एनसीईआरटी समाधान कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 1 स्वयं को प्रवृत्त करना – निर्देशांकों का उपयोग 

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 1 के त्वरित लिंक:

• प्रश्नावली 1.1
• प्रश्नावली 1.2
• अंतिम प्रश्नावली

• कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 1 अंग्रेजी मीडियम में
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कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 1 प्रश्नावली 1.1 समाधान

चित्र 1.3 के आधार पर निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए –

उत्तर:
कमरे का द्वार x-अक्ष पर स्थित है, इसलिए x-अक्ष से इसकी दूरी = 0 इकाई है।
चित्र से,
D₁ = (8, 0) और R₁ = (11.5, 0)
अतः द्वार, y-अक्ष (बाईं दीवार) से 8 इकाई दूर स्थित है।

उत्तर:
D₁ के निर्देशांक (8, 0) हैं।

उत्तर:
D₁ के निर्देशांक (8, 0) तथा R₁ के निर्देशांक (11.5, 0) हैं।

अतः द्वार की चौड़ाई
= D₁ और R₁ के बीच की दूरी
= 11.5 − 8
= 3.5 इकाई

• यदि 1 इकाई = 1 फुट माना जाए, तो 3.5 फुट ≈ 42 इंच होता है, जो कमरे के द्वार के लिए काफी आरामदायक चौड़ाई है।
• सामान्यतः घरों के द्वार 30–36 इंच चौड़े होते हैं, इसलिए यह उससे थोड़ा अधिक है, जो बेहतर माना जाता है।

व्हीलचेयर के लिए:

• एक व्हीलचेयर को लगभग 32 इंच (≈ 2.7 फुट) चौड़ाई की आवश्यकता होती है।
• चूँकि 3.5 फुट > 2.7 फुट है, इसलिए यह द्वार पर्याप्त चौड़ा है।

अतः हम कह सकते हैं कि हाँ – यह द्वार की चौड़ाई उपयुक्त है और व्हीलचेयर पर बैठा व्यक्ति बिना किसी कठिनाई के सरलतापूर्वक कमरे में प्रवेश कर सकेगा।

उत्तर:
B₁ के निर्देशांक (0, 1.5) तथा B₂ के निर्देशांक (0, 4) हैं।

अतः स्नानगृह के द्वार की चौड़ाई = B₁ और B₂ के बीच की दूरी
= 4 − 1.5
= 2.5 इकाई
चूँकि 2.5 < 3.5 है, इसलिए स्नानगृह का द्वार कमरे के द्वार की तुलना में संकीर्ण (कम चौड़ा) है।

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 1 प्रश्नावली 1.2 समाधान

(1 से.मी. = 1 इकाई का पैमाना उपयोग कीजिए)। चित्र 1.5 का उपयोग करते हुए अगले पृष्ठ पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर दीजिए—

(i) मेज का चौथा पाया कहाँ होगा?
उत्तर:
दिए गए तीन बिंदु आयत के तीन कोने बनाते हैं:
A = (8, 9), B = (11, 9), C = (11, 7)

आयत को पूरा करने के लिए चौथे बिंदु का
x-निर्देशांक A के समान = 8
y-निर्देशांक C के समान = 7 होगा
अतः चौथा पैर बिंदु (8, 7) पर होगा।

(ii) क्या मेज के लिए यह एक सही स्थान है?
उत्तर:
हाँ, यह एक अच्छा स्थान है क्योंकि:

• मेज़ कमरे के अंदर व्यवस्थित रूप से रखी गई है।
• यह दरवाज़ों या रास्तों को अवरुद्ध नहीं करती।
• यह दीवार के पास है, जो पढ़ाई के लिए सुविधाजनक होता है।

(iii) मेज की चौड़ाई क्या है? इसकी लंबाई क्या है? क्या आप मेज की ऊँचाई बता सकते हैं?
उत्तर:
चौड़ाई:
(8, 9) और (11, 9) के बीच दूरी
= 11 − 8 = 3 इकाई

