एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 1.1

समुच्चय या कुलक सुपरिभाषित समूह अथवा संग्रह को कहते हैं। परिभाषा के रूप में वस्तुओं के उस समूह अथवा समाहार को समुच्चय कहते हैं जिसमें सम्मिलित प्रत्येक वस्तु किसी गुण विशेष को संतुष्ट करती हो जिसके आधार पर स्पष्ट रूप से यह बताया जा सके कि अमुक वस्तु उस संग्रह में सम्मिलित है अथवा नहीं है।

हम नीचे ऐसे समुच्चय के कुछ और उदाहरण दे रहे हैं, जिनका प्रयोग गणित में विशेषरूप से किया जाता है:

• N: प्राकृत संख्याओं का समुच्चय
• Z: पूर्णांकों का समुच्चय
• Q: परिमेय संख्याओं का समुच्चय
• R: वास्तविक संख्याओं का समुच्चय
• Z⁺: धन पूर्णांकों का समुच्चय
• Q⁺: धन परिमेय संख्याओं का समुच्चय
• R⁺: धन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय
• इन विशेष समुच्चयों के लिए निर्धारित उपर्युक्त प्रतीकों का प्रयोग हम इस पुस्तक में निरंतर करते रहेंगे।

(i) समुच्यय के लिए वस्तुएँ, अवयव तथा सदस्य पर्यायवाची पद हैं।
(ii) समुच्यय को प्रायः अंग्रेजी वर्णमाला के बड़े अक्षरों से निरूपित करते हैं, जैसे A, B, C, X, Y, Z आदि।
(iii) समुच्चय के अवयवों को अंग्रेजी वर्णमाला के छोटे अक्षरों द्वारा प्रदर्शित करते हैं, जैसे a, b, c, x, y, z आदि।

यदि a, समुच्चय A का एक अवयव है, तो हम कहते हैं कि ‘a समुच्चय A में है’। वाक्यांश ‘अवयव है’ ‘सदस्य है’ या ‘में है’ को सूचित करने के लिए यूनानी प्रतीक ‘‘¬ ∈’’ का प्रयोग किया जाता है। अतः हम “a ∈ A” लिखते हैं। यदि b, समुच्चय A का अवयव नहीं है, तो हम “b ∉ A” लिखते हैं और इसे ‘‘b समुच्चय A में नहीं है’’ पढ़ते हैं।

अंग्रेजी वर्णमाला के स्वरों के समुच्चय V के सम्बंध में a ∈¬ V किंतु b ∉ V.
किसी समुच्चय को निरूपित करने की दो विधियाँ हैंः

1. रोस्टर या सारणीबद्ध रूप
2. समुच्चय निर्माण रूप

(i) रोस्टर रूप में, समुच्चय के सभी अवयवों को सूचीबद्ध किया जाता है, अवयवों को, एक दूसरे से, अर्ध-विराम द्वारा पृथक किया जाता है और उन सभी को एक मझले कोष्ठक के भीतर लिखते हैं। उदाहरणार्थ, 7 से कम सभी सम धन पूर्णांकों के समुच्चय का वर्णन रोस्टर रूप में
{2, 4, 6} द्वारा किया जाता है। किसी समुच्चय को रोस्टर रूप में प्रदर्शित करने के कुछ और उदाहरण नीचे दिए हैंः
(a) संख्या 42 को विभाजित करने वाली सभी प्राकृत संख्याओं का समुच्चय {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42} है।
(b) अंग्रेजी वर्णमाला के सभी स्वरों का समुच्चय {a, e, i, o, u} है।
(c) विषम प्राकृत संख्याओं का समुच्चय {1, 3, 5, …….} है। अंत के बिंदु, जिनकी संख्या तीन होती है, यह बतलाते हैं कि इन विषम संख्याओं की सूची अंतहीन है।
(ii) समुच्चय निर्माण रूप में, किसी समुच्चय के सभी अवयवों में एक सर्वनिष्ठ गुणधर्म होता है जो समुच्चय से बाहर के किसी अवयव में नहीं होता है। उदाहरर्णाथ समुच्चय क्ष्ंए मए पए वए नद्व के सभी अवयवों में एक सर्वनिष्ठ गुणधर्म है कि इनमें से प्रत्येक अवयव अंग्रेजी वर्णमाला का एक स्वर है और इस गुणधर्म वाला कोई अन्य अक्षर नहीं है। इस समुच्चय को V से निरूपित करते हुए हम लिखते हैं कि,
V = {x : x अंग्रेजी वर्णमाला का एक स्वर है}।

समीकरण x² + x – 2 = 0 का हल समुच्चय रोस्टर रूप में लिखिए।
प्रदत्त समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है,
(x – 1) (x + 2) = 0, अर्थात् x = 1, – 2
अतः प्रदत्त समीकरण का हल समुच्चय रोस्टर रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है {1, – 2}.

समुच्चय {x : x एक धन पूर्णांक है और x² < 40} को रोस्टर रूप में लिखिए।
1, 2, 3, 4, 5, और 6 अभीष्ट संख्याएँ हैं। अतः {1, 2, 3, 4, 5, 6} प्रदत्त समुच्चय का रोस्टर रूप है।

समुच्चय A = {1, 4, 9, 16, 25, ……….} को समुच्चय निर्माण रूप में लिखिए।
समुच्चय A को हम इस प्रकार लिख सकते हैं, A = {x : x एक प्राकृत संख्या का वर्ग है}
विकल्पतः हम इस प्रकार भी लिख सकते हैं,
A = {x : x = n² जहाँ n ∈ N} है