एनसीईआरटी समाधान कक्षा 9 गणित मंजरी का अध्याय 1 अपना स्थान जानें: निर्देशांकों का उपयोग

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 1 के त्वरित लिंक:

• अभ्यास सेट 1.1
• अभ्यास सेट 1.2
• अध्याय के अंत के अभ्यास प्रश्न

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 1 अभ्यास सेट 1.1 समाधान

चित्र 1.3 के संदर्भ में, निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

उत्तर:
कमरे का दरवाज़ा x-अक्ष पर स्थित है, इसलिए x-अक्ष से इसकी दूरी = 0 इकाई है।
चित्र से, D₁ = (8, 0) तथा R₁ = (11.5, 0) हैं।
अतः दरवाज़ा y-अक्ष से 8 इकाई की दूरी पर शुरू होता है।

उत्तर:
The coordinates of D₁ are (8, 0).

उत्तर:
D₁ के निर्देशांक (8, 0) तथा R₁ के निर्देशांक (11.5, 0) हैं।

अतः दरवाज़े की चौड़ाई
= D₁ और R₁ के बीच की दूरी
= 11.5 − 8
= 3.5 इकाई

• यदि 1 इकाई = 1 फुट माना जाए, तो 3.5 फुट ≈ 42 इंच होता है, जो कमरे के दरवाज़े के लिए काफी आरामदायक चौड़ाई है।
• सामान्यतः घरों के दरवाज़े 30–36 इंच चौड़े होते हैं, इसलिए यह उससे थोड़ा अधिक है, जो बेहतर माना जाता है।

व्हीलचेयर के लिए:

• एक व्हीलचेयर को लगभग 32 इंच (≈ 2.7 फुट) चौड़ाई की आवश्यकता होती है।
• चूँकि 3.5 फुट > 2.7 फुट है, इसलिए यह दरवाज़ा पर्याप्त चौड़ा है।

अतः हम कह सकते हैं कि यह दरवाज़ा आरामदायक है और व्हीलचेयर का उपयोग करने वाला व्यक्ति भी आसानी से अंदर आ सकता है।

उत्तर:
B₁ के निर्देशांक (0, 1.5) तथा B₂ के निर्देशांक (0, 4) हैं।

अतः बाथरूम के दरवाज़े की चौड़ाई
= B₁ और B₂ के बीच की दूरी
= 4 − 1.5 = 2.5 इकाई

चूँकि 2.5 < 3.5 है, इसलिए बाथरूम का दरवाज़ा कमरे के दरवाज़े की तुलना में संकरा है।

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 1 अभ्यास सेट 1.2 समाधान

(पैमाना: 1 सेमी = 1 इकाई लें।)
चित्र 1.5 का उपयोग करते हुए, दिए गए प्रश्नों के उत्तर दीजिए।

(i) मेज़ का चौथा पैर कहाँ होगा?
उत्तर:
दिए गए तीन बिंदु आयत के तीन कोने बनाते हैं:
A = (8, 9), B = (11, 9), C = (11, 7)

आयत को पूरा करने के लिए चौथे बिंदु का
x-निर्देशांक A के समान = 8
y-निर्देशांक C के समान = 7 होगा
अतः चौथा पैर बिंदु (8, 7) पर होगा।

(ii) क्या यह मेज़ रखने के लिए उपयुक्त स्थान है?
उत्तर:
हाँ, यह एक अच्छा स्थान है क्योंकि:

• मेज़ कमरे के अंदर व्यवस्थित रूप से रखी गई है।
• यह दरवाज़ों या रास्तों को अवरुद्ध नहीं करती।
• यह दीवार के पास है, जो पढ़ाई के लिए सुविधाजनक होता है।

(iii) मेज़ की चौड़ाई और लंबाई क्या है? क्या आप इसकी ऊँचाई बता सकते हैं?
उत्तर:
चौड़ाई:
(8, 9) और (11, 9) के बीच दूरी
= 11 − 8 = 3 इकाई

