एनसीईआरटी समाधान कक्षा 8 गणित प्रकाश भाग 2 अध्याय 1 भिन्न के विविध रूप
कक्षा 8 गणित प्रकाश भाग 2 अध्याय 1 ‘भिन्न के विविध रूप’ के एनसीईआरटी समाधान यहाँ हिंदी माध्यम के विद्यार्थियों के लिए सरल भाषा में दिए गए हैं। जैसा नाम से स्पष्ट है, एक भिन्न कई रूपों में आती है: दशमलव, अनुपात और सबसे बढ़कर प्रतिशत, यानी 100 हर वाली भिन्न। छहों ‘आइए, पता लगाएँ’ प्रश्नावलियों के चरणबद्ध हल नीचे दिए गए हैं।
कक्षा 8 गणित प्रकाश भाग 2 अध्याय 1 के एनसीईआरटी समाधान
इस अध्याय में प्रतिशत वृद्धि या कमी, लाभ-हानि, छूट, जीएसटी, साधारण व चक्रवृद्धि ब्याज और मूल्य ह्रास के प्रश्न हैं। सेल के ‘50% तक की छूट’ बोर्ड से कौटिल्य के अर्थशास्त्र के ‘प्रति सैकड़ा’ ब्याज तक, प्रतिशत पुराना भी है और आम भी।
कक्षा 8 गणित प्रकाश भाग 2 के पेज 3 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:
पेज 3 – आइए, पता लगाएँ
1. निम्नलिखित भिन्नों को प्रतिशत के रूप में व्यक्त कीजिए।
(i) 3/5 (ii) 7/14 (iii) 9/20
(iv) 72/150 (v) 1/3 (vi) 5/11
उत्तर:
भिन्न को प्रतिशत में बदलने के लिए उसे 100 से गुणा करते हैं।
(i) 3/5 = (3/5 × 100)%
= 60%
(ii) सरल करने पर, 7/14 = 1/2
अतः, 7/14 = (1/2 × 100)%
= 50%
(iii) 9/20 = (9/20 × 100)%
= 45%
(iv) 72/150 = (72/150 × 100)%
= 48%
(v) 1/3 = (1/3 × 100)%
= (100/3)%
= 33⅓%
(vi) 5/11 = (5/11 × 100)%
= (500/11)%
= 45 5/11%
≈ 45.45%
2. नंदनी के पास 25 कंचे हैं जिनमें से 15 सफेद रंग के हैं। बताइए कि सफेद रंग के कंचों का प्रतिशत कितना है?
(i) 10% (ii) 15% (iii) 25%
(iv) 60% (v) 40% (vi) इनमें में से कोई नहीं
उत्तर:
कुल कंचे = 25
सफेद कंचे = 15
सफेद कंचों का प्रतिशत = (15/25 × 100)%
= 60%
अतः सही विकल्प (iv) 60% है।
3. एक विद्यालय के कुल 80 विद्यार्थियों में से 15 विद्यार्थी पैदल चलकर विद्यालय आते हैं। बताइए कि पैदल चलकर आने वाले विद्यार्थियों का प्रतिशत कितना है?
