एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 12.1

कलन गणित की वह शाखा है जिसमें मुख्यतः प्रांत में बिंदुओं के परिवर्तन से फलन के मान में होने वाले परिवर्तन का अध्ययन किया जाता है।
एक पिंड खड़ी/ऊँची चट्टान से गिरकर t सेकंडों में 4.9 t² मीटर दूरी तय करता है अर्थात् पिंड द्वारा मीटर में तय की गई दूरी (s) सेकंडों में मापे गए समय (t) के एक फलन के रूप में s = 4.9 t² से दी गई है।
इन आँकड़ों से समय t = 2 सेकंड पर पिंड का वेग ज्ञात करना ही उद्देश्य है। इस समस्या तक पहुँचने के लिए t = 2 सेकंड पर समाप्त होने बाले विविध समयांतरालों पर माध्य वेग ज्ञात करना एक ढंग है।
t = t₁ और t = t₂ के बीच माध्य वेग t = t₁ और t = t₂ सेकंडों के बीच तय की गई दूरी को (t₂ – t₁) से भाग देने पर प्राप्त होता है। अतः प्रथम 2 सेकंडों में माध्य वेग
= t₁ = 0 और t₂ = 2 के बीच तय की गई दूरी / समयांतराल (t₂ – t₁)

फलन f(x) = x² पर विचार कीजिए। अवलोकन कीजिए कि जैसे-जैसे x को शून्य के अधिक निकट मान देते हैं, f(x) का मान भी 0 की ओर अग्रसर होता जाता है।
lim┬(x→0)⁡〖f(x)〗
(इसे f(x) की सीमा शून्य है, जब x शून्य की ओर अग्रसर होता है, पढ़ा जाता है)
f(x) की सीमा, जब x शून्य की ओर अग्रसर होता है, को ऐसे समझा जाए जैसे x = 0 पर f(x) का मान होना चाहिए। व्यापक रूप से जब x⟶a, f(x) ⟶l तब l को फलन f(x) की सीमा कहा जाता है और इसे इस प्रकार लिखा जाता है
lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗 = l

1. हम कहते हैं कि lim┬(x→a)⁡〖f(x),〗 x = a पर f(x) का अपेक्षित मान हैं, जिसने x के बाईं ओर निकट मानों के लिए f(x) को मान दिए हैं। इस मान को a पर f(x) की बाएँ पक्ष की सीमा कहते हैं।
2. हम कहते हैं कि lim┬(x→a)⁡〖f(x),〗 x = a पर f(x) का अपेक्षित मान है जिसमें x के a के दाईं ओर के निकट मानों के लिए f(x) के मान दिए हैं। इस मान को a पर f(x) की दाएँ पक्ष की सीमा कहते हैं।

3. यदि दाएँ और बाएँ पक्ष की सीमाएँ संपाती हों तो हम इस उभयनिष्ठ मान को x = a पर f(x) की सीमा कहते हैं और इसे lim┬(x→a)⁡〖f(x),〗 से निरूपित करते हैं।
4. यदि दाएँ और बाएँ पक्ष की सीमाएँ संपाती नहीं हों तो यह कहा जाता है कि x = a पर f(x) की सीमा अस्तित्वहीन है।