लंबाई:
(11, 9) और (11, 7) के बीच दूरी
= 9 − 7 = 2 इकाई

ऊँचाई:
मेज़ की ऊँचाई ज्ञात नहीं की जा सकती, क्योंकि चित्र केवल ऊपर से दृश्य (2D) दर्शाता है, इसमें ऊँचाई (3D) की जानकारी नहीं दी गई है।

उत्तर:
चित्र 1.5 के अनुसार:
B₁ = (0, 1.5)
B₂ = (0, 4)
अतः बाथरूम के दरवाज़े की चौड़ाई = 4 − 1.5 = 2.5 इकाई

• यदि दरवाज़ा B₁ पर किवाड़ से जुड़ा है और बेडरूम की ओर खुलता है, तो वह B₁ से 2.5 इकाई त्रिज्या का एक चाप बनाएगा।
• अब अलमारी का निकटतम भाग लगभग इन बिंदुओं से शुरू होता है: W₁ = (3, 0), W₄ = (3, 2)
• बिंदु B₁ (0, 1.5) से अलमारी की दूरी x-दिशा में लगभग 3 इकाई है, जो दरवाज़े की चौड़ाई 2.5 इकाई से अधिक है।

अतः, दरवाज़ा अलमारी से नहीं टकराएगा।
यदि दरवाज़ा और चौड़ा किया जाए तो सुझाव:
दरवाज़ा बहुत चौड़ा होने पर अलमारी से टकराने की संभावना हो सकती है।
ऐसे में:

• दरवाज़े को बाथरूम की ओर (अंदर) खुलने वाला बनाया जा सकता है, या
• अलमारी को थोड़ा दाईं ओर खिसकाया जा सकता है, या
• दरवाज़े की चौड़ाई सीमित रखी जा सकती है।

इससे स्थान का उपयोग अधिक सुरक्षित और सुविधाजनक बना रहेगा।

(i) बाथरूम के चारों कोनों O, F, R और P के निर्देशांक क्या हैं?
उत्तर:
चित्र 1.5 के अनुसार:
बाथरूम के चारों कोनों O, F, R और P के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
O = (0, 0)
F = (0, 9)
R = (-6, 9)
P = (-6, 0)

(ii) रियान के बाथरूम में शॉवर क्षेत्र SHWR का आकार क्या है? इसके चारों कोनों के निर्देशांक लिखिए।
उत्तर:
चित्र के अनुसार:
S = (-6, 5)
H = (-3, 5)
W = (-2, 9)
R = (-6, 9)

चूँकि एक जोड़ी विपरीत भुजाएँ समानांतर हैं, इसलिए SHWR एक समलंब चतुर्भुज है।

SHWR का आकार = समलंब चतुर्भुज
कोनों के निर्देशांक:
S = (-6, 5)
H = (-3, 5)
W = (-2, 9)
R = (-6, 9)

(iii) वॉशबेसिन के लिए 3 फुट × 2 फुट का स्थान तथा शौचालय के लिए 2 फुट × 3 फुट का स्थान चिन्हित कीजिए। इन स्थानों के कोनों के निर्देशांक लिखिए।
उत्तर:
वॉशबेसिन का स्थान (3 फुट × 2 फुट):
बाथरूम के निचले-बाएँ कोने में आयत बनाइए।
कोनों के निर्देशांक:
(-6, 0), (-3, 0), (-3, 2) और (-6, 2)

टॉयलेट का स्थान (2 फुट × 3 फुट):
वॉशबेसिन के ऊपर एक आयत बनाइए।
कोनों के निर्देशांक:
(-6, 2), (-4, 2), (-4, 5) और (-6, 5)

वॉशबेसिन के कोनों के निर्देशांक:
(-6, 0), (-3, 0), (-3, 2) और (-6, 2)

टॉयलेट के कोनों के निर्देशांक:
(-6, 2), (-4, 2), (-4, 5) और (-6, 5)