उत्तर:
कुल विद्यार्थी = 80
पैदल आने वाले विद्यार्थी = 15
पैदल आने वाले विद्यार्थियों का प्रतिशत = (15/80 × 100)%
= 18.75%
अतः 18.75% विद्यार्थी पैदल चलकर विद्यालय आते हैं।
4. मित्रों का एक समूह लंबी दूरी की दौड़ में भाग ले रहा है। 15 मिनट के पश्चात उनमें से प्रत्येक की स्थिति को निम्नलिखित चित्र में दर्शाया गया है। यह मिलान कीजिए (नीचे दिए गए विकल्पों में से) कि उनमें से प्रत्येक ने दौड़ का लगभग कितना प्रतिशत भाग पूर्ण किया है।
उत्तर:
प्रारंभ से अंत तक की पूरी दूरी 100% है। चित्र में स्थितियों की तुलना करने पर दिए गए विकल्पों में से सबसे निकट मिलान है:
A → 38%
B → 55%
C → 72%
D → 93%
5. राशियों के कुछ युग्मों को नीचे दर्शाया गया है। पहचानिए और रिक्त स्थानों में उपयुक्त चिह्नों ‘>’, ‘<’, ‘=’ को अंकित कीजिए। गणना किए बिना इन्हें हल करने का प्रयास कीजिए।
(i) 50% ______ 5%
(ii) 5/10 ______ 50%
(iii) 3/11 ______ 61%
(iv) 30% ______ 1/3
उत्तर:
(i) 50% > 5%, क्योंकि 50, 5 से बड़ा है।
(ii) 5/10 = 50%, क्योंकि दोनों आधा भाग दर्शाते हैं।
(iii) 3/11 < 61%, क्योंकि 3/11 आधे से कम है, जबकि 61% आधे से अधिक है।
(iv) 30% < 1/3, क्योंकि 30% को तीन बार लेने पर 90% मिलता है, जबकि 1/3 को तीन बार लेने पर पूरा मिलता है।
कक्षा 8 गणित प्रकाश भाग 2 के पेज 12 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:
पेज 12 – आइए, पता लगाएँ
निम्नलिखित प्रश्नों को हल करने के लिए किसी भी प्रकार की गणना करने से पूर्व आकलन कीजिए। मानसिक गणना सहित विभिन्न विधियों का उपयोग करने का प्रयास कीजिए।
1. लुप्त संख्याओं को ज्ञात कीजिए। पहले प्रश्न को आपके लिए हल कर दिया गया है।
उत्तर:
(i) बार के 5 बराबर भाग हैं।
प्रत्येक भाग = 100% ÷ 5 = 20%।
75 के चार भाग = 75 × 4/5 = 60।
(ii) बार के 10 बराबर भाग हैं।
प्रत्येक भाग = 100% ÷ 10 = 10%।
दाएँ बार में 6 भाग दिखाए गए हैं।
अतः उनका मान = 90 × 6/10 = 54।
लुप्त संख्याएँ 10% और 54 हैं।
(iii) बार के 4 बराबर भाग हैं।
प्रत्येक भाग = 100% ÷ 4 = 25%।
दाएँ बार में 3 भाग दिखाए गए हैं।
अतः उनका मान = 140 × 3/4 = 105।
लुप्त संख्याएँ 25% और 105 हैं।
2. निम्नलिखित प्रश्नों के मान ज्ञात कीजिए और उनके बार निदर्श भी बनाइए।
(i) 160 का 25% (ii) 250 का 16% (iii) 360 का 62%
(iv) 40 का 140% (v) 1 घंटा का 1% (vi) 10 kg का 7%
उत्तर:
(i) 25% एक-चौथाई भाग है।
160 का 25% = 160 ÷ 4 = 40।
(ii) 250 का 16% = 16/100 × 250
= 40।
(iii) 360 का 62% = 62/100 × 360
= 223.2।
(iv) 140% का मान पूरे मान से अधिक होगा।
40 का 140% = 140/100 × 40
= 56।
(v) 1 घंटा = 60 मिनट = 3600 सेकंड।
1 घंटे का 1% = 1/100 × 3600
= 36 सेकंड।
(vi) 10 kg का 7% = 7/100 × 10
= 0.7 kg = 700 g।
बार निदर्श में रंगीन भाग संबंधित प्रतिशत दर्शाता है। पाँचवें निदर्श में h का अर्थ घंटा है।
3. सूर्या ने 60 ml गहरा नारंगी रंग तैयार किया। यदि इस गहरे नारंगी रंग का 3/4 भाग लाल रंग से बना था तो उसने कितना लाल रंग उपयोग किया?