लंबाई:
(11, 9) और (11, 7) के बीच दूरी
= 9 − 7 = 2 इकाई

ऊँचाई:
मेज़ की ऊँचाई ज्ञात नहीं की जा सकती, क्योंकि चित्र केवल ऊपर से दृश्य (2D) दर्शाता है, इसमें ऊँचाई (3D) की जानकारी नहीं दी गई है।

उत्तर:
चित्र 1.5 के अनुसार:
B₁ = (0, 1.5)
B₂ = (0, 4)
अतः स्नानगृह के द्वार की चौड़ाई = 4 − 1.5 = 2.5 इकाई

• यदि द्वार B₁ पर कब्जे (हिंज) के साथ शयनकक्ष की ओर खुलता है, तो यह B₁ से 2.5 इकाई त्रिज्या का एक चाप (आर्क) बनाएगा।
• अब अलमारी का निकटतम भाग लगभग इन बिंदुओं से शुरू होता है: W₁ = (3, 0), W₄ = (3, 2)
• बिंदु B₁ (0, 1.5) से अलमारी की दूरी x-दिशा में लगभग 3 इकाई है, जो द्वार की चौड़ाई 2.5 इकाई से अधिक है।

अतः, द्वार अलमारी से नहीं टकराएगा।
यदि द्वार और चौड़ा किया जाए तो सुझाव:
द्वार बहुत चौड़ा होने पर अलमारी से टकराने की संभावना हो सकती है।
ऐसे में:

• द्वार को स्नानगृह की ओर (अंदर) खुलने वाला बनाया जा सकता है, या
• अलमारी को थोड़ा दाईं ओर खिसकाया जा सकता है, या
• द्वार की चौड़ाई सीमित रखी जा सकती है।

इससे स्थान का उपयोग अधिक सुरक्षित और सुविधाजनक बना रहेगा।

(i) स्नानगृह के चार कोनों O, F, R और P के निर्देशांक क्या हैं?
उत्तर:
चित्र 1.5 के अनुसार:
स्नानगृह के चारों कोनों O, F, R और P के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
O = (0, 0)
F = (0, 9)
R = (-6, 9)
P = (-6, 0)

(ii) रियान के स्नानगृह में फव्वारा क्षेत्र का आकार क्या है? इसके चारों कोनों के निर्देशांक लिखिए।
उत्तर:
चित्र के अनुसार: रियान के स्नानगृह के चारों कोनों के निर्देशांक –
S = (-6, 5)
H = (-3, 5)
W = (-2, 9)
R = (-6, 9)
चूँकि एक जोड़ी विपरीत भुजाएँ समानांतर हैं, इसलिए SHWR एक समलंब चतुर्भुज है।

(iii) प्रक्षालन पात्र (वॉश बेसिन) के लिए 3 फुट × 2 फुट और प्रसाधन (शौचालय) के लिए 2 फुट × 3 फुट का स्थान चिह्नित कीजिए। इन स्थानों के कोनों के निर्देशांक लिखिए।
उत्तर:
प्रक्षालन पात्र का स्थान (3 फुट × 2 फुट):
स्नानगृह के निचले-बाएँ कोने में आयत के कोनों के निर्देशांक:
(-6, 0), (-3, 0), (-3, 2) और (-6, 2)

प्रसाधन का स्थान (2 फुट × 3 फुट):
प्रक्षालन पात्र के ऊपर एक आयत के कोनों के निर्देशांक:
(-6, 2), (-4, 2), (-4, 5) और (-6, 5)

प्रक्षालन पात्र के कोनों के निर्देशांक:
(-6, 0), (-3, 0), (-3, 2) और (-6, 2)

प्रसाधन के कोनों के निर्देशांक:
(-6, 2), (-4, 2), (-4, 5) और (-6, 5)

