एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित अध्याय 10 विविध प्रश्नावली

एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित अध्याय 10 विविध प्रश्नावली शंकु परिच्छेद के सभी प्रश्नों के हल सीबीएसई सत्र 2023-24 के लिए छात्र यहाँ से डाउनलोड करें। कक्षा 11 गणित अध्याय 10 की विविध प्रश्नावली के सभी प्रश्नों को यहाँ पीडीएफ और विडियो के माध्यम से हल करके दिखाया गया है।

एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित अध्याय 10 विविध प्रश्नावली

दीर्घवृत्त का मानक समीकरण

एक दीर्घवृत्त का समीकरण सरलतम होता है यदि दीर्घवृत्त का केंद्र मूल बिंदु पर हो और नाभियाँ x-अक्ष या y-अक्ष पर स्थित हों। दीर्घवृत्त, जिसकी नाभियाँ x-अक्ष पर स्थित हैं, का समीकरण व्युत्पन्न करेंगें।
मान लीजिए F₁ और F₂ नाभियाँ हैं और रेखाखंड F₁F₂ का मध्य बिंदु O है। मान लीजिए O मूल बिंदु है और O से F₂ की ओर धनात्मक x-अक्ष व O से F₁ की ओर ऋणात्मक x-अक्ष है। माना O से x-अक्ष पर लंब रेखा y-अक्ष है। F₁ के निर्देशांक (- c, 0) तथा F₂ के निर्देशांक (c, 0) मान लेते हैं।
मान लीजिए दीर्घवृत्त पर कोई बिंदु P (x, y) इस प्रकार है कि p से दोनों नाभियों की दूरियों का योग 2a है अर्थात्
PF₁ + PF₂ = 2a (1)

दूरी सूत्र के अनुसार
√{(x + c)² + y²} + √{(x – c)² + y²} = 2a
अर्थात् √{(x + c)² + y²} = 2a – √{(x – c)² + y²}
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं
(x + c)² + y² = 4a² – 4a√{(x – c)² + y²} + (x – c)² + y²
√{(x – c)² + y²} = a – (c/a)x
पुनः वर्ग करने व सरल करने पर हमें प्राप्त होता है:
x²/ a² + y²/( a² – c²) = 1
अर्थात् x²/ a² + y²/ b² = 1 (क्योंकि a² – c² = b²)
अतः दीर्घवृत्त पर कोई बिंदु x²/ a² + y²/ b² = 1 को संतुष्ट करता है।

दीर्घवृत की नाभिलंब जीवा

दीर्घवृत्त की नाभियों से जाने वाली और दीर्घ अक्ष पर लंबवत रेखाखंड जिसके अंत्य बिंदु दीर्घवृत्त पर हों, को दीर्घवृत्त की नाभिलंब जीवा कहते हैं।
दीर्घवृत्त x²/ a² + y²/ b² = 1 की नाभिलंब जीवा ज्ञात करना
माना AF₂ की लंबाई l है तब A के निर्देशांक (c, l), अर्थात् (ae, l) है।
क्योंकि A, दीर्घवृत्त x²/ a² + y²/ b² = 1 पर स्थित है। इससे हमें प्राप्त होता हैः
(ae)²/ a² + l²/ b² = 1
⟹ l² = b² (1 – e²)
परन्तु
e² = c²/a² = (a² – b²)/a² = 1 – b²/a²
इसलिए, l² = b⁴/ a²
अर्थात् l = b²/a

अभ्यास 10 के लिए प्रश्न

उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसकी नाभियों के निर्देशांक (±5, 0) तथा शीर्षों के निर्देशांक (±13, 0) हैं।
हल:
क्योंकि दीर्घवृत्त का शीर्ष x-अक्ष पर स्थित है अतः इसका समीकरण x²/ a² + y²/ b² = 1 के अनुरूप होगा, जहाँ अर्ध-दीर्घ अक्ष की लंबाई a है। हमें ज्ञात है, कि, a = 13, c = ± 5.
अतः c² = a² – b² के सूत्र से हमें प्राप्त होता है, 25 = 169 – b² या b = 12
अतः दीर्घवृत्त का समीकरण
x²/ 169 + y²/ 144 = 1 है।

महत्वपूर्ण प्रश्नों के उत्तर हल सहित

उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसके दीर्घ अक्ष की लंबाई 20 है तथा नाभियाँ (0, ±5) हैं।
हल:
क्योंकि नाभियाँ y-अक्ष पर स्थित हैं, इसलिए दीर्घवृत्त का समीकरण x²/ b² + y²/ a² = 1 के अनुरूप है।
दिया है a = अर्ध दीर्घवृत्त का अक्ष = 20/2 = 10
और सूत्र c² = a² – b² से प्राप्त होता है,
5² = 10² – b²
या b² = 75
अतः x²/ 75 + y²/ 100 = 1

एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित अध्याय 10 विविध अभ्यास
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