उत्तर:
कुल नारंगी रंग = 60 ml।
लाल रंग की मात्रा = 60 का 3/4 भाग
= 3/4 × 60
= 45 ml।
अतः सूर्या ने 45 ml लाल रंग उपयोग किया।
4. नीचे राशियों के युग्मों को दर्शाया गया है। ‘>’, ‘<’, ‘=’ में से उपयुक्त चिह्न को पहचानिए और रिक्त प्रकोष्ठ में अंकित कीजिए। चित्रण या आकलन इसमें सहायता कर सकता है। केवल सत्यापन के लिए अथवा अत्यावश्यक स्थिति में ही गणना कीजिए।
(i) 510 का 50% □ 515 का 50%
(ii) 148 का 37% □ 148 का 73%
(iii) 43 का 29% □ 110 का 92%
(iv) 40 का 30% □ 50 का 40%
(v) 200 का 45% □ 490 का 10%
(vi) 80 का 30% □ 64 का 24%
उत्तर:
(i) 510 का 50% < 515 का 50%।
दोनों का आधा लेना है और 510 < 515 है।
(ii) 148 का 37% < 148 का 73%।
एक ही संख्या का छोटा प्रतिशत छोटा मान देगा।
(iii) 43 का 29% < 110 का 92%।
पहला मान 43 से कम है। दूसरा मान 110 के आधे, अर्थात 55 से भी अधिक है।
(iv) 40 का 30% < 50 का 40%। बाईं ओर संख्या और प्रतिशत दोनों कम हैं। (v) 200 का 45% > 490 का 10%।
200 का 25% ही 50 होता है। इसलिए उसका 45%, 50 से अधिक है।
490 का 10%, 49 है। अतः बाईं ओर का मान अधिक है।
(vi) 80 का 30% > 64 का 24%।
बाईं ओर संख्या और प्रतिशत दोनों अधिक हैं।
5. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए।
(i) k का 30%, 70 है, k का 60%, ___ है, k का 90%, ___ है, k का 120%, ___ है।
(ii) m का 100%, 215 है, m का 10%, ___ है, m का 1%, ___ है, m का 6%, ___ है।
(iii) n का 90%, 270 है, n का 9%, ___ है, n का 18%, ___ है, n का 100%, ___ है।
(iv) ऐसे दो और प्रश्न बनाइए और अपने सहपाठियों को उन्हें हल करने के लिए अभिप्रेरित कीजिए।
उत्तर:
(i) 60%, 30% का दोगुना है।
k का 60% = 2 × 70 = 140।
k का 90% = 3 × 70 = 210।
k का 120% = 4 × 70 = 280।
अतः रिक्त स्थानों में 140, 210 और 280 आएँगे।
(ii) m का 100% = 215।
m का 10% = 215 ÷ 10 = 21.5।
m का 1% = 215 ÷ 100 = 2.15।
m का 6% = 6 × 2.15 = 12.9।
अतः रिक्त स्थानों में 21.5, 2.15 और 12.9 आएँगे।
(iii) n का 90% = 270।
n का 9% = 270 ÷ 10 = 27।
n का 18% = 2 × 27 = 54।
n का 100% = 270 ÷ 90 × 100 = 300।
अतः रिक्त स्थानों में 27, 54 और 300 आएँगे।
(iv) मैंने ये दो प्रश्न बनाए:
प्रश्न 1: a का 20%, 40 है। a का 10%, ___ है; a का 50%, ___ है; a का 100%, ___ है।
हल: a का 10% = 20, a का 50% = 100 और a का 100% = 200।
प्रश्न 2: b का 25%, 60 है। b का 50%, ___ है; b का 75%, ___ है; b का 100%, ___ है।
हल: b का 50% = 120, b का 75% = 180 और b का 100% = 240।
6. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए।
(i) 300 का _____ % 3 है।
(ii) 4 का 40% ____ है।
(iii) _____ का 80% 40 है।
उत्तर:
(i) प्रतिशत = 3/300 × 100 = 1।
अतः 300 का 1% 3 है।
(ii) 4 का 40% = 40/100 × 4 = 1.6।
(iii) यदि किसी संख्या का 80%, 40 है, तो
उसका 1% = 40 ÷ 80 = 0.5।
उसका 100% = 0.5 × 100 = 50।
अतः 50 का 80% 40 है।
7. क्या एक दिन का 10%, एक सप्ताह के 1% से बड़ा है? ऐसे प्रश्न बनाइए और इन्हें हल करने के लिए अपने सहपाठियों को चुनौती दीजिए।
उत्तर:
1 दिन = 24 घंटे = 1440 मिनट।
एक दिन का 10% = 10/100 × 1440 = 144 मिनट।
1 सप्ताह = 7 दिन = 7 × 1440 = 10080 मिनट।
एक सप्ताह का 1% = 1/100 × 10080 = 100.8 मिनट।
चूँकि 144 > 100.8, इसलिए एक दिन का 10%, एक सप्ताह के 1% से बड़ा है।
मैंने अपने सहपाठियों के लिए ये प्रश्न बनाए:
प्रश्न 1: क्या एक घंटे का 25%, एक दिन के 1% से बड़ा है?