(i) रियान कमरे के प्रवेशद्वार तक भोजनकक्ष से होकर जाता है जिसकी लंबाई 18 फुट और चौड़ाई 15 फुट है। भोजनकक्ष की लंबाई बिंदु P से लेकर बिंदु A तक है। भोजनकक्ष का रेखाचित्र खींचिए और इसके कोनों के निर्देशांकों को अंकित कीजिए।
उत्तर:
चित्र 1.5 के अनुसार:
P के निर्देशांक = (-6, 0)
A के निर्देशांक = (12, 0)
अतः PA की लंबाई = 12 − (−6) = 18 फुट, जो दी गई लंबाई के बराबर है।
यदि भोजनकक्ष की चौड़ाई 15 फुट है और वह PA के नीचे स्थित है, तो इसकी ऊपरी भुजा PA होगी और यह नीचे की ओर 15 इकाई तक फैलेगा।

इस प्रकार, भोजनकक्ष के चारों कोनों के निर्देशांक होंगे:

• P = (-6, 0)
• A = (12, 0)
• Q = (12, -15)
• S = (-6, -15)

अतः भोजनकक्ष के कोनों के निर्देशांक (-6, 0), (12, 0), (12, -15) और (-6, -15) हैं।

(ii) भोजनकक्ष के ठीक मध्य में एक 5 फुट × 3 फुट क्षेत्रफल की आयताकार भोजन-मेज (डाइनिंग टेबल) रखिए। मेज के पायों के निर्देशांकों को लिखिए।
उत्तर:
भोजनकक्ष का विस्तार:
x = -6 से 12 तक
y = 0 से -15 तक

भोजनकक्ष का केंद्र:
x-निर्देशांक = (-6 + 12)/2 = 3
y-निर्देशांक = (0 + (-15))/2 = -7.5

अब 5 फुट × 3 फुट की भोजन-मेज को केंद्र पर रखते हैं।
लंबाई (x-अक्ष के समानांतर) = 5 इकाई ⇒ आधी = 2.5
चौड़ाई (y-अक्ष के समानांतर) = 3 इकाई ⇒ आधी = 1.5

अतः, भोजन-मेज के चारों पैरों (कोनों) के निर्देशांक निम्नलिखित प्रकार से होंगे:
(0.5, -9), (5.5, -9), (5.5, -6), (0.5, -6)

कक्षा 9 गणित मंजरी अध्याय 1 अंतिम प्रश्नावली में दिए गए प्रश्नों के समाधान

उत्तर:
x-अक्ष और y-अक्ष मूलबिंदु पर एक-दूसरे को काटते हैं।

अतः:

• x-निर्देशांक = 0
• y-निर्देशांक = 0

इसलिए, प्रतिच्छेदन बिंदु (0, 0) है।

उत्तर:
यदि बिंदु W का x-निर्देशांक –5 है, तो W से होकर y-अक्ष के समानांतर जाने वाली किसी भी रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु का x-निर्देशांक भी –5 ही होगा।
अतः H के निर्देशांक इस रूप में होंगे:
H = (–5, y), जहाँ y कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है।
अब y के मान के अनुसार:

• यदि y > 0, तो H द्वितीय (II) चतुर्थांश में होगा।
• यदि y < 0, तो H तृतीय (III) चतुर्थांश में होगा।
• यदि y = 0, तो H x-अक्ष पर होगा।

अतः H द्वितीय चतुर्थांश, तृतीय चतुर्थांश या x-अक्ष पर स्थित हो सकता है।

(i) RAMP की दो भुजाएँ जो परस्पर लंबवत हैं।
उत्तर:
आइए देखें:
AM बिंदु A(0, –2) से M(–5, –2) को जोड़ता है, इसलिए यह क्षैतिज रेखा है।
MP बिंदु M(–5, –2) से P(–5, 2) को जोड़ता है, इसलिए यह ऊर्ध्वाधर रेखा है।
एक क्षैतिज और एक ऊर्ध्वाधर रेखा आपस में लम्बवत होती हैं।
अतः: AM ⟂ MP
इसलिए लम्बवत भुजाएँ AM और MP हैं।

(ii) RAMP की वह भुजा जो किसी एक अक्ष के समानांतर है।
उत्तर:
AM भुजा x-अक्ष के समानांतर है क्योंकि A और M दोनों के y-निर्देशांक (–2) समान हैं।
MP भुजा y-अक्ष के समानांतर है क्योंकि M और P दोनों के x-निर्देशांक (–5) समान हैं।
अतः किसी एक अक्ष के समानांतर भुजा हैं:
AM (x-अक्ष के समानांतर) या MP (y-अक्ष के समानांतर)।

