एनसीईआरटी समाधान कक्षा 8 गणित प्रकाश अध्याय 2 घातों का खेल
सत्र 2026-27 के लिए कक्षा 8 एनसीईआरटी गणित प्रकाश का अध्याय 2 — घातों का खेल — संख्याओं की दुनिया को एक बिल्कुल नए नजरिए से देखना सिखाता है। एक साधारण सा सवाल — “यदि कागज को 46 बार मोड़ा जाए तो उसकी मोटाई चंद्रमा तक पहुँच सकती है?” — इस अध्याय की पूरी यात्रा का आधार है।
इस अध्याय में विद्यार्थी घातांकीय संकेतन, घातांक की संक्रियाएँ, शून्य घात, ऋणात्मक घात और वैज्ञानिक संकेतन जैसी अवधारणाएँ सीखते हैं — वह भी कागज मोड़ने, जादुई तालाब और तिजोरी के गुप्त संकेत जैसी रोचक गतिविधियों के माध्यम से। एनईपी 2020 आधारित इस नई पुस्तक में अध्याय रटने के लिए नहीं बल्कि सोचने और खोजने के लिए है।
सीबीएसई परीक्षा 2026-27, गणित ओलंपियाड और आगे की कक्षाओं — तीनों के लिए यह अध्याय बेहद जरूरी है। तिवारी अकादमी पर सभी समाधान हिंदी में निशुल्क उपलब्ध हैं।
कक्षा 8 एनसीईआरटी गणित प्रकाश अध्याय 2 के समाधान
पेज 23 के प्रश्न उत्तर
1. निम्नलिखित को घातांकीय रूप में व्यक्त कीजिए।
(i) 6 × 6 × 6 × 6
(ii) y × y
(iii) b × b × b × b
(iv) 5 × 5 × 7 × 7 × 7
(v) 2 × 2 × a × a
(vi) a × a × a × c × c × c × c × d
उत्तर:
(i) 6⁴
(ii) y²
(iii) b⁴
(iv) 5² × 7³
(v) 2² × a²
(vi) a³ × c⁴ × d
2. नीचे दी गई संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड कीजिए तथा इन्हें चरघातांकीय रूप में व्यक्त कीजिए।
(i) 648
(ii) 405
(iii) 540
(iv) 3600
उत्तर:
(i) 648
= 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
= 2³ × 3³
(ii) 405
= 3 × 3 × 3 × 3 × 5
= 3⁴ × 5
(iii) 540
= 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5
= 2² × 3³ × 5
(iv) 3600
= 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5
= 2⁴ × 3² × 5²
3. नीचे दिए गए प्रत्येक व्यंजकों का संख्यात्मक मान लिखिए।
(i) 2 × 10³
(ii) 7² × 2³
(iii) 3 × 4⁴
(iv) (–3)² × (–5)²
(v) 3² × 10⁴
(vi) (–2)⁵ × (–10)⁶
उत्तर:
(i) 2 × 10³
= 2 × 1000
= 2000
(ii) 7² × 2³
= 49 × 8
= 392
(iii) 3 × 4⁴
= 3 × 256
= 768
(iv) (–3)² × (–5)²
= 9 × 25
= 225
(v) 3² × 10⁴
= 9 × 10000
= 90000
(vi) (–2)⁵ × (–10)⁶
= (–32) × 1000000
= –32000000
पेज 44 के प्रश्न उत्तर – आइए, पता लगाएँ
1. 2²²⁴ ÷ 4³² के मान में इकाई अंक को ज्ञात कीजिए। [संकेत — 4 = 2²]
उत्तर:
4³² = (2²)³² = 2⁶⁴
अतः,
2²²⁴ ÷ 4³² = 2²²⁴ ÷ 2⁶⁴ = 2^(224−64) = 2¹⁶⁰
2 की घातों के इकाई अंक का क्रम: 2, 4, 8, 6 (हर 4 के बाद दोहराता है)
160 ÷ 4 = 40 (शेष 0)
अतः इकाई अंक = 6
2. एक बक्से में 5 बोतलें हैं। प्रत्येक दिन एक नया बक्सा लाया जाता है। 40 दिन के पश्चात वहाँ कितनी बोतलें होंगी?