हल: एक घंटे का 25% = 15 मिनट और एक दिन का 1% = 14.4 मिनट। इसलिए हाँ।
प्रश्न 2: क्या 1 kg का 5%, 500 g के 10% से बड़ा है?
हल: 1 kg का 5% = 50 g और 500 g का 10% = 50 g। इसलिए नहीं, दोनों बराबर हैं।
8. मरियम के पास खेती के लिए एक अनोखा बैल है। एक दिन उसने बैल को 2 इकाई चारा दिया और बैल ने उसमें से 1 इकाई चारा खा लिया। इसके अगले दिन उसने बैल को 3 इकाई चारा दिया और बैल ने उसमें से 2 इकाई खा लिया। अगले दिन उसने बैल को 4 इकाई चारा दिया और बैल ने 3 इकाई खा लिया। यह प्रक्रिया निरंतर चलती रही और 99वें दिन उसने बैल को 100 इकाई चारा दिया और बैल ने 99 इकाई चारा खा लिया। इन मात्राओं को प्रतिशत के रूप में व्यक्त कीजिए। यह कार्य पूरी कक्षा के विद्यार्थियों में बाँटा जा सकता है। बताइए कि आपने क्या अवलोकन किया?
उत्तर:
खाए गए चारे का प्रतिशत = (खाया गया चारा ÷ दिया गया चारा) × 100।
पहले दिन = 1/2 × 100 = 50%।
दूसरे दिन = 2/3 × 100 ≈ 66.67%।
तीसरे दिन = 3/4 × 100 = 75%।
99वें दिन = 99/100 × 100 = 99%।
nवें दिन (n + 1) इकाई चारा दिया जाता है और n इकाई खाया जाता है।
अतः nवें दिन खाए गए चारे का प्रतिशत = [n/(n + 1)] × 100।
नीचे की तालिकाओं में n दिन संख्या है, F दिया गया चारा है, E खाया गया चारा है और P खाए गए चारे का प्रतिशत है। चारे की मात्राएँ इकाइयों में हैं। प्रतिशत के मान दो दशमलव स्थानों तक लिखे हैं।
दिन 1 से 33:
दिन 34 से 66:
दिन 67 से 99:
मेरा अवलोकन:
- हर दिन 1 इकाई चारा बचता है।
- खाए गए चारे का प्रतिशत हर दिन बढ़ता है।
- बचा हुआ चारा कुल चारे का कम प्रतिशत होता जाता है।
- खाए गए चारे का प्रतिशत 100% के निकट पहुँचता है, पर 100% नहीं होता।
9. कॉफी के बागान में कार्य करने वाले श्रमिक बागान के 20% भाग में कॉफी के फल तोड़ने में 18 दिन लगाते हैं। यदि उनके कार्य करने की गति समान रहती है तो बताइए कि श्रमिकों को पूरे बागान के फल तोड़ने के कार्य को पूरा करने में कितना समय लगेगा? विचार कीजिए कि यहाँ श्रमिकों के कार्य करने की समान गति की कल्पना क्यों आवश्यक है?