(i) रियान के कमरे का दरवाज़ा डाइनिंग रूम से जुड़ता है, जिसकी लंबाई 18 फुट और चौड़ाई 15 फुट है। डाइनिंग रूम की लंबाई बिंदु P से बिंदु A तक फैली है। डाइनिंग रूम का चित्र बनाइए और उसके कोनों के निर्देशांक अंकित कीजिए।
उत्तर:
चित्र 1.5 के अनुसार:
P के निर्देशांक = (-6, 0)
A के निर्देशांक = (12, 0)
अतः PA की लंबाई = 12 − (−6) = 18 फुट, जो दी गई लंबाई के बराबर है।
यदि डाइनिंग रूम की चौड़ाई 15 फुट है और वह PA के नीचे स्थित है, तो इसकी ऊपरी भुजा PA होगी और यह नीचे की ओर 15 इकाई तक फैलेगा।

इस प्रकार, डाइनिंग रूम के चारों कोनों के निर्देशांक होंगे:

• P = (-6, 0)
• A = (12, 0)
• Q = (12, -15)
• S = (-6, -15)

अतः डाइनिंग रूम के कोनों के निर्देशांक (-6, 0), (12, 0), (12, -15) और (-6, -15) हैं।

(ii) डाइनिंग रूम के ठीक केंद्र में 5 फुट × 3 फुट की आयताकार डाइनिंग टेबल रखिए। टेबल के पैरों के निर्देशांक लिखिए।
उत्तर:
डाइनिंग रूम का विस्तार:
x = -6 से 12 तक
y = 0 से -15 तक

डाइनिंग रूम का केंद्र:
x-निर्देशांक = (-6 + 12)/2 = 3
y-निर्देशांक = (0 + (-15))/2 = -7.5

अब 5 फुट × 3 फुट की टेबल को केंद्र पर रखते हैं।
लंबाई (x-अक्ष के समानांतर) = 5 इकाई ⇒ आधी = 2.5
चौड़ाई (y-अक्ष के समानांतर) = 3 इकाई ⇒ आधी = 1.5

अतः, टेबल के चारों पैरों (कोनों) के निर्देशांक निम्नलिखित प्रकार से होंगे:
(0.5, -9), (5.5, -9), (5.5, -6), (0.5, -6)

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 1 अभ्यास प्रश्न – अध्याय के अंत में दिए गए प्रश्नों के समाधान

उत्तर:
x-अक्ष और y-अक्ष मूलबिंदु पर एक-दूसरे को काटते हैं।

अतः:

• x-निर्देशांक = 0
• y-निर्देशांक = 0

इसलिए, प्रतिच्छेदन बिंदु (0, 0) है।

उत्तर:
यदि बिंदु W का x-निर्देशांक –5 है, तो W से होकर y-अक्ष के समानांतर जाने वाली किसी भी रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु का x-निर्देशांक भी –5 ही होगा।
अतः H के निर्देशांक इस रूप में होंगे:
H = (–5, y), जहाँ y कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है।
अब y के मान के अनुसार:

• यदि y > 0, तो H द्वितीय (II) चतुर्थांश में होगा।
• यदि y < 0, तो H तृतीय (III) चतुर्थांश में होगा।
• यदि y = 0, तो H x-अक्ष पर होगा।

अतः H द्वितीय चतुर्थांश, तृतीय चतुर्थांश या x-अक्ष पर स्थित हो सकता है।

(i) RAMP की वे दो भुजाएँ जो एक-दूसरे के लम्बवत हैं।
उत्तर:
आइए देखें:
AM बिंदु A(0, –2) से M(–5, –2) को जोड़ता है, इसलिए यह क्षैतिज रेखा है।
MP बिंदु M(–5, –2) से P(–5, 2) को जोड़ता है, इसलिए यह ऊर्ध्वाधर रेखा है।
एक क्षैतिज और एक ऊर्ध्वाधर रेखा आपस में लम्बवत होती हैं।
अतः: AM ⟂ MP
इसलिए लम्बवत भुजाएँ AM और MP हैं।

