एनसीईआरटी समाधान कक्षा 9 गणित प्रश्नावली 1.4

परिमेय संख्याएँ योग और गुणन के क्रमविनिमेय, साहचर्य और बंटन नियमों को संतुष्ट करती हैं और हम यह भी पढ़ चुके हैं कि यदि हम दो परिमेय संख्याओं को जोड़ें, घटाएँ, गुणा करें या (शून्य छोड़कर) भाग दें, तब भी हमें एक परिमेय संख्या प्राप्त होती है, अर्थात् जोड़, घटाना, गुणा और भाग के सापेक्ष परिमेय संख्याएँ संवृत होती हैं। यहाँ हम यह भी देखते हैं कि अपरिमेय संख्याएँ भी योग और गुणन के क्रमविनिमेय, साहचर्य और बंटन-नियमों को संतुष्ट करती हैं। परन्तु, अपरिमेय संख्याओं के योग, अंतर, भागफल और गुणनफल सदा अपरिमेय नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, (√2) – (√2), (3) × (3) और √17/√17 परिमेय संख्याएँ हैं।

आगे उदाहरण के माध्यम से यह जानने की कोशिश करते है कि जब एक परिमेय संख्या में अपरिमेय संख्या जोड़ते हैं और एक परिमेय संख्या को एक अपरिमेय संख्या से गुणा करते हैं, तो क्या होता है?

√5 = 2.236…., √2 = 1.4142…, π = 3.1415… हैं।
तब 7√5 = 15.652…, 7/√5 = 7√5/√5√5 = 7√5/5 = 3.1304… हैं।
√2 + 21 = 22.4142…, π – 2 = 1.1415…
ये सभी अनवसानी अनावर्ती दशमलव हैं। अतः ये सभी अपरिमेय संख्याएँ हैं।
उपरोक्त उदाहरण से आप निम्नलिखित तथ्यों के होने की आशा कर सकते हैं जो सत्य हैंः

• (i) एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का जोड़ या घटाना अपरिमेय होता है।
• (ii) एक अपरिमेय संख्या के साथ एक शून्येतर (दवद-्रमतव) परिमेय संख्या का गुणनफल या भागफल अपरिमेय होता है।
• (iii) यदि हम दो अपरिमेय संख्याओं को जोड़ें, घटायें, गुणा करें या एक अपरिमेय संख्या को दूसरी अपरिमेय संख्या से भाग दें, तो परिणाम परिमेय या अपरिमेय कुछ भी हो सकता है।

अब हम यहाँ वर्गमूलों से संबंधित कुछ सर्वसमिकाएँ दे रहे हैं जो विभिन्न विधियों से उपयोगी होती हैं। मान लीजिए a और b धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं। तब,

• (i) √ab = √a√b
• (ii) √(a/b) = √a/√b
• (iii) (√a + √b)( √a – √b) = a – b
• (iv) (a + √b)( a – √b) = a² – b
• (v) (√a + √b)( √c + √d) = √ac + √ad + √bc + √bd
• (vi) (√a + √b)² = a + 2√ab + b