उत्तर:
20% भाग का काम करने में समय = 18 दिन।
100% भाग का काम करने में समय = 18 × 100/20
= 18 × 5
= 90 दिन।
अतः पूरे बागान का काम शुरू से पूरा करने में 90 दिन लगेंगे। पहले 18 दिन के बाद शेष समय 90 − 18 = 72 दिन होगा।
काम की गति समान रहना आवश्यक है, क्योंकि तभी 5 गुना काम के लिए 5 गुना समय लगेगा। गति बदलने पर काम और समय का यह अनुपात समान नहीं रहेगा।
10. बैडमिंटन के प्रशिक्षक ने प्रशिक्षण सत्र की योजना इस प्रकार से बनाई है जिसमें वार्मअप की अवधि : खेल की अवधि : विश्राम की अवधि का अनुपात : 10% : 80% : 10% है। यदि प्रशिक्षक 90 मिनट का एक प्रशिक्षण सत्र संचालित करना चाहते हैं तो बताइए कि प्रत्येक गतिविधि कितने समय में पूर्ण होगी?
उत्तर:
वार्मअप की अवधि = 90 का 10%
= 10/100 × 90 = 9 मिनट।
खेल की अवधि = 90 का 80%
= 80/100 × 90 = 72 मिनट।
विश्राम की अवधि = 90 का 10%
= 10/100 × 90 = 9 मिनट।
अतः वार्मअप 9 मिनट, खेल 72 मिनट और विश्राम 9 मिनट होगा।
11. एक अनुमान के अनुसार विश्व की कुल जनसंख्या का 90% उत्तरी गोलार्द्ध में निवास करता है। इस वर्ष की विश्व की कुल जनसंख्या के आधार पर उत्तरी गोलार्द्ध में निवास करने वाले व्यक्तियों की संख्या (सन्निकट मान) ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
इस गणना के लिए विश्व की कुल जनसंख्या लगभग 8.2 अरब लेते हैं।
उत्तरी गोलार्द्ध की जनसंख्या = 8.2 अरब का 90%
= 90/100 × 8.2 अरब
= 7.38 अरब।
अतः उत्तरी गोलार्द्ध में लगभग 7.38 अरब, अर्थात 738 करोड़ व्यक्ति निवास करते हैं।
12. 4 व्यक्तियों के लिए हलवा बनाने की व्यंजन विधि में निम्नलिखित सामग्रियाँ दिए गए अनुपात में उपयोग में लाई गई हैं – रवा 40%, चीनी 40% और घी 20%
(i) यदि आप 8 लोगों के लिए हलवा बनाना चाहते हैं तो बताइए कि उपर्युक्त सामग्रियों में से प्रत्येक का अनुपात क्या होगा?
(ii) यदि सामग्रियों का कुल भार 2 kg है तो इसमें रवा, चीनी और घी की मात्रा कितनी है?
उत्तर:
(i) 8 लोगों के लिए प्रत्येक सामग्री की मात्रा दोगुनी होगी, लेकिन उनका अनुपात नहीं बदलेगा।
रवा : चीनी : घी = 40 : 40 : 20
= 2 : 2 : 1।
इसलिए रवा 40%, चीनी 40% और घी 20% ही रहेंगे।
(ii) कुल भार = 2 kg।
रवा = 40/100 × 2 = 0.8 kg = 800 g।
चीनी = 40/100 × 2 = 0.8 kg = 800 g।
घी = 20/100 × 2 = 0.4 kg = 400 g।
कक्षा 8 गणित प्रकाश भाग 2 के पेज 19 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:
पेज 19 – आइए, पता लगाएँ
1. एक दुकानदार ₹75 में एक ज्यामिति का बॉक्स (Geometry box) क्रय करता है और इसे ₹110 में विक्रय कर देता है। बताइए कि क्रय मूल्य के सापेक्ष उसका लाभ कितना है?