(ii) RAMP की एक ऐसी भुजा बताइए जो किसी एक अक्ष के समानांतर हो।
उत्तर:
AM भुजा x-अक्ष के समानांतर है क्योंकि A और M दोनों के y-निर्देशांक (–2) समान हैं।
MP भुजा y-अक्ष के समानांतर है क्योंकि M और P दोनों के x-निर्देशांक (–5) समान हैं।
अतः किसी एक अक्ष के समानांतर भुजा हैं:
AM (x-अक्ष के समानांतर) या MP (y-अक्ष के समानांतर)।

(iii) ऐसे दो बिंदु जो किसी एक अक्ष के सापेक्ष एक-दूसरे के प्रतिबिंब हैं, उन्हें पहचानिए। यह कौन-सा अक्ष होगा?
अब इन बिंदुओं को ग्राफ पर अंकित करके अपने अनुमान की पुष्टि कीजिए।
उत्तर:
M(–5, –2) और P(–5, 2) की तुलना करने पर:
इन दोनों के x-निर्देशांक समान हैं।
इनके y-निर्देशांक समान परिमाण के हैं लेकिन चिन्ह विपरीत हैं।
अतः ये दोनों बिंदु x-अक्ष के सापेक्ष एक-दूसरे के प्रतिबिंब हैं।
इसलिए बिंदु M और P एक-दूसरे के प्रतिबिंब हैं।
यह प्रतिबिंब x-अक्ष के सापेक्ष है।

टिप्पणी: उत्तर व्यक्ति-व्यक्ति के अनुसार भिन्न हो सकते हैं।
उत्तर:
बिंदु Z = (5, –6) है।

समकोण त्रिभुज बनाने के लिए हम लेते हैं:
I = (5, 0) (x-अक्ष पर)
N = (0, –6) (y-अक्ष पर)

क्या त्रिभुज IZN एक समकोण त्रिभुज है? आएये जांच करते हैं:
IZ ऊर्ध्वाधर है और
ZN क्षैतिज है
इसलिए त्रिभुज IZN में समकोण Z पर बनता है।

बिन्दुओं के निर्देशांक:
I = (5, 0)
Z = (5, –6)
N = (0, –6)

अब, भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं:
1. IZ:
बिंदुओ (5, 0) और (5, –6) के बीच की दूरी
= 0 – (–6) = 6 इकाई
2. ZN:
बिंदुओं (5, –6) और (0, –6) के बीच की दूरी
= 5 – 0 = 5 इकाई
3. IN:
दूरी सूत्र के प्रयोग से:
IN = √[(5 – 0)² + (0 – (–6))²]
= √(5² + 6²)
= √(25 + 36)
= √61 इकाई

अतः, एक संभव समकोण त्रिभुज निम्न बिंदुओं द्वारा बनता है:
I = (5, 0)
Z = (5, –6)
N = (0, –6)

भुजाओं की लंबाई:
IZ = 6 इकाई
ZN = 5 इकाई
IN = √61 इकाई

उत्तर:
यदि हमारे पास ऋणात्मक संख्याएँ न होतीं, तो निर्देशांक केवल शून्य या धनात्मक ही हो सकते थे।
इसलिए:

• x-अक्ष पर हम केवल मूल बिंदु के दाईं ओर के बिंदुओं को ही दर्शा सकते।
• y-अक्ष पर हम केवल मूल बिंदु के ऊपर के बिंदुओं को ही दर्शा सकते।

इसका अर्थ है कि हम केवल निम्न स्थानों पर स्थित बिंदुओं का निर्धारण कर पाते:

प्रथम चतुर्थांश

• x-अक्ष का धनात्मक भाग
• y-अक्ष का धनात्मक भाग
• तथा मूल बिंदु

हम निम्न बिंदुओं का निर्धारण नहीं कर पाते:

• द्वितीय चतुर्थांश के बिंदु
• तृतीय चतुर्थांश के बिंदु
• चतुर्थ चतुर्थांश के बिंदु
• अक्षों के ऋणात्मक भागों के बिंदु

अतः, ऐसी निर्देशांक प्रणाली हमें द्वि-आयामी तल (2-D plane) के सभी बिंदुओं का स्थान निर्धारित करने की अनुमति नहीं देती।