(iii) दो बिंदु जो एक अक्ष में एक-दूसरे के दर्पण प्रतिबिंब हैं। यह अक्ष कौन-सा होगा? अब बिंदुओं को अंकित कीजिए और अपने अनुमान को सत्यापित कीजिए।
उत्तर:
M(–5, –2) और P(–5, 2) की तुलना करने पर:
इन दोनों के x-निर्देशांक समान हैं।
इनके y-निर्देशांक समान परिमाण के हैं लेकिन चिन्ह विपरीत हैं।
अतः ये दोनों बिंदु x-अक्ष के सापेक्ष एक-दूसरे के प्रतिबिंब हैं।
इसलिए बिंदु M और P एक-दूसरे के प्रतिबिंब हैं।
यह प्रतिबिंब x-अक्ष के सापेक्ष है।

टिप्पणी: आपके उत्तरों में अंतर हो सकता है
उत्तर:
बिंदु Z = (5, –6) है।

समकोण त्रिभुज बनाने के लिए हम लेते हैं:
I = (5, 0) (x-अक्ष पर)
N = (0, –6) (y-अक्ष पर)

क्या त्रिभुज IZN एक समकोण त्रिभुज है? आएये जांच करते हैं:
IZ ऊर्ध्वाधर है और
ZN क्षैतिज है
इसलिए त्रिभुज IZN में समकोण Z पर बनता है।

बिन्दुओं के निर्देशांक:
I = (5, 0)
Z = (5, –6)
N = (0, –6)

अब, भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं:
1. IZ:
बिंदुओ (5, 0) और (5, –6) के बीच की दूरी
= 0 – (–6) = 6 इकाई
2. ZN:
बिंदुओं (5, –6) और (0, –6) के बीच की दूरी
= 5 – 0 = 5 इकाई
3. IN:
दूरी सूत्र के प्रयोग से:
IN = √[(5 – 0)² + (0 – (–6))²]
= √(5² + 6²)
= √(25 + 36)
= √61 इकाई

अतः, एक संभव समकोण त्रिभुज निम्न बिंदुओं द्वारा बनता है:
I = (5, 0)
Z = (5, –6)
N = (0, –6)

भुजाओं की लंबाई:
IZ = 6 इकाई
ZN = 5 इकाई
IN = √61 इकाई

उत्तर:
यदि हमारे पास ऋणात्मक संख्याएँ न होतीं, तो निर्देशांक केवल शून्य या धनात्मक ही हो सकते थे।
इसलिए:

• x-अक्ष पर हम केवल मूल बिंदु के दाईं ओर के बिंदुओं को ही दर्शा सकते।
• y-अक्ष पर हम केवल मूल बिंदु के ऊपर के बिंदुओं को ही दर्शा सकते।

इसका अर्थ है कि हम केवल निम्न स्थानों पर स्थित बिंदुओं का निर्धारण कर पाते:

प्रथम चतुर्थांश

• x-अक्ष का धनात्मक भाग
• y-अक्ष का धनात्मक भाग
• तथा मूल बिंदु

हम निम्न बिंदुओं का निर्धारण नहीं कर पाते:

• द्वितीय चतुर्थांश के बिंदु
• तृतीय चतुर्थांश के बिंदु
• चतुर्थ चतुर्थांश के बिंदु
• अक्षों के ऋणात्मक भागों के बिंदु

अतः, ऐसी निर्देशांक प्रणाली हमें द्वि-आयामी तल (2-D plane) के सभी बिंदुओं का स्थान निर्धारित करने की अनुमति नहीं देती।

उत्तर:
बिंदुओं M (–3, –4), A (0, 0) और G (6, 8) के एक ही सीधी रेखा पर स्थित होने की जाँच, दूरी सूत्र का उपयोग करके कर सकते हैं: d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]