उत्तर:
1 बक्से में बोतलें = 5
40 दिनों में कुल बक्से = 40
कुल बोतलें = 40 × 5 = 200
3. नीचे दी गई संख्या को दो या दो से अधिक घातों के गुणनफल के रूप में तीन भिन्न-भिन्न प्रकारों से लिखिए। घातें कोई भी पूर्णांक हो सकती हैं।
(i) 64³
(ii) 192⁸
(iii) 32⁻⁵
उत्तर:
64 = 2⁶
64³ = (2⁶)³ = 2¹⁸
तीन प्रकार:
1. 2¹⁰ × 2⁸
2. 2¹² × 2⁶
3. 2⁹ × 2⁹
(ii) 192 = 64 × 3 = 2⁶ × 3
192⁸ = (2⁶ × 3)⁸
= 2⁴⁸ × 3⁸
तीन प्रकार:
1. 2⁴⁸ × 3⁸
2. (2²⁴ × 3⁴)²
3. (2¹² × 3²)⁴
(iii) 32 = 2⁵
32⁻⁵ = (2⁵)⁻⁵ = 2⁻²⁵
तीन प्रकार:
1. 2⁻¹⁰ × 2⁻¹⁵
2. (2⁻⁵)⁵
3. (2⁻¹)²⁵
4. नीचे दिए गए प्रत्येक कथन की जाँच कीजिए और पता लगाइए कि यह सदैव सत्य है,
‘कभी-कभी सत्य है’ या ‘कभी सत्य नहीं है’। अपने तर्क की व्याख्या कीजिए।
(i) घन संख्याएँ भी वर्ग संख्याएँ होती हैं।
(ii) चतुर्थ घात वर्ग संख्याएँ भी होती हैं।
(iii) किसी संख्या की पाँचवीं घात उस संख्या के घन से विभाज्य होती है।
(iv) दो घन संख्याओं का गुणनफल एक घन संख्या होती है।
(v) q⁴⁶ एक चतुर्थ घात और एक छठी घात दोनों है (q एक अभाज्य संख्या है)।
उत्तर:
(i) कभी-कभी सत्य
उदाहरण: 64 = 4³ = 8²
(ii) सदैव सत्य
क्योंकि a⁴ = (a²)²
(iii) सदैव सत्य
क्योंकि a⁵ = a³ × a²
(iv) सदैव सत्य
क्योंकि a³ × b³ = (ab)³
(v) कभी सत्य नहीं
क्योंकि 46 न तो 4 से विभाजित है और न 6 से।
5. इन्हें सरल कीजिए और घातांकीय रूप में लिखिए।
(i) 10⁻² × 10⁻⁵
(ii) 5⁷ ÷ 5⁴
(iii) 9⁻⁷ ÷ 9⁴
(iv) (13⁻²)⁻³
(v) m⁵ n¹² (mn)⁹
उत्तर:
(i) 10⁻² × 10⁻⁵
= 10^(−2 − 5)
= 10⁻⁷
(ii) 5⁷ ÷ 5⁴
= 5^(7 − 4)
= 5³
(iii) 9⁻⁷ ÷ 9⁴
= 9^(−7 − 4)
= 9⁻¹¹
(iv) (13⁻²)⁻³
= 13^(−2 × −3)
= 13⁶
(v) m⁵ n¹² (mn)⁹
= m⁵ n¹² × m⁹ n⁹
= m^(5+9) n^(12+9)
= m¹⁴ n²¹
6. यदि 12² = 144 तो निम्न का मान क्या है?
