एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 1.4

समुच्चय R के बहुत से महत्वपूर्ण उपसमुच्चय हैं। इनमें से कुछ के नाम हम नीचे दे रहे हैंः
प्राकृत सख्याओं का समुच्चय N = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}
पूर्णांकों का समुच्चय Z = {. . ., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, . . .}
परिमेय संख्याओं का समुच्चय Q = { x : x = p/q, p, q ∈¬ Z तथा q ≠ 0}], जिनको इस प्रकार पढ़ते हैंः

Q उन सभी संख्याओं x का समुच्चय इस प्रकार है, कि x भागफल p/q, के बराबर है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q शून्य नहीं है। Q के अवयवों में -5 (जिसे -5/1 से भी प्रदर्शित किया जा सकता है), 5/7, 3(1/2) (जिसे 7/2 से भी प्रदर्शित किया जा सकता है) और -11/3 आदि सम्मिलित हैं।
अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय, जिसे T, से निरूपित करते हैं, शेष अन्य वास्तविक संख्याओं (परिमेय संख्याओं को छोड़कर) से मिलकर बनता है।
अतः T = {x: x ∈ R और x ∉ Q} = R – Q
अर्थात् वह सभी वास्तविक संख्याएँ जो परिमेय नहीं है। T के सदस्यों में √2, √5 और π आदि सम्मिलित हैं। इन समुच्चयों के मध्य कुछ स्पष्ट संबंध इस प्रकार हैं:
N ⊂ Z ⊂ Q, Q ⊂ R, T ⊂ R, N ⊂ T

मान लीजिए कि a, b ∈ R और a < b तब वास्तविक संख्याओं का समुच्चय {y: a < y < b} एक विवृत अंतराल कहलाता है और प्रतीक (a, b) द्वारा निरूपित होता है। a और b के बीच स्थित सभी बिंदु इस अंतराल में होते हैं परंतु a और b स्वयं इस अंतराल में नहीं होते हैं। संवृत (बंद) अंतराल
वह अंतराल जिसमें अंत्य बिंदु भी होते हैं, संवृत (बंद) अंतराल कहलाता है और प्रतीक [a, b], द्वारा निरूपित होता है।
अतः [ a, b ] = {x : a ≤ x ≤ b}

समुच्चय A के उपसमुच्चयों के संग्रह को A का घात समुच्चय कहते हैं। इसे P(A) से निरूपित करते है। P(A) का प्रत्येक अवयव एक समुच्चय होता है।
अतः उपर्युक्त विवरण में, यदि A = {1, 2}, तो
P(A) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}
यह भी नोट कीजिए कि n [ P (A) ] = 4 = 2²
व्यापकरूप से, यदि A एक ऐसा समुच्चय है कि n(A) = m, तो यह सिद्ध किया जा सकता है कि n [ P (A) ] = 4 = 2ᵐ

कई सारे समुच्चय के सभी अवयव एक दूसरे समुच्चय में उपस्थित हो, सार्वत्रिक समुच्चय कहलाता है। सार्वत्रिक समुच्चय को सामान्यतः ⋃ प्रतीक निरूपित करते है।
जैसे: अभाज्य संख्याओं का समुच्चय, सम संख्याओं का समुच्चय इत्यादि। यह आधारभूत समुच्चय ‘सार्वत्रिक समुच्चय’ कहलाता है।

उदाहरणार्थ, पूर्णांकों के समुच्चय Z के लिए, परिमेय संख्याओं का समुच्चय Q, एक सार्वत्रिक समुच्चय हो सकता है, या वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R भी एक सार्वत्रिक समुच्चय हो सकता है। एक अन्य उदाहरण में मानव जनसंख्या अध्ययन के लिए विश्व के समस्त मानव का समुच्चय, सार्वत्रिक समुच्चय होगा।