एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 1.5

वेन आरेख वह आरेख हैं जो समुच्च्यों (या कुलकों) के परिमित संग्रहों (चीजों का समूह) के बीच सभी परिकाल्पनिक (आनुमानिक) रूप से संभव तार्किक संबंधों को दर्शाते हैं। वेन आरेख का आविष्कार 1880 के आसपास जॉन वेन द्वारा किया गया था।
किसी सार्वत्रिक समुच्चय को प्रायः एक आयत द्वारा और उसके उपसमुच्चयों को एक वृत्त द्वारा प्रदर्शित करते हैं।

समुच्चयों पर मुख्यतः दो संक्रियाएँ की जा सकती हैं। ये हैं समुच्च्य सम्मिलन तथा समुच्च्यों की उभयनिष्ठता।
समुच्चयों का सम्मिलन
मान लीजिए कि A और B कोई दो समुच्चय हैं। A और B का सम्मिलन वह समुच्चय है जिसमें A के सभी अवयवों के साथ B के भी सभी अवयव हों, तथा उभयनिष्ठ अवयवों को केवल एक बार लिया गया हो। प्रतीक “⋃” का प्रयोग सम्मिलन को निरूपित करने के लिए किया जाता है। प्रतीकात्मक रूप में हम A ⋃ B लिखते हैं और इसे “A सम्मिलन B” पढ़ते हैं।

मान लीजिए कि A = { a, e, i, o, u } और B = { a, i, u }. दर्शाइए कि A ⋃ B = A
स्पष्टतया A ⋃ B = {a, e, i, o, u}
इस उदाहरण से स्पष्ट होता है कि किसी समुच्चय A और उसके उपसमुच्चय B का सम्मिलन समुच्चय A स्वयं होता है, अर्थात् यदि B ⊂ A तो A ⋃ B = A
सम्मिलन की संक्रिया के कुछ गुणधर्मः
(i) A ⋃ B = B ⋃ A (क्रम विनिमय नियम)
(ii) (A ⋃ B) ⋃ C = A ⋃ (B ⋃ C) (साहचर्य नियम)
(iii) A ⋃ ∅ = A (तत्समक नियम, Ø संक्रिया ⋃ का तत्समक अवयव है)
(iv) A ⋃ A = A (वर्गसम नियम)
(v) U ⋃ A = U (U का नियम)

समुच्चय A और B का सर्वनिष्ठ उन सभी अवयवों का समुच्चय है, जो A और B दोनों में उभयनिष्ठ है। प्रतीक “⋂” का प्रयोग सर्वनिष्ठ को निरूपित करने के लिए किया जाता है। समुच्चय A और B का सर्वनिष्ठ उन सभी अवयवों का समुच्चय है, जो A और B दोनों में हों। प्रतीकात्मक रूप में हम लिखते हैं कि
A ⋂ B = {x : x ¬∈ A और x ∈¬ B}
उदाहरण
मान लीजिए कि A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} और B = {2, 3, 5, 7} A ⋂ B ज्ञात कीजिए और इस प्रकार दिखाइए कि A ⋂ B = B
हल
हम देखते हैं कि A ⋂ B = {2, 3, 5, 7} = B हम ध्यान देते हैं कि B ⊂ A और A ⋂ B = B

• (i) A ⋂¬ B = B ⋂¬ A (क्रम विनिमय नियम)
• (ii) (A ⋂¬ B) ⋂¬ C = A ⋂¬ (B ⋂¬ C) (साहचर्य नियम)
  (iii) ∅ ⋂¬ A = ∅, U ⋂¬ A = A (∅ और U के नियम)
• (iv) A ⋂¬ A = A (वर्गसम नियम)
• (v) A ⋂¬ (B ⋂ C) = ( A ⋂¬ B ) ⋂ ( A ⋂¬ C ) (वितरण या बंटन नियम)