(i) (1.2)²
(ii) (0.12)²
(iii) (0.012)²
(iv) 120²
उत्तर:
(i) (1.2)²
= (12/10)²
= 144/100
= 1.44
(ii) (0.12)²
= (12/100)²
= 144/10000
= 0.0144
(iii) (0.012)²
= (12/1000)²
= 144/1000000
= 0.000144
(iv) 120²
= (12 × 10)²
= 144 × 100
= 14400
7. समान संख्याओं पर घेरा लगाइए।
2⁴ × 3⁶
6⁴ × 3²
18² × 6²
18² × 6²
6²⁴
उत्तर:
2⁴ × 3⁶
= 16 × 729 = 11664
6⁴ × 3²
= 1296 × 9 = 11664
6¹⁰
= 60466176
18² × 6²
= 324 × 36 = 11664
6²⁴ (बहुत बड़ी संख्या)
अतः समान संख्याएँ:
2⁴ × 3⁶
6⁴ × 3²
18² × 6²
8. निम्नलिखित विकल्पों में से प्रत्येक बड़ी संख्या को पहचानिए।
(i) 4³ या 3⁴
(ii) 2⁸ या 8²
(iii) 100² या 2¹⁰⁰
उत्तर:
(i) 4³ या 3⁴
4³ = 64
3⁴ = 81
बड़ी संख्या = 3⁴
(ii) 2⁸ या 8²
2⁸ = 256
8² = 64
बड़ी संख्या = 2⁸
(iii) 100² या 2¹⁰⁰
100² = 10000
2¹⁰⁰ बहुत बड़ी संख्या है।
बड़ी संख्या = 2¹⁰⁰
9. एक डेयरी एक वर्ष में दूध के 8.5 अरब पैकेट के उत्पादन की योजना बनाती है। वह प्रत्येक पैकेट पर एक विशिष्ट पहचान कोड (आई.डी.) दर्शाना चाहती है। यदि वह इसके लिए 0 से 9 तक के अंकों का उपयोग करती है तो बताइए कि कोड कितने अंकों का होना चाहिए?
उत्तर:
8.5 अरब = 8.5 × 10⁹
9 अंकों से बनने वाले कोड = 10⁹
परन्तु 8.5 × 10⁹ > 10⁹
अतः 9 अंक पर्याप्त नहीं हैं।
10 अंकों से बनने वाले कोड = 10¹⁰
अतः कोड में कम से कम 10 अंक होने चाहिए।
10. 64 एक वर्ग संख्या (8²) और एक घन संख्या (4³) है। क्या ऐसी और भी संख्याएँ हैं जो वर्ग और घन दोनों हों? क्या ऐसी संख्याओं को ज्ञात करने की कोई सामान्य विधि है?
उत्तर:
हाँ, ऐसी संख्याएँ होती हैं जो वर्ग और घन दोनों होती हैं।
ऐसी संख्याएँ वास्तव में छठी घात होती हैं।
क्योंकि:
n⁶ = (n³)² = (n²)³
उदाहरण:
1, 64, 729, 4096, …
अतः सामान्य रूप = n⁶
11. एक डिजिटल लॉकर का 5 अक्षरांकीय (एल्फान्यूमेरिक) वाला (इसमें अंक एवं अक्षर दोनों हो सकते हैं) गुप्त संकेत है, जिसकी लंबाई 5 है। गुप्त संकेत (पासकोड) के कुछ उदाहरण G89PO, 38098, BRJKW और 003AZ हैं। इस प्रकार के कितने गुप्त संकेत संभव हैं?
उत्तर:
पासकोड की लंबाई = 5
प्रत्येक स्थान पर 26 अंग्रेज़ी अक्षर (A से Z) और 10 अंक (0 से 9) आ सकते हैं।
अतः प्रत्येक स्थान के लिए कुल विकल्प = 26 + 10 = 36
इसलिए 5 स्थानों के लिए कुल गुप्त संकेतों की संख्या
= 36 × 36 × 36 × 36 × 36
= 36⁵
= 60,466,176
12. वर्ष 2024 में संपूर्ण विश्व में भेड़ों की संख्या लगभग 10⁹ थी और बकरियों की संख्या भी लगभग भेड़ों के समान ही थी। बताइए कि भेड़ों और बकरियों की कुल संख्या कितनी है?
