एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 12.2

मान लीजिए f एक वास्तविक मानीय फलन है और इसकी परिभाषा के प्रांत में एक बिंदु a है। a पर f का अवकलज
lim┬(h→0)⁡〖{f(a+h)-f(a)}/h〗
से परिभाषित है बशर्ते कि इस सीमा का अस्तित्व हो। a पर f(x) का अवकलज f’(a) से निरूपित होता है।
अवलोकन कीजिए कि f’(a), a पर x के सापेक्ष परिवर्तन का परिमाण बताता है।

टिप्पणी:
मान लीजिए कि f एक वास्तविक मानीय फलन है, तो
lim┬(h→0)⁡〖{f(a+h)-f(a)}/h〗
से परिभाषित फलन, जहाँ कहीं सीमा का अस्तित्व है, को x पर f का अवकलज परिभाषित किया जाता है और f’(x) से निरूपित किया जाता है। अवकलज की इस परिभाषा को अवकलज का प्रथम सिद्धांत भी कहा जाता है।
इस प्रकार f’(x) = lim┬(h→0)⁡〖{f(a+h)-f(a)}/h〗
स्पष्टतः f’(x) की परिभाषा का प्रांत वही है जहाँ कहीं उपर्युक्त सीमा का अस्तित्व है। एक फलन के अवकलज के विभिन्न संकेतन हैं। कभी-कभी f’(x) को d/dx(f(x)) से निरूपित किया जाता है यदि y = f(x), तो यह dy/dx से निरूपित किया जाता है।

f(x) = 10x का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल:
हम पाते हैं f’(x) = lim┬(h→0)⁡〖{f(x+h)-f(x)}/h〗
= lim┬(h→0)⁡〖{10(x+h)-10(x)}/h〗
= lim┬(h→0)⁡〖10h/h〗
= lim┬(h→0)⁡10 = 10

मान लीजिए f और g दो ऐसे फलन हैं कि उनके उभयनिष्ठ प्रांत में उनके अवकलन परिभाषित हैं, तब
(i) दो फलनों के योग का अवकलज उन फलनों के अवकलजों का योग है।
d/dx[f(x) + g(x)] = d/dx f(x) + d/dx g(x)
(ii) दो फलनों के अंतर का अवकलज उन फलनों के अवकलजों का अंतर है।
d/dx[f(x) – g(x)] = d/dx f(x) – d/dx g(x)

(iii) दो फलनों के गुणन का अवकलज निम्नलिखित गुणन नियम से दिया गया हैः
d/dx[f(x) . g(x)] = d/dx f(x) . g(x) + f(x) . d/dx g(x)
(iv) दो फलनों के भागफल का अवकलज निम्नलिखित भागफल नियम से दिया गया है (जहाँ कहीं हर शून्येतर है)
d/dx[f(x) / g(x)] = {d/dx f(x) . g(x) – f(x) . d/dx g(x)}/(g(x))²