उत्तर:
बिंदुओं M (–3, –4), A (0, 0) और G (6, 8) के एक ही सीधी रेखा पर स्थित होने की जाँच, दूरी सूत्र का उपयोग करके कर सकते हैं: d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]

MA = √[(0 + 3)² + (0 + 4)²]
= √(3² + 4²)
= √(9 + 16) = √25 = 5

AG = √[(6 − 0)² + (8 − 0)²]
= √(36 + 64)
= √100 = 10

MG = √[(6 + 3)² + (8 + 4)²]
= √(9² + 12²)
= √(81 + 144)
= √225 = 15

यहाँ: MA + AG = 5 + 10 = 15 = MG
चूँकि दो दूरियों का योग तीसरी दूरी के बराबर है, इसलिए बिंदु M, A और G एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं।

अब दोनों बिंदु-समूहों को आरेखित कीजिए और अपने उत्तरों की जाँच कीजिए।
उत्तर:
बिंदुओं R (–5, –1), B (–2, –5) और C (4, –12) के एक ही सीधी रेखा पर स्थित होने की जाँच दूरी सूत्र का उपयोग करके करने के लिए:: d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]

RB = √[(–2 + 5)² + (–5 + 1)²]
= √(3² + (–4)²)
= √(9 + 16) = √25 = 5

BC = √[(4 + 2)² + (–12 + 5)²]
= √(6² + (–7)²)
= √(36 + 49) = √85

RC = √[(4 + 5)² + (–12 + 1)²]
= √(9² + (–11)²)
= √(81 + 121) = √202

यहाँ: RB + BC = 5 + √85 ≠ √202
चूँकि दो दूरियों का योग तीसरी दूरी के बराबर नहीं है, इसलिए बिंदु R, B और C एक ही सीधी रेखा पर स्थित नहीं हैं।

(i) एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज।
उत्तर:
त्रिभुज OAB के शीर्षों का एक संभावित समूह है:
O = (0, 0)
A = (4, 0)
B = (0, 4)

क्योंकि:
OA = 4 इकाई
OB = 4 इकाई
OA, OB पर लंबवत है

अतः त्रिभुज OAB एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है।

(ii) एक समद्विबाहु त्रिभुज, जिसका एक शीर्ष तृतीय चतुर्थांश में और दूसरा चतुर्थ चतुर्थांश में हो।
उत्तर:
शीर्षों का एक संभावित समूह है:
O = (0, 0), P = (–3, –4), Q = (3, –4)

व्याख्या:
P तृतीय चतुर्थांश में स्थित है।
Q चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित है।
OP = OQ = 5 इकाई

अतः त्रिभुज OPQ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

जब M, ST का मध्यबिंदु होता है, तो क्या आप M, S और T के निर्देशांकों के बीच कोई संबंध ज्ञात कर सकते हैं?
उत्तर:

दूरी सूत्र का उपयोग करके: d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]

(i) पंक्ति 1: S(−3, 0), M(0, 0), T(3, 0)
SM = √[(0−(−3))² + (0−0)²] = √[9 + 0] = 3
MT = √[(3−0)² + (0−0)²] = √[9 + 0] = 3
SM = MT = 3
हाँ, M मध्यबिंदु है।

(ii) पंक्ति 2: S(2, 3), M(3, 4), T(4, 5)
SM = √[(3−2)² + (4−3)²] = √[1 + 1] = √2
MT = √[(4−3)² + (5−4)²] = √[1 + 1] = √2
SM = MT = √2
हाँ, M मध्यबिंदु है।

(iii) पंक्ति 3: S(0, 0), M(0, 5), T(0, −10)
SM = √[(0−0)² + (5−0)²] = √[0 + 25] = 5
MT = √[(0−0)² + (−10−5)²] = √[0 + 225] = 15
SM ≠ MT (5 ≠ 15)
नहीं, M मध्यबिंदु नहीं है।

