूत्र सहित बताइए।
• कोच हिमकण के चौथे आकार में कितने रेखाखंड होते हैं?