एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 1.3

एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 1.3 समुच्चय के अभ्यास के सवाल जवाब सीबीएसई और राजकीय बोर्ड सत्र 2022-2023 के लिए यहाँ से निशुल्क प्राप्त किए जा सकते हैं। कक्षा 11 गणित के विद्यार्थी प्रश्नावली 1.3 के अभ्यास के लिए यहाँ उपलब्ध पीडीएफ और विडियो की मदद ले कर इसे आसानी से समझ सकते हैं।

एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 1.3

समान समुच्चय

दो दिए गए समुच्चयों A और B में, यदि A का प्रत्येक अवयव B का भी अवयव है तथा B का प्रत्येक अवयव A का भी अवयव है, तो समुच्चय A और B, समान कहलाते हैं। स्पष्टतया दोनोंसमुच्चयों में तथ्यतः समान अवयव होते हैं।
हम लिखते हैं A = B अन्यथा समुच्चय असमान कहलाते हैं और हम लिखते हैं A ≠ B.
(i) मान लीजिए कि A = {1, 2, 3, 4} और B = {3, 1, 4, 2} तो A = B.
(ii) मान लीजिए कि A, 6 से कम अभाज्य संख्याओं तथा P, 30 के अभाज्य गुणनखंडों के समुच्चय हैं। स्पष्ट है कि समुच्चय A और P समान हैं, क्योंकि केवल 2, 3 और 5 ही संख्या 30 के अभाज्य गुणनखंड हैं और 6 से कम भी हैं।

उपसमुच्चय

यदि समुच्चय A का प्रत्येक अवयव, समुच्चय B का भी एक अवयव है, तो A, B का उपसमुच्चय कहलाता है।
दूसरे शब्दों में, A ⊂ B, यदि जब कभी a ∈¬ A, तो a ∈¬ B, बहुधा प्रतीक ‘⟹’, जिसका अर्थ ‘तात्पर्य है’ होता है, का प्रयोग सुविधाजनक होता है। इस प्रतीक का प्रयोग करके, हम उपसमुच्चय की परिभाषा इस प्रकार लिख सकते हैंः
A ⊂ B, यदि a ∈¬ A ⟹ a ∈ B
हम उपर्युक्त कथन को इस प्रकार पढ़ते हैं, ‘A, B का एक उपसमुच्चय है, यदि इस तथ्य का, कि a, A का एक अवयव है तात्पर्य है कि a, B का भी एक अवयव है’’। यदि A, B का एक उपसमुच्चय नहीं है, तो हम लिखते हैं कि A ⊄ B ।

उपरोक्त तथ्यों के आधार पर यह निष्कर्ष निकला जा सकता है कि
A को B, का समुच्चय होने के लिए केवल मात्र यह आवश्यक है कि A का प्रत्येक अवयव B में है। यह संभव है कि B का प्रत्येक अवयव A में हो या न हो। यदि ऐसा होता है कि B का प्रत्येक अवयव A में भी है, तो B ⊂ A, इस दशा में, A और B समान समुच्चय हैं और इस प्रकार A ⊂ B और B ⊂ A ⇔ A = B, जहाँ ‘⇔’ द्विधा ‘तात्पर्य’ के लिए प्रतीक है और जिसे प्रायः ‘यदि और केवल यदि’ पढ़ते हैं।
परिभाषा से निष्कर्ष निकलता है कि प्रत्येक समुच्चय स्वयम् का उपसमुच्चय है, अर्थात्
B ⊂ A । चूँकि रिक्त समुच्चय ∅ में कोई अवयव नहीं होता है अतः हम इस बात से सहमत हैं कि ∅

प्रत्येक समुच्चय का एक उपसमुच्चय है। अब हम कुछ उदाहरणों पर विचार करते हैंः
(i) परिमेय संख्याओं का समुच्चय Q, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R का एक उपसमुच्चय है और हम लिखते हैं कि Q ⊂ R
(ii) यदि A संख्या 56 के सभी भाजकों का समुच्चय है और B, संख्या 56 के सभी अभाज्य भाजकों का समुच्चय है, तो B, A का एक उपसमुच्चय है और हम लिखते हैं कि B ⊂ A।
(iii) मान लीजिए कि A = {1, 3, 5} और B = {x: x संख्या 6 से कम एक विषम प्राकृत संख्या है} तो A ⊂ B तथा B ⊂ A अतः A = B
(iv) मान लीजिए कि A = {a, e, i, o, तथा u और B = {a, b, c, d} तो A, B का एक उपसमुच्चय नहीं है तथा B भी A का उपसमुच्चय नहीं है।

अधिसमुच्चय

मान लीजिए कि A और B दो समुच्चय हैं। यदि A ⊂ B तथा A ≠ B, तो A, B का उचित उपसमुच्चय कहलाता है और B, A का अधिसमुच्चय कहलाता है। उदाहरणार्थ:
A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4} का एक उचित उपसमुच्चय है।

एकल समुच्चय

यदि समुच्चय A में केवल एक अवयव हो, तो हम इसे एक एकल समुच्चय कहते हैं। अतः { a } एक एकल समुच्चय है।

एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 1.3
कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 1.3
एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 1.3 के हल