(iv) पंक्ति 4: S(−8, 7), M(0, −2), T(6, −3)
SM = √[(0−(−8))² + (−2−7)²] = √[64 + 81] = √145
MT = √[(6−0)² + (−3−(−2))²] = √[36 + 1] = √37
SM ≠ MT (√145 ≠ √37)
नहीं, M मध्यबिंदु नहीं है।

दिया गया है: M (–7, 1), A (3, –4) और B (x, y) का मध्यबिंदु है।
अतः, दूरी सूत्र की अवधारणा के अनुसार, बिंदु M, A और B से समान दूरी पर होगा।

दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए:
AM = √[(–7 − 3)² + (1 − (–4))²]
= √[(–10)² + (5)²]
= √(100 + 25)
= √125

अब, MB = √[(x + 7)² + (y − 1)²]

चूँकि दूरी AM = दूरी MB
अतः, √[(x + 7)² + (y − 1)²] = √125

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
(x + 7)² + (y − 1)² = 125 …(1)

साथ ही, क्योंकि M मध्यबिंदु है, यह A और B के बीच स्थित होता है, इसलिए B के निर्देशांक ऐसे होंगे कि M, AB को दो बराबर भागों में विभाजित करता है। सममिति (या निर्देशांकों के संतुलन) के आधार पर:

x-निर्देशांक के लिए:
A से M तक दूरी = –7 − 3 = –10
तो M से B तक दूरी भी –10 होगी
x = –7 − 10 = –17

y-निर्देशांक के लिए:
A से M तक दूरी = 1 − (–4) = 5
तो M से B तक दूरी भी 5 होगी
y = 1 + 5 = 6

अतः, B के निर्देशांक = (–17, 6)

एक अन्य विधि:
दिया गया:
A = (3, –4)
B = (x, y)
M = (–7, 1)

हम मध्यबिंदु सूत्र का उपयोग करते हैं:
मध्यबिंदु M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)

अतः, (3 + x)/2 = –7
⇒ 3 + x = –14
⇒ x = –17

और (–4 + y)/2 = 1
⇒ –4 + y = 2
⇒ y = 6

अतः, B के निर्देशांक: B = (–17, 6)

अपने मध्यबिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के ज्ञान का उपयोग करते हुए, आप P और Q के निर्देशांक कैसे ज्ञात करेंगे? इसे उस स्थिति के लिए कीजिए जब बिंदु A (4, 7) और B (16, –2) हों।
उत्तर:
रेखाखंड AB का त्रिभाजन करने पर, P और Q इस खंड को 3 बराबर भागों में विभाजित करते हैं।

दिया गया है: A (4, 7), B (16, –2)
मान लीजिए P (x₁, y₁) और Q (x₂, y₂) हैं।

यहाँ, P, A और Q का मध्यबिंदु है, इसलिए
x₁ = (4 + x₂)/2 …(1)
y₁ = (7 + y₂)/2 …(2)

और Q, P और B का मध्यबिंदु है, इसलिए
x₂ = (x₁ + 16)/2 …(3)
y₂ = (y₁ − 2)/2 …(4)

अब x-निर्देशांकों के लिए हल करते हैं:
(1) से: x₁ = (4 + x₂)/2
और (3) से: x₂ = (x₁ + 16)/2

(1) को (3) में रखने पर:
x₂ = ((4 + x₂)/2 + 16)/2
= (4 + x₂ + 32)/4
= (x₂ + 36)/4

अतः, 4x₂ = x₂ + 36
⇒ 3x₂ = 36
⇒ x₂ = 12

अब (1) से: x₁ = (4 + 12)/2 = 8

अब y-निर्देशांकों के लिए:
(2) से: y₁ = (7 + y₂)/2
और (4) से: y₂ = (y₁ − 2)/2

(2) को (4) में रखने पर:
y₂ = ((7 + y₂)/2 − 2)/2
= (7 + y₂ − 4)/4
= (y₂ + 3)/4

अतः, 4y₂ = y₂ + 3
⇒ 3y₂ = 3
⇒ y₂ = 1

अब (2) से: y₁ = (7 + 1)/2 = 4

अतः, P = (8, 4) और Q = (12, 1)।

उत्तर:
दूरी OA:
= √(1² + (–8)²)
= √(1 + 64)
= √65

दूरी OB:
= √((–4)² + 7²)
= √(16 + 49)
= √65

दूरी OC:
= √((–7)² + (–4)²)
= √(49 + 16)
= √65

चूँकि तीनों बिंदु मूल बिंदु से समान दूरी पर हैं, इसलिए वे (0, 0) केंद्र वाले एक वृत्त पर स्थित हैं।
त्रिज्या = √65

