एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित अध्याय 12 विविध प्रश्नावली

सीमा प्रक्रिया योग, व्यवकलन, गुणा और भाग का पालन करती है जब तक कि विचाराधीन फलन और सीमाएँ सुपरिभाषित हैं। यह संयोग नहीं है। वास्तव में, हम इनको बिना उपपत्ति के प्रमेय के रूप में औपचारिक रूप देते हैं।
प्रमेय:
मान लीजिए कि f और g दो फलन ऐसे हैं कि lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗 f(x) और lim┬(x→a)⁡〖g(x)〗 दोनों का अस्तित्व है। तब
(i) दो फलनों के योग की सीमा फलनों की सीमाओं का योग होता है, अर्थात्
lim┬(x→a)⁡〖[f(x)+g(x)]〗 = lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗 + lim┬(x→a)⁡〖g(x)〗
(ii) दो फलनों के अंतर की सीमा फलनों की सीमाओं का अंतर होता है, अर्थात्
lim┬(x→a)⁡〖[f(x)-g(x)]〗 = lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗- lim┬(x→a)⁡〖g(x)〗
(iii) दो फलनों के गुणन की सीमा फलनों की सीमाओं का गुणन होता है, अर्थात्
lim┬(x→a)⁡〖[f(x).g(x)]〗 = lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗 . lim┬(x→a)⁡〖g(x)〗
(iv) दो फलनों के भागफल की सीमा फलनों की सीमाओं का भागफल होता है, (जबकि हर शून्येतर होता है), अर्थात्
lim┬(x→a)⁡〖[f(x)/g(x)]〗 = lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗 / lim┬(x→a)⁡〖g(x)〗

n घात का एक फलन f(x) बहुपदीय फलन कहलाता है, यदि f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … +aₙxⁿ जहाँ aᵢ ऐसी वास्तविक संख्याएँ हैं कि किसी प्राकृत संख्या n के लिए aₙ ≠ 0 हम जानते हैं कि
lim┬(x→a)⁡〖x=a〗 अतः lim┬(x→a)⁡〖x^2=〗 lim┬(x→a)⁡〖(x.x)=〗 lim┬(x→a)⁡x.lim┬(x→a)⁡x = a.a = a²
इस प्रकार lim┬(x→a)⁡〖xⁿ=aⁿ〗
प्रमेय 2:
किसी धन पूर्णांक n के लिए,
lim┬(x→a)⁡〖〖(x〗^2-a²)/(x-a)〗 = naⁿ⁻¹

टिप्पणी:
उपर्युक्त प्रमेय में सीमा हेतु व्यंजक सत्य है जबकि n कोई परिमेय संख्या है और a धनात्मक है। उपपत्ति:
(xⁿ – aⁿ) को (x – a), से भाग देने पर, हम देखते हैं कि
xⁿ – aⁿ = (x–a) (xⁿ⁻¹ + a xⁿ⁻² + xⁿ⁻²a² + … + x aⁿ⁻² + aⁿ⁻¹)
इस प्रकार lim┬(x→a)⁡〖〖(x〗^ⁿ-aⁿ)/(x-a)〗 = lim┬(x→a) (xⁿ⁻¹ + xⁿ⁻² a + xⁿ⁻³a² + … + x aⁿ⁻² + aⁿ⁻¹)
= (aⁿ⁻¹ + a aⁿ⁻² + … + a.aⁿ⁻² + aⁿ⁻¹)
= (aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻¹ + … + aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻¹)
= naⁿ⁻¹

मान ज्ञात कीजिए
lim┬(x→1)⁡〖〖(x〗^15-1)/(x¹⁰-1)〗
हल:
(lim⁡{)┬(x→1)⁡〖〖(x〗^15-1)/(x¹⁰-1)}〗
= (lim⁡[{)┬(x→1)⁡〖〖(x〗^15-1)/(x-1)}/{(x¹⁰-1)/(x-1)}]〗
= 15 (1)¹⁴ / 10 (1)⁹ (प्रमेय 2 से)
= 15/10 = 3/2