MA = √[(0 + 3)² + (0 + 4)²]
= √(3² + 4²)
= √(9 + 16) = √25 = 5

AG = √[(6 − 0)² + (8 − 0)²]
= √(36 + 64)
= √100 = 10

MG = √[(6 + 3)² + (8 + 4)²]
= √(9² + 12²)
= √(81 + 144)
= √225 = 15

यहाँ: MA + AG = 5 + 10 = 15 = MG
चूँकि दो दूरियों का योग तीसरी दूरी के बराबर है, इसलिए बिंदु M, A और G एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं।

अब दोनों बिंदु-समूहों को आरेखित कीजिए और अपने उत्तरों की जाँच कीजिए।
उत्तर:
बिंदुओं R (–5, –1), B (–2, –5) और C (4, –12) के एक ही सीधी रेखा पर स्थित होने की जाँच दूरी सूत्र का उपयोग करके करने के लिए:: d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]

RB = √[(–2 + 5)² + (–5 + 1)²]
= √(3² + (–4)²)
= √(9 + 16) = √25 = 5

BC = √[(4 + 2)² + (–12 + 5)²]
= √(6² + (–7)²)
= √(36 + 49) = √85

RC = √[(4 + 5)² + (–12 + 1)²]
= √(9² + (–11)²)
= √(81 + 121) = √202

यहाँ: RB + BC = 5 + √85 ≠ √202
चूँकि दो दूरियों का योग तीसरी दूरी के बराबर नहीं है, इसलिए बिंदु R, B और C एक ही सीधी रेखा पर स्थित नहीं हैं।

(i) एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज।
उत्तर:
त्रिभुज OAB के शीर्षों का एक संभावित समूह है:
O = (0, 0)
A = (4, 0)
B = (0, 4)

क्योंकि:
OA = 4 इकाई
OB = 4 इकाई
OA, OB पर लंबवत है

अतः त्रिभुज OAB एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है।

(ii) एक ऐसा समद्विबाहु त्रिभुज जिसका एक शीर्ष तृतीय चतुर्थांश में और अन्य शीर्ष चतुर्थ चतुर्थांश में हो।
उत्तर:
शीर्षों का एक संभावित समूह है:
O = (0, 0), P = (–3, –4), Q = (3, –4)

व्याख्या:
P तृतीय चतुर्थांश में स्थित है।
Q चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित है।
OP = OQ = 5 इकाई

अतः त्रिभुज OPQ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

जब M, ST का मध्यबिंदु हो तो क्या आप M, S और T के निर्देशांकों के मध्य किसी संबंध का पता लगा सकते हैं?
उत्तर:

दूरी सूत्र का उपयोग करके: d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]

(i) पंक्ति 1: S(−3, 0), M(0, 0), T(3, 0)
SM = √[(0−(−3))² + (0−0)²] = √[9 + 0] = 3
MT = √[(3−0)² + (0−0)²] = √[9 + 0] = 3
SM = MT = 3
हाँ, M मध्यबिंदु है।

(ii) पंक्ति 2: S(2, 3), M(3, 4), T(4, 5)
SM = √[(3−2)² + (4−3)²] = √[1 + 1] = √2
MT = √[(4−3)² + (5−4)²] = √[1 + 1] = √2
SM = MT = √2
हाँ, M मध्यबिंदु है।

(iii) पंक्ति 3: S(0, 0), M(0, 5), T(0, −10)
SM = √[(0−0)² + (5−0)²] = √[0 + 25] = 5
MT = √[(0−0)² + (−10−5)²] = √[0 + 225] = 15
SM ≠ MT (5 ≠ 15)
नहीं, M मध्यबिंदु नहीं है।

(iv) पंक्ति 4: S(−8, 7), M(0, −2), T(6, −3)
SM = √[(0−(−8))² + (−2−7)²] = √[64 + 81] = √145
MT = √[(6−0)² + (−3−(−2))²] = √[36 + 1] = √37
SM ≠ MT (√145 ≠ √37)
नहीं, M मध्यबिंदु नहीं है।

