एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित अध्याय 1 विविध प्रश्नावली

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दो समुच्चयों के सम्मिलन और सर्वनिष्ठ

दो समुच्चयों के सम्मिलन और सर्वनिष्ठ पर आधारित व्यावहारिक प्रश्न
यहाँ कुछ सूत्र दिए गए हैं जिनका प्रयोग आगे के प्रश्नों में किया जाएगा:
(i) मान लीजिए कि A और B परिमित समुच्चय हैं। यदि A ⋂ B = ∅, तो
n (A ⋃ B) = n(A) + n (B) (1)
A ⋃ B के अवयव या तो A में हैं या B में हैं परंतु दोनों में नहीं हैं, क्योंकि A ⋂ B = ∅, अतः परिणाम (1) तत्काल प्राप्त होता है।
(ii) व्यापक रूप से यदि A और B परिमित समुच्चय है, तो n (A ⋃ B) = n(A) + n (B) – n (A ⋂ B)
नोट कीजिए कि समुच्चय A – B, A ⋂ B तथा B – A असंयुक्त हैं और इनका सम्मिलन A ⋃ B है।
(iii) पुनः यदि A, B और C परिमित समुच्चय हैं, तो
n (A ⋃ B ⋃ C) = n (A) + n (B) + n (C) – n (A ⋂ B) – n (B ⋂ C) – n (A ⋂ C) + n (A ⋂ B ⋂ C) (3)

अभ्यास के लिए प्रश्न

एक विद्यालय में 20 अध्यापक हैं जो गणित या भौतिकी पढ़ाते हैं। इनमें से 12 गणित पढ़ाते हैं और 4 भौतिकी और गणित दोनों को पढ़ाते हैं। कितने अध्यापक भौतिकी पढ़ाते हैं?
मान लीजिए कि M उन अध्यापकों का समुच्चय निरूपित करता है, जो गणित पढ़ाते हैं और P उन अध्यापकों का समुच्चय निरूपित करता है, जो भौतिकी पढ़ाते हैं। हमें प्रश्न के कथन में आने वाले शब्द ‘या’ से सम्मिलन तथा शब्द ‘और’ से सर्वनिष्ठ का संकेत मिलता है। इसलिए
n (M ⋃ P) = 20, n(M) = 12, और n (M ⋂ P) = 4, n(P) ज्ञात करना है।
इसलिए, n (M ⋃ P) = n(M) + n(P) – n (M ⋂ P)
20 = 12 + n(P) – 4
अतः n(P) = 12
अतएव 12 अध्यापक भौतिकी पढ़ाते हैं।

कक्षा 11 गणित अध्याय 1 विविध प्रश्नावली के लिए मुख्य तथ्य

स्मरणीय तथ्य:

    1. एक समुच्चय वस्तुओं का सुपरिभाषित संग्रह होता है।
    2. एक समुच्चय जिसमें एक भी अवयव नहीं होता है, रिक्त समुच्चय कहलाता है।
    3. एक समुच्चय जिसमें अवयवों की संख्या निश्चित होती है परिमित समुच्चय कहलाता है अन्यथा अपरिमित समुच्चय कहलाता है।
    4. दो समुच्चय A और B समान कहलाते हैं यदि उनमें तथ्यतः समान अवयव हों।
    5. एक समुच्चय A किसी समुच्चय B का उपसमुच्चय कहलाता है, यदि A का प्रत्येक अवयव B का भी अवयव हो। अंतराल समुच्चय R के उपसमुच्चय होते हैं।
    6. किसी समुच्चय A का घात समुच्चय A के सभी उपसमुच्चयों का संग्रह होता है।
    7. दो समुच्चय A और B का सम्मिलन उन सभी अवयवों का समुच्चय होता है जो या तो A में हों या B में हों। दो समुच्चय A और B का सर्वनिष्ठ उन सभी अवयवों का समुच्चय होता है जो A और B दोनों में उभयनिष्ठ हों। दो समुच्चय A और B का अंतर, जब A तथा B इसी क्रम में हो, उन सभी अवयवों का समुच्चय है, जो A में हों किंतु B में नहीं हों।
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