अतः बिंदु A, B और C, केंद्र (0, 0) और त्रिज्या √65 वाले वृत्त K पर स्थित हैं।

उत्तर:
दूरी OD:
= √((–5)² + 6²)
= √(25 + 36)
= √61

दूरी OE:
= √(0² + 9²)
= 9

त्रिज्या √65 ≈ 8.06 से तुलना करें:

√61 ≈ 7.81 < √65 → D वृत्त के भीतर स्थित है 9 > √65 → E वृत्त के बाहर स्थित है

अतः,
D वृत्त के भीतर है।
E वृत्त के बाहर है।

उत्तर:
मान लीजिए त्रिभुज ABC के शीर्ष A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) और C(x₃, y₃) हैं।
दिए गए मध्यबिंदु हैं: D(5, 1), E(6, 5), F(0, 3)।

D, BC का मध्यबिंदु है, अतः मध्यबिंदु सूत्र के अनुसार:
x₂ + x₃ = 10 …(1)
y₂ + y₃ = 2 …(2)

E, CA का मध्यबिंदु है, अतः:
x₃ + x₁ = 12 …(3)
y₃ + y₁ = 10 …(4)

F, AB का मध्यबिंदु है, अतः:
x₁ + x₂ = 0 …(5)
y₁ + y₂ = 6 …(6)

अब x-निर्देशांकों के लिए हल करते हैं, (5) से:
x₂ = –x₁

इसे (1) में रखने पर: –x₁ + x₃ = 10
⇒ x₃ = 10 + x₁ …(7)

अब (3) में रखने पर: (10 + x₁) + x₁ = 12
⇒ 2x₁ + 10 = 12
⇒ 2x₁ = 2
⇒ x₁ = 1

तब: x₂ = –1
⇒ x₃ = 10 + 1 = 11

अब y-निर्देशांकों के लिए, (6) से:
y₂ = 6 – y₁

इसे (2) में रखने पर: (6 – y₁) + y₃ = 2
⇒ y₃ = y₁ – 4 …(8)

अब (4) में रखने पर: (y₁ – 4) + y₁ = 10
⇒ 2y₁ – 4 = 10
⇒ 2y₁ = 14
⇒ y₁ = 7

तब: y₂ = 6 – 7 = –1
⇒ y₃ = 7 – 4 = 3

अतः बिंदुओं के निर्देशांक हैं:
A (1, 7), B (–1, –1) और C (11, 3)।

शहर की अन्य सभी सड़कें इन मुख्य सड़कों के समानांतर चलती हैं और उनके बीच की दूरी 200 मीटर है। प्रत्येक दिशा में 10 सड़कें हैं।
(i) 1 सेमी = 200 मीटर का उपयोग करते हुए, अपनी नोटबुक में शहर का एक मॉडल बनाइए। सड़कों/गलियों को एकल रेखाओं द्वारा दर्शाइए।
उत्तर:
शहर का मॉडल बनाना:
चूँकि मापनी (Scale) 1 सेमी = 200 मीटर है,
इसलिए प्रत्येक दो सड़कों के बीच की दूरी 200 मीटर है।
दिया गया है कि:
उत्तर–दक्षिण (N–S) दिशा में 10 सड़कें हैं
पूर्व–पश्चिम (E–W) दिशा में 10 सड़कें हैं

