एनसीईआरटी समाधान कक्षा 9 गणित प्रश्नावली 9.3
एनसीईआरटी समाधान कक्षा 9 गणित प्रश्नावली 9.3 वृत्त के हल हिंदी मीडियम में सीबीएसई सत्र 2024-25 के लिए छात्र यहाँ से निशुल्क प्राप्त कर सकते हैं। कक्षा 9 गणित की प्रश्नावली 9.3 के हल पीडीएफ और विडियो के माध्यम से समझाकर सरल भाषा में लिखे गए हैं। विद्यार्थी इसे आसानी से समझकर अपनी परीक्षा की तैयारी कर सकते हैं।
एनसीईआरटी समाधान कक्षा 9 गणित प्रश्नावली 9.3
कक्षा 9 गणित अध्याय 9 प्रश्नावली 9.3 के लिए एनसीईआरटी समाधान
समान जीवाएँ और उनकी केन्द्र से दूरियाँ
एक वृत्त में असंख्य जीवाएँ हो सकती हैं। आप एक वृत्त में जीवाएँ खींचकर जाँच कर सकते हैं कि लंबी जीवा, छोटी जीवा की तुलना में केन्द्र के निकट होती है। इसकी आप विभिन्न लम्बाई की कई जीवाएँ की खींचकर तथा उनकी केन्द्र से दूरियाँ मापकर जाँच कर सकते हैं। व्यास, जो वृत्त की सबसे बड़ी जीवा है, की केन्द्र से क्या दूरी है? क्योंकि केन्द्र इस पर स्थित है, अतः इसकी दूरी शून्य है।
नोट:
एक बिन्दु से एक रेखा पर लम्ब की लम्बाई रेखा की बिन्दु से दूरी होती है।
प्रमेय 9: एक वृत्त की (या सर्वांगसम वृत्तों की) बराबर जीवाएँ केन्द्र से (या केन्द्रों से) समान दूरी पर होती है।
क्या इसका विलोम सत्य है अथवा नहीं। इसके लिए केन्द्र O वाला एक वृत्त खींचिए। केन्द्र O से वृत्त के भीतर रहने वाले दो बराबर लम्बाई के रेखाखंड OL तथा OM खींचिए। अब क्रमशः दो जीवाएँ PQ और RS खींचिए जो OL और OM पर लम्ब हों। PQ और RS की लम्बाइयाँ मापिए। क्या ये असमान हैं? नहीं, दोनों बराबर हैं। इस प्रकार, प्रमेय का विलोम सत्यापित हो जाता है, जिसका कथन नीचे प्रमेय 9.5 में दिया गया है।
प्रमेय: एक वृत्त के केन्द्र से समदूरस्थ जीवाएँ लम्बाई में समान होती हैं।
उपर्युक्त परिणामों पर आधारित एक उदाहरण के माध्यम से समझते हैं।
उदाहरण:
यदि एक वृत्त की दो प्रतिच्छेदी जीवाएँ प्रतिच्छेद बिन्दु से जाने वाले व्यास से समान कोण बनाएँ, तो सिद्ध कीजिए कि वे जीवाएँ बराबर हैं।
हल:
दिया है कि एक वृत्त, जिसका केन्द्र O है, की दो जीवाएँ AB और CD बिन्दु E पर प्रतिच्छेद करती हैं। E से जाने वाला PQ एक ऐसा व्यास है कि
∠AEQ = ∠DEQ है।
आपको सिद्ध करना है कि AB = CD है। जीवाओं AB और CD पर क्रमशः OL तथा OM लम्ब खींचिए।
अब, ∠LOE = 180° – 90° – ∠LEO = 90° – ∠LEO (त्रिभुज के कोणों का गुण)
= 90° – ∠AEQ = 90° – ∠DEQ
= 90° – ∠MEO = ∠MOE
त्रिभुजों OLE तथा OME में,
∠LEO = ∠MEO (दिया है)
∠LOE = ∠MOE (ऊपर सिद्ध किया है)
EO = EO (उभयनिष्ठ हैं)
अतः ∆ OLE ≅ ∆ OME
इससे प्राप्त होता है OL = OM (CPCT)
इसलिए, AB = CD
स्मरणीय तथ्य
- एक वृत्त के केन्द्र (या सर्वांगसम वृत्तों के केन्द्रों) से समान दूरी पर स्थित जीवाएं बराबर होती हैं।
- यदि किसी वृत्त के दो चाप सर्वांगसम हों, तो उनकी संगत जीवाएँ बराबर होती हैं और विलोमतः यदि किसी वृत्त की दो जीवाएँ बराबर हों, तो उनके संगत चाप (लघु, दीर्घ) सर्वांगसम होते हैं।
- किसी वृत्त की सर्वांगसम चाप केन्द्र पर बराबर कोण अंतरित करते हैं।
- किसी चाप द्वारा केन्द्र पर अंतरित कोण उसके द्वारा वृत्त के शेष भाग के किसी बिन्दु पर अंतरित कोण का दुगुना होता है।