(i) 20⁹
(ii) 10¹¹
(iii) 10¹⁰
(iv) 10¹⁸
(v) 2 × 10⁹
(vi) 10⁹ + 10⁹
उत्तर:
भेड़ों की संख्या = 10⁹
बकरियों की संख्या = 10⁹
कुल संख्या = 10⁹ + 10⁹
= 2 × 10⁹
अतः सही विकल्प हैं:
(v) 2 × 10⁹
(vi) 10⁹ + 10⁹
13. गणना कीजिए और अपने उत्तर को वैज्ञानिक संकेतन में लिखिए।
(i) यदि विश्व में प्रत्येक व्यक्ति के पास 30 वस्त्र हों तो वस्त्रों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए।
(ii) विश्व में लगभग 100 मिलियन मधुमक्खियों के छत्ते हैं। यदि प्रत्येक छत्ते में 50,000 मधुमक्खियाँ हों, तो मधुमक्खियों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए।
(iii) मानव शरीर में लगभग 38 ट्रिलियन (380 खरब) जीवाणु कोशिकाएँ होती हैं।
(iv) संपूर्ण जीवनकाल में खाने में व्यतीत किया गया कुल समय सेकंडों में ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
(i) विश्व की जनसंख्या लगभग 8 × 10⁹ मानी जा सकती है।
प्रत्येक व्यक्ति के पास वस्त्र = 30 = 3 × 10¹
अतः कुल वस्त्र
= (8 × 10⁹) × (3 × 10¹)
= 24 × 10¹⁰
= 2.4 × 10¹¹
(ii) 100 मिलियन = 100,000,000 = 10⁸
प्रत्येक छत्ते में मधुमक्खियाँ = 50,000 = 5 × 10⁴
अतः कुल मधुमक्खियाँ
= 10⁸ × 5 × 10⁴
= 5 × 10¹²
(iii) एक मानव शरीर में जीवाणु कोशिकाएँ
= 38 ट्रिलियन
= 38 × 10¹²
= 3.8 × 10¹³
विश्व की जनसंख्या लगभग = 8 × 10⁹
अतः कुल जीवाणु कोशिकाएँ
= (3.8 × 10¹³) × (8 × 10⁹)
= 30.4 × 10²²
= 3.04 × 10²³
(iv) मान लेते हैं कि एक व्यक्ति प्रतिदिन लगभग 1 घंटा भोजन में व्यतीत करता है।
और औसत जीवनकाल = 75 वर्ष
1 दिन = 3600 सेकंड
एक वर्ष में भोजन का समय
= 365 × 3600
= 1,314,000 सेकंड
= 1.314 × 10⁶ सेकंड
75 वर्षों में कुल समय
= 75 × 1.314 × 10⁶
= 98.55 × 10⁶
= 9.855 × 10⁷ सेकंड
14. आज से 1 बिलियन या 1 अरब सेकंड पूर्व क्या दिनांक थी?
उत्तर:
1 अरब सेकंड = 10⁹ सेकंड
1 दिन में सेकंड = 86,400
अतः दिनों की संख्या
= 10⁹ ÷ 86,400
≈ 11,574 दिन
11,574 दिन लगभग 31 वर्ष 251 दिन के बराबर होते हैं।
यदि आज की तिथि 16 मार्च 2026 मानी जाए,
तो 1 अरब सेकंड पहले की तिथि लगभग
= 8 जुलाई 1994
कक्षा 8 गणित प्रकाश अध्याय 2 – अक्सर पूंछे जाने वाले प्रश्न
कक्षा 8 ‘घातों का खेल’ अध्याय कठिन है या आसान – सत्र 2026-27 में इसे कैसे तैयार करें?
घातों का खेल अध्याय अवधारणा के स्तर पर सरल है लेकिन घातांक के नियमों में सावधानी जरूरी है। इसे तैयार करने का सबसे अच्छा तरीका यह है — पहले पुस्तक में दिए गए कागज मोड़ने और जादुई तालाब जैसे उदाहरणों को समझें, फिर घातांक के पाँचों नियम एक कागज पर लिखकर रख लें। “आइए पता लगाएँ” वाले सभी प्रश्न स्वयं हल करें। रोज़ाना 3-4 प्रश्नों का अभ्यास करने पर यह अध्याय 10-12 दिनों में पूरी तरह तैयार हो जाता है।
सीबीएसई परीक्षा 2026-27 में घातों का खेल से कितने नंबर के प्रश्न आएंगे और कौन-से विषय-बिन्दुओं से?
सीबीएसई कक्षा 8 की परीक्षा में इस अध्याय से आमतौर पर 8 से 12 अंकों के प्रश्न आते हैं। परीक्षा में सबसे अधिक जो आता है वह है – घातांक के नियमों से सरलीकरण, वैज्ञानिक संकेतन में संख्याएँ लिखना और ऋणात्मक व शून्य घात वाले प्रश्न। “आइए पता लगाएँ” के सभी प्रश्न परीक्षा की दृष्टि से अत्यंत महत्वपूर्ण हैं।
पुरानी एनसीईआरटी का घातांक और घात और नई गणित प्रकाश का घातों का खेल – दोनों में क्या बदला है?