दिया गया है: M (–7, 1), A (3, –4) और B (x, y) का मध्यबिंदु है।
अतः, दूरी सूत्र की अवधारणा के अनुसार, बिंदु M, A और B से समान दूरी पर होगा।

दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए:
AM = √[(–7 − 3)² + (1 − (–4))²]
= √[(–10)² + (5)²]
= √(100 + 25)
= √125

अब, MB = √[(x + 7)² + (y − 1)²]

चूँकि दूरी AM = दूरी MB
अतः, √[(x + 7)² + (y − 1)²] = √125

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
(x + 7)² + (y − 1)² = 125 …(1)

साथ ही, क्योंकि M मध्यबिंदु है, यह A और B के बीच स्थित होता है, इसलिए B के निर्देशांक ऐसे होंगे कि M, AB को दो बराबर भागों में विभाजित करता है। सममिति (या निर्देशांकों के संतुलन) के आधार पर:

x-निर्देशांक के लिए:
A से M तक दूरी = –7 − 3 = –10
तो M से B तक दूरी भी –10 होगी
x = –7 − 10 = –17

y-निर्देशांक के लिए:
A से M तक दूरी = 1 − (–4) = 5
तो M से B तक दूरी भी 5 होगी
y = 1 + 5 = 6

अतः, B के निर्देशांक = (–17, 6)

एक अन्य विधि:
दिया गया:
A = (3, –4)
B = (x, y)
M = (–7, 1)

हम मध्यबिंदु सूत्र का उपयोग करते हैं:
मध्यबिंदु M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)

अतः, (3 + x)/2 = –7
⇒ 3 + x = –14
⇒ x = –17

और (–4 + y)/2 = 1
⇒ –4 + y = 2
⇒ y = 6

अतः, B के निर्देशांक: B = (–17, 6)

किसी रेखाखंड के मध्यबिंदु के निर्देशांकों को ज्ञात करने के अपने ज्ञान का उपयोग करते हुए P और Q के निर्देशांकों को आप कैसे ज्ञात करेंगे? इस विधि को उपयोग कीजिए, जब बिंदु A (4, 7) और B (16, –2) हैं।
उत्तर:
रेखाखंड AB का त्रिभाजन करने पर, P और Q इस खंड को 3 बराबर भागों में विभाजित करते हैं।

दिया गया है: A (4, 7), B (16, –2)
मान लीजिए P (x₁, y₁) और Q (x₂, y₂) हैं।

यहाँ, P, A और Q का मध्यबिंदु है, इसलिए
x₁ = (4 + x₂)/2 …(1)
y₁ = (7 + y₂)/2 …(2)

और Q, P और B का मध्यबिंदु है, इसलिए
x₂ = (x₁ + 16)/2 …(3)
y₂ = (y₁ − 2)/2 …(4)

अब x-निर्देशांकों के लिए हल करते हैं:
(1) से: x₁ = (4 + x₂)/2
और (3) से: x₂ = (x₁ + 16)/2

(1) को (3) में रखने पर:
x₂ = ((4 + x₂)/2 + 16)/2
= (4 + x₂ + 32)/4
= (x₂ + 36)/4

अतः, 4x₂ = x₂ + 36
⇒ 3x₂ = 36
⇒ x₂ = 12

अब (1) से: x₁ = (4 + 12)/2 = 8

अब y-निर्देशांकों के लिए:
(2) से: y₁ = (7 + y₂)/2
और (4) से: y₂ = (y₁ − 2)/2

(2) को (4) में रखने पर:
y₂ = ((7 + y₂)/2 − 2)/2
= (7 + y₂ − 4)/4
= (y₂ + 3)/4

अतः, 4y₂ = y₂ + 3
⇒ 3y₂ = 3
⇒ y₂ = 1

अब (2) से: y₁ = (7 + 1)/2 = 4

अतः, P = (8, 4) और Q = (12, 1)।

उत्तर:
दूरी OA:
= √(1² + (–8)²)
= √(1 + 64)
= √65

दूरी OB:
= √((–4)² + 7²)
= √(16 + 49)
= √65

दूरी OC:
= √((–7)² + (–4)²)
= √(49 + 16)
= √65

चूँकि तीनों बिंदु मूल बिंदु से समान दूरी पर हैं, इसलिए वे (0, 0) केंद्र वाले एक वृत्त पर स्थित हैं।
त्रिज्या = √65

