एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 1.4

एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 1.4 समुच्चय के हल अभ्यास के सवाल जवाब सीबीएसई सत्र 2022-2023 के लिए छात्र यहाँ से डाउनलोड करें। कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 1.4 के सभी प्रश्नों के हल सरल तरीके से पीडीएफ और विडियो के माध्यम समझाए गए हैं।

एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 1.4

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के उपसमुच्चय

समुच्चय R के बहुत से महत्वपूर्ण उपसमुच्चय हैं। इनमें से कुछ के नाम हम नीचे दे रहे हैंः
प्राकृत सख्याओं का समुच्चय N = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}
पूर्णांकों का समुच्चय Z = {. . ., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, . . .}
परिमेय संख्याओं का समुच्चय Q = { x : x = p/q, p, q ∈¬ Z तथा q ≠ 0}], जिनको इस प्रकार पढ़ते हैंः

Q उन सभी संख्याओं x का समुच्चय इस प्रकार है, कि x भागफल p/q, के बराबर है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q शून्य नहीं है। Q के अवयवों में -5 (जिसे -5/1 से भी प्रदर्शित किया जा सकता है), 5/7, 3(1/2) (जिसे 7/2 से भी प्रदर्शित किया जा सकता है) और -11/3 आदि सम्मिलित हैं।
अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय, जिसे T, से निरूपित करते हैं, शेष अन्य वास्तविक संख्याओं (परिमेय संख्याओं को छोड़कर) से मिलकर बनता है।
अतः T = {x: x ∈ R और x ∉ Q} = R – Q
अर्थात् वह सभी वास्तविक संख्याएँ जो परिमेय नहीं है। T के सदस्यों में √2, √5 और π आदि सम्मिलित हैं। इन समुच्चयों के मध्य कुछ स्पष्ट संबंध इस प्रकार हैं:
N ⊂ Z ⊂ Q, Q ⊂ R, T ⊂ R, N ⊂ T

अंतराल R के उपसमुच्चय के रूप में

मान लीजिए कि a, b ∈ R और a < b तब वास्तविक संख्याओं का समुच्चय {y: a < y < b} एक विवृत अंतराल कहलाता है और प्रतीक (a, b) द्वारा निरूपित होता है। a और b के बीच स्थित सभी बिंदु इस अंतराल में होते हैं परंतु a और b स्वयं इस अंतराल में नहीं होते हैं। संवृत (बंद) अंतराल
वह अंतराल जिसमें अंत्य बिंदु भी होते हैं, संवृत (बंद) अंतराल कहलाता है और प्रतीक [a, b], द्वारा निरूपित होता है।
अतः [ a, b ] = {x : a ≤ x ≤ b}

घात समुच्चय

समुच्चय A के उपसमुच्चयों के संग्रह को A का घात समुच्चय कहते हैं। इसे P(A) से निरूपित करते है। P(A) का प्रत्येक अवयव एक समुच्चय होता है।
अतः उपर्युक्त विवरण में, यदि A = {1, 2}, तो
P(A) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}
यह भी नोट कीजिए कि n [ P (A) ] = 4 = 2²
व्यापकरूप से, यदि A एक ऐसा समुच्चय है कि n(A) = m, तो यह सिद्ध किया जा सकता है कि n [ P (A) ] = 4 = 2ᵐ

सार्वत्रिक समुच्चय

कई सारे समुच्चय के सभी अवयव एक दूसरे समुच्चय में उपस्थित हो, सार्वत्रिक समुच्चय कहलाता है। सार्वत्रिक समुच्चय को सामान्यतः ⋃ प्रतीक निरूपित करते है।
जैसे: अभाज्य संख्याओं का समुच्चय, सम संख्याओं का समुच्चय इत्यादि। यह आधारभूत समुच्चय ‘सार्वत्रिक समुच्चय’ कहलाता है।

उदाहरणार्थ, पूर्णांकों के समुच्चय Z के लिए, परिमेय संख्याओं का समुच्चय Q, एक सार्वत्रिक समुच्चय हो सकता है, या वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R भी एक सार्वत्रिक समुच्चय हो सकता है। एक अन्य उदाहरण में मानव जनसंख्या अध्ययन के लिए विश्व के समस्त मानव का समुच्चय, सार्वत्रिक समुच्चय होगा।

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