पुरानी एनसीईआरटी पुस्तक में यह अध्याय सीधे परिभाषा, नियम और अभ्यास के रूप में था। नई गणित प्रकाश में वही तर्क कागज मोड़ना, जादुई तालाब, तिजोरी के गुप्त संकेत जैसी रोचक गतिविधियों के ज़रिए पढ़ाई जाती हैं। नई पुस्तक में “गणित चर्चा” और अनुमान लगाने पर जोर अधिक है। सिलेबस लगभग समान है लेकिन तरीका पूरी तरह बदल गई है।
अभिभावक घर पर बच्चे को ‘घातों का खेल’ अध्याय कैसे समझाएँ – क्या कोई आसान तरीका है?
घर पर समझाने का सबसे प्रभावी तरीका – एक कागज लें और बच्चे से बार-बार मोड़वाएँ, हर बार मोटाई दोगुनी होती है यह दिखाएँ। यह एक्टिविटी चरघातांकी वृद्धि की अवधारणा को स्वाभाविक रूप से समझा देती है। इसके बाद घातांक के नियमों की एक छोटी तालिका मिलकर बनाएँ और दीवार पर लगा दें। तिवारी अकादमी के हिंदी समाधान देखकर प्रत्येक प्रश्न का हल स्वयं लिखने का अभ्यास करवाएँ।
क्या घातों का खेल अध्याय कक्षा 9 और आगे की पढ़ाई में भी काम आता है?
बिल्कुल। यह अध्याय कक्षा 9 के वास्तविक संख्याएँ और घातांक, कक्षा 10 के द्विघात समीकरण, कक्षा 11-12 की भौतिकी और रसायन में बड़ी-छोटी संख्याओं की गणना — सभी में सीधे काम आता है। वैज्ञानिक संकेतन तो नीट, जेई और अन्य प्रतियोगी परीक्षाओं में भी अनिवार्य रूप से उपयोग होता है। इसे ध्यान से पढ़ना एक दीर्घकालिक निवेश है।
बच्चा घातांक के नियम बार-बार भूल जाता है – याद कराने और समझाने का क्या तरीका है?
घातांक के नियम भूलने का मुख्य कारण है — रटना, समझना नहीं। समाधान यह है कि हर नियम को एक छोटे उदाहरण से जोड़ें, जैसे 2³ × 2⁴ = 2⁷ को “3 आम + 4 आम = 7 आम” जैसी भाषा में समझाएँ। पाँचों नियमों को एक A4 कागज पर उदाहरण सहित लिखकर पढ़ाई की मेज पर रख दें। सात दिन तक रोज़ एक बार देखने पर ये स्वाभाविक रूप से याद हो जाते हैं।
सत्र 2026-27 में इस अध्याय के लिए तिवारी अकादमी के समाधान कितने भरोसेमंद हैं?
तिवारी अकादमी के समाधान एनसीईआरटी गणित प्रकाश 2026-27 के नवीनतम पाठ्यक्रम के अनुसार तैयार किए गए हैं। प्रत्येक प्रश्न को चरणबद्ध तरीके से हल किया गया है ताकि केवल उत्तर नहीं बल्कि पूरी विधि समझ में आए। ये समाधान हिंदी माध्यम में हैं, पूरी तरह निशुल्क हैं, और बिना लॉगिन के ऑनलाइन देखे जा सकते हैं।
कक्षा 8 घातों का खेल को पढ़ाते समय शिक्षक किन बिंदुओं पर विशेष ध्यान दें?
शिक्षकों के लिए तीन बिंदु सबसे महत्वपूर्ण हैं —
- पहला, कागज मोड़ने की गतिविधि से अध्याय शुरू करें क्योंकि यह चरघातांकी वृद्धि की अवधारणा को प्रयोगात्मक रूप से स्थापित करती है।
- दूसरा, nᵃ × nᵇ और (nᵃ)ᵇ के नियमों को अलग-अलग उदाहरणों से स्पष्ट करें क्योंकि यहीं सबसे अधिक भ्रम होता है।
- तीसरा, वैज्ञानिक संकेतन को वास्तविक जीवन के उदाहरणों — जैसे ग्रहों की दूरी और जीव-जंतुओं की संख्या — से जोड़कर पढ़ाएँ।