अतः बिंदु A, B और C, केंद्र (0, 0) और त्रिज्या √65 वाले वृत्त K पर स्थित हैं।

उत्तर:
दूरी OD:
= √((–5)² + 6²)
= √(25 + 36)
= √61

दूरी OE:
= √(0² + 9²)
= 9

त्रिज्या √65 ≈ 8.06 से तुलना करें:

√61 ≈ 7.81 < √65 → D वृत्त के भीतर स्थित है 9 > √65 → E वृत्त के बाहर स्थित है

अतः,
D वृत्त के भीतर है।
E वृत्त के बाहर है।

उत्तर:
मान लीजिए त्रिभुज ABC के शीर्ष A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) और C(x₃, y₃) हैं।
दिए गए मध्यबिंदु हैं: D(5, 1), E(6, 5), F(0, 3)।

D, BC का मध्यबिंदु है, अतः मध्यबिंदु सूत्र के अनुसार:
x₂ + x₃ = 10 …(1)
y₂ + y₃ = 2 …(2)

E, CA का मध्यबिंदु है, अतः:
x₃ + x₁ = 12 …(3)
y₃ + y₁ = 10 …(4)

F, AB का मध्यबिंदु है, अतः:
x₁ + x₂ = 0 …(5)
y₁ + y₂ = 6 …(6)

अब x-निर्देशांकों के लिए हल करते हैं, (5) से:
x₂ = –x₁

इसे (1) में रखने पर: –x₁ + x₃ = 10
⇒ x₃ = 10 + x₁ …(7)

अब (3) में रखने पर: (10 + x₁) + x₁ = 12
⇒ 2x₁ + 10 = 12
⇒ 2x₁ = 2
⇒ x₁ = 1

तब: x₂ = –1
⇒ x₃ = 10 + 1 = 11

अब y-निर्देशांकों के लिए, (6) से:
y₂ = 6 – y₁

इसे (2) में रखने पर: (6 – y₁) + y₃ = 2
⇒ y₃ = y₁ – 4 …(8)

अब (4) में रखने पर: (y₁ – 4) + y₁ = 10
⇒ 2y₁ – 4 = 10
⇒ 2y₁ = 14
⇒ y₁ = 7

तब: y₂ = 6 – 7 = –1
⇒ y₃ = 7 – 4 = 3

अतः बिंदुओं के निर्देशांक हैं:
A (1, 7), B (–1, –1) और C (11, 3)।

शहर की अन्य सभी गलियाँ इन्हीं सड़कों के समानांतर हैं और एक-दूसरे से 200 मी. की दूरी पर स्थित हैं। प्रत्येक दिशा में 10 गलियाँ हैं।
(i) 1 से.मी. = 200 मी. पैमाने का उपयोग करते हुए, अपनी अभ्यास-पुस्तिका में शहर का एक प्रतिरूप बनाइए। सड़कों को एकल रेखाओं द्वारा प्रस्तुत कीजिए।
उत्तर:
शहर का प्रतिरूप बनाना:
चूँकि पैमाना 1 सेमी = 200 मीटर है,
इसलिए प्रत्येक दो गलियों के बीच की दूरी 200 मीटर है।
दिया गया है कि:
उत्तर–दक्षिण (N–S) दिशा में 10 गलियाँ हैं
पूर्व–पश्चिम (E–W) दिशा में 10 गलियाँ हैं

अतः, प्रतिरूप निम्नलिखित प्रकार से होगा:
10 ऊर्ध्वाधर समानांतर रेखाएँ (N–S गलियों के लिए)
10 क्षैतिज समानांतर रेखाएँ (E–W गलियों के लिए)
प्रत्येक लगातार रेखा के बीच 1 सेमी का अंतर होगा, जिससे एक वर्गाकार ग्रिड बनेगा।

