एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 1.3

दो दिए गए समुच्चयों A और B में, यदि A का प्रत्येक अवयव B का भी अवयव है तथा B का प्रत्येक अवयव A का भी अवयव है, तो समुच्चय A और B, समान कहलाते हैं। स्पष्टतया दोनोंसमुच्चयों में तथ्यतः समान अवयव होते हैं।
हम लिखते हैं A = B अन्यथा समुच्चय असमान कहलाते हैं और हम लिखते हैं A ≠ B.
(i) मान लीजिए कि A = {1, 2, 3, 4} और B = {3, 1, 4, 2} तो A = B.
(ii) मान लीजिए कि A, 6 से कम अभाज्य संख्याओं तथा P, 30 के अभाज्य गुणनखंडों के समुच्चय हैं। स्पष्ट है कि समुच्चय A और P समान हैं, क्योंकि केवल 2, 3 और 5 ही संख्या 30 के अभाज्य गुणनखंड हैं और 6 से कम भी हैं।

यदि समुच्चय A का प्रत्येक अवयव, समुच्चय B का भी एक अवयव है, तो A, B का उपसमुच्चय कहलाता है।
दूसरे शब्दों में, A ⊂ B, यदि जब कभी a ∈¬ A, तो a ∈¬ B, बहुधा प्रतीक ‘⟹’, जिसका अर्थ ‘तात्पर्य है’ होता है, का प्रयोग सुविधाजनक होता है। इस प्रतीक का प्रयोग करके, हम उपसमुच्चय की परिभाषा इस प्रकार लिख सकते हैंः
A ⊂ B, यदि a ∈¬ A ⟹ a ∈ B
हम उपर्युक्त कथन को इस प्रकार पढ़ते हैं, ‘A, B का एक उपसमुच्चय है, यदि इस तथ्य का, कि a, A का एक अवयव है तात्पर्य है कि a, B का भी एक अवयव है’’। यदि A, B का एक उपसमुच्चय नहीं है, तो हम लिखते हैं कि A ⊄ B ।

उपरोक्त तथ्यों के आधार पर यह निष्कर्ष निकला जा सकता है कि
A को B, का समुच्चय होने के लिए केवल मात्र यह आवश्यक है कि A का प्रत्येक अवयव B में है। यह संभव है कि B का प्रत्येक अवयव A में हो या न हो। यदि ऐसा होता है कि B का प्रत्येक अवयव A में भी है, तो B ⊂ A, इस दशा में, A और B समान समुच्चय हैं और इस प्रकार A ⊂ B और B ⊂ A ⇔ A = B, जहाँ ‘⇔’ द्विधा ‘तात्पर्य’ के लिए प्रतीक है और जिसे प्रायः ‘यदि और केवल यदि’ पढ़ते हैं।
परिभाषा से निष्कर्ष निकलता है कि प्रत्येक समुच्चय स्वयम् का उपसमुच्चय है, अर्थात्
B ⊂ A । चूँकि रिक्त समुच्चय ∅ में कोई अवयव नहीं होता है अतः हम इस बात से सहमत हैं कि ∅

प्रत्येक समुच्चय का एक उपसमुच्चय है। अब हम कुछ उदाहरणों पर विचार करते हैंः
(i) परिमेय संख्याओं का समुच्चय Q, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R का एक उपसमुच्चय है और हम लिखते हैं कि Q ⊂ R
(ii) यदि A संख्या 56 के सभी भाजकों का समुच्चय है और B, संख्या 56 के सभी अभाज्य भाजकों का समुच्चय है, तो B, A का एक उपसमुच्चय है और हम लिखते हैं कि B ⊂ A।
(iii) मान लीजिए कि A = {1, 3, 5} और B = {x: x संख्या 6 से कम एक विषम प्राकृत संख्या है} तो A ⊂ B तथा B ⊂ A अतः A = B
(iv) मान लीजिए कि A = {a, e, i, o, तथा u और B = {a, b, c, d} तो A, B का एक उपसमुच्चय नहीं है तथा B भी A का उपसमुच्चय नहीं है।

मान लीजिए कि A और B दो समुच्चय हैं। यदि A ⊂ B तथा A ≠ B, तो A, B का उचित उपसमुच्चय कहलाता है और B, A का अधिसमुच्चय कहलाता है। उदाहरणार्थ:
A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4} का एक उचित उपसमुच्चय है।

यदि समुच्चय A में केवल एक अवयव हो, तो हम इसे एक एकल समुच्चय कहते हैं। अतः { a } एक एकल समुच्चय है।