अतः, मॉडल में होगा:
10 ऊर्ध्वाधर समानांतर रेखाएँ (N–S सड़कों के लिए)
10 क्षैतिज समानांतर रेखाएँ (E–W सड़कों के लिए)
प्रत्येक लगातार रेखा के बीच 1 सेमी का अंतर होगा, जिससे एक वर्गाकार ग्रिड बनेगा।

(ii) मॉडल में सड़क चौराहे होते हैं। प्रत्येक चौराहा दो सड़कों से बनता है—एक उत्तर–दक्षिण (N–S) दिशा में और दूसरी पूर्व–पश्चिम (E–W) दिशा में। प्रत्येक चौराहे को निम्न प्रकार से दर्शाया जाता है: यदि N–S दिशा की दूसरी सड़क और E–W दिशा की पाँचवीं सड़क किसी बिंदु पर मिलती हैं, तो उस चौराहे को (2, 5) कहा जाता है। इसी नियम का उपयोग करते हुए, ज्ञात कीजिए:
(a) कितने चौराहों को (4, 3) कहा जा सकता है?
(b) कितने चौराहों को (3, 4) कहा जा सकता है?
उत्तर:
एक चौराहे को इस प्रकार नाम दिया जाता है:
(पहली संख्या, दूसरी संख्या)
= (N–S सड़क संख्या, E–W सड़क संख्या)
अतः:
(4, 3) का अर्थ है 4वीं N–S सड़क और 3वीं E–W सड़क का चौराहा।
(3, 4) का अर्थ है 3वीं N–S सड़क और 4वीं E–W सड़क का चौराहा।
अब, एक N–S सड़क और एक E–W सड़क केवल एक ही बिंदु पर मिल सकती हैं।
अतः:
(a) केवल एक चौराहा (4, 3) कहलाया जा सकता है।
(b) केवल एक चौराहा (3, 4) कहलाया जा सकता है।

स्क्रीन की चौड़ाई 800 पिक्सेल और ऊँचाई 600 पिक्सेल है। 80 पिक्सेल त्रिज्या वाला एक वृत्ताकार आइकन बिंदु A (100, 150) को केंद्र मानकर बनाया गया है। 100 पिक्सेल त्रिज्या वाला एक अन्य वृत्ताकार आइकन बिंदु B (250, 230) को केंद्र मानकर बनाया गया है। निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
(i) क्या किसी भी वृत्त का कोई भाग स्क्रीन के बाहर जाता है?
(ii) क्या दोनों वृत्त एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं?
उत्तर:
(i) नहीं। दोनों वृत्त पूरी तरह स्क्रीन के अंदर स्थित हैं।
(ii) हाँ। दोनों वृत्त एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं, जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है।

उत्तर:
हाँ, ABCD एक वर्ग है।

हम इसे भुजाओं और विकर्णों की लंबाई ज्ञात करके जाँच सकते हैं।

सभी भुजाओं की लंबाई ज्ञात करना:
AB = √[(–1 − 2)² + (2 − 1)²]
= √[(–3)² + 1²]
= √(9 + 1)
= √10

BC = √[(–2 − (–1))² + (–1 − 2)²]
= √[(–1)² + (–3)²]
= √(1 + 9)
= √10

CD = √[(1 − (–2))² + (–2 − (–1))²]
= √[3² + (–1)²]
= √(9 + 1)
= √10

DA = √[(2 − 1)² + (1 − (–2))²]
= √[1² + 3²]
= √(1 + 9)
= √10
यहाँ, चारों भुजाएँ समान हैं।

अब विकर्णों की लंबाई ज्ञात करना:
AC = √[(–2 − 2)² + (–1 − 1)²]
= √[(–4)² + (–2)²]
= √(16 + 4)
= √20

BD = √[(1 − (–1))² + (–2 − 2)²]
= √[2² + (–4)²]
= √(4 + 16)
= √20

इसप्रकार, विकर्ण भी समान हैं।
चूँकि सभी भुजाएँ समान हैं और विकर्ण भी समान हैं, इसलिए ABCD एक वर्ग है।

ABCD का क्षेत्रफल = (भुजा)²
= (√10)²
= 10 वर्ग इकाई।