(ii) प्रदर्श में गलियों के प्रतिच्छेदन हैं। प्रत्येक गली प्रतिच्छेदन दो गलियों द्वारा बना है जिसमें एक गली उत्तर-दक्षिण दिशा और दूसरी गली पूर्व-पश्चिम दिशा की ओर जा रही है। प्रत्येक गली प्रतिच्छेदन की व्याख्या निम्नलिखित रूप में की गई है –
यदि उत्तर-दक्षिण दिशा में जाने वाली दूसरी गली और पूर्व-पश्चिम दिशा में जाने वाली पाँचवीं गली किसी स्थान पर प्रतिच्छेद करती हैं तो हम इस गली प्रतिच्छेदन को (2, 5) कहेंगे। इस पद्धति का उपयोग करते हुए ज्ञात कीजिए –
(a) गलियों के कितने प्रतिच्छेदनों को (4, 3) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है?
(b) गलियों के कितने प्रतिच्छेदनों को (3, 4) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है?
उत्तर:
एक चौराहे को इस प्रकार नाम दिया जाता है:
(पहली संख्या, दूसरी संख्या)
= (N–S गली संख्या, E–W गली संख्या)
अतः:
(4, 3) का अर्थ है 4वीं N–S गली और 3वीं E–W गली का चौराहा।
(3, 4) का अर्थ है 3वीं N–S गली और 4वीं E–W गली का चौराहा।
अब, एक N–S गली और एक E–W गली केवल एक ही बिंदु पर मिल सकती हैं।
अतः:
(a) केवल एक चौराहा (4, 3) बन सकता है।
(b) केवल एक ही चौराहा (3, 4) बन सकता है।

दृश्यपटल की चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 800 पिक्सेल और 600 पिक्सेल है। 80 पिक्सेल त्रिज्या वाला एक वृत्ताकार प्रतीक (आइकन), बिंदु A (100, 150) को केंद्रित करके बनाया गया है। 100 पिक्सेल त्रिज्या वाला एक अन्य वृत्ताकार प्रतीक बिंदु B (250, 230) को केंद्रित करके बनाया गया है। पता लगाइए—
(i) क्या किसी भी वृत्त का कोई भाग दृश्यपटल (स्क्रीन) से बाहर स्थित है?
(ii) क्या दोनों वृत्त एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं?
उत्तर:
(i) नहीं। दोनों वृत्त पूरी तरह स्क्रीन के अंदर स्थित हैं।
(ii) हाँ। दोनों वृत्त एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं, जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है।

उत्तर:
हाँ, ABCD एक वर्ग है।

हम इसे भुजाओं और विकर्णों की लंबाई ज्ञात करके जाँच सकते हैं।

सभी भुजाओं की लंबाई ज्ञात करना:
AB = √[(–1 − 2)² + (2 − 1)²]
= √[(–3)² + 1²]
= √(9 + 1)
= √10

BC = √[(–2 − (–1))² + (–1 − 2)²]
= √[(–1)² + (–3)²]
= √(1 + 9)
= √10

CD = √[(1 − (–2))² + (–2 − (–1))²]
= √[3² + (–1)²]
= √(9 + 1)
= √10

DA = √[(2 − 1)² + (1 − (–2))²]
= √[1² + 3²]
= √(1 + 9)
= √10
यहाँ, चारों भुजाएँ समान हैं।

अब विकर्णों की लंबाई ज्ञात करना:
AC = √[(–2 − 2)² + (–1 − 1)²]
= √[(–4)² + (–2)²]
= √(16 + 4)
= √20

BD = √[(1 − (–1))² + (–2 − 2)²]
= √[2² + (–4)²]
= √(4 + 16)
= √20

इसप्रकार, विकर्ण भी समान हैं।
चूँकि सभी भुजाएँ समान हैं और विकर्ण भी समान हैं, इसलिए ABCD एक वर्ग है।

ABCD का क्षेत्रफल = (भुजा)²
= (√10)²
= 10 वर्ग इकाई।