उत्तर:
क्रय मूल्य = ₹75
विक्रय मूल्य = ₹110
लाभ = विक्रय मूल्य − क्रय मूल्य
= ₹110 − ₹75
= ₹35
क्रय मूल्य के सापेक्ष लाभ प्रतिशत = (35/75 × 100)%
= (140/3)%
= 46⅔%
अतः लाभ ₹35 और लाभ प्रतिशत 46⅔% है।
2. मैं एक बढ़ई हूँ और कुर्सियाँ बनाता हूँ। एक कुर्सी की निर्माण सामग्रियों का मूल्य ₹475 है और मैं इन कुर्सियों पर 50% लाभांतर चाहता हूँ। बताइए कि मुझे किस मूल्य पर एक कुर्सी का विक्रय करना चाहिए?
उत्तर:
लाभांतर की गणना विक्रय मूल्य के आधार पर होती है।
विक्रय मूल्य का 50% लाभ है। इसलिए शेष 50% निर्माण सामग्रियों का मूल्य है।
विक्रय मूल्य का 50% = ₹475
विक्रय मूल्य का 100% = ₹475 × 100/50
= ₹950
अतः मुझे एक कुर्सी ₹950 में बेचनी चाहिए।
3. एक कंपनी की कुल बिक्री (जिसे राजस्व या कुल अर्जित आय भी कहा जाता है) गत वर्ष ₹2.5 करोड़ थी। उन्होंने 25% का अच्छा लाभ अर्जित किया था। बताइए कि गत वर्ष कंपनी का कुल व्यय (लागत) कितना था?
उत्तर:
लाभांतर के लिए कुल बिक्री को 100% लेते हैं।
लाभ = कुल बिक्री का 25%
इसलिए कुल व्यय = कुल बिक्री का (100 − 25)%
= कुल बिक्री का 75%
कुल व्यय = ₹2.5 करोड़ × 75/100
= ₹1.875 करोड़
= ₹1,87,50,000
अतः कंपनी का कुल व्यय ₹1,87,50,000 था।
4. वस्त्रों की एक दुकान पर सभी शर्ट पर 25% की छूट है। यदि किसी शर्ट का वास्तविक मूल्य ₹300 है तो बताइए कि अनवर को इस शर्ट को खरीदने के लिए कितनी राशि देनी होगी?
उत्तर:
छूट = ₹300 का 25%
= ₹300 × 25/100
= ₹75
छूट के बाद मूल्य = ₹300 − ₹75
= ₹225
अतः अनवर को ₹225 देने होंगे।
5. पेट्रोल का मूल्य वर्ष 2015 में ₹60 था और वर्ष 2025 में यह मूल्य ₹100 था। बताइए कि पेट्रोल के मूल्य में कितने प्रतिशत की वृद्धि हुई?
(i) 50% (ii) 40% (iii) 60%
(iv) 66.66% (v) 140% (vi) 160.66%
उत्तर:
मूल्य में वृद्धि = ₹100 − ₹60 = ₹40
प्रतिशत वृद्धि = (40/60 × 100)%
= (200/3)%
= 66⅔%
दिए गए विकल्पों में (iv) 66.66% इस मान के सबसे निकट है।
6. सैमसन ने किसी कार विक्रेता से 15% की छूट पर ₹4,40,000 में एक कार खरीदी। बताइए कि कार का वास्तविक मूल्य कितना था?
उत्तर:
छूट के बाद दिया गया मूल्य = वास्तविक मूल्य का (100 − 15)%
= वास्तविक मूल्य का 85%
वास्तविक मूल्य का 85% = ₹4,40,000
वास्तविक मूल्य = ₹4,40,000 × 100/85
= ₹88,00,000/17
≈ ₹5,17,647.06
अतः कार का वास्तविक मूल्य लगभग ₹5,17,647.06 था।
7. एक चुनाव में 1600 मतदाताओं ने मतदान किया। इस चुनाव में विजेता को 500 मत प्राप्त हुए। बताइए कि विजेता को कुल मतों के कितने प्रतिशत मत प्राप्त हुए? क्या आप चुनाव में सम्मिलित होने वाले उम्मीदवारों की न्यूनतम संख्या का अनुमान लगा सकते हैं?
उत्तर:
विजेता को प्राप्त मतों का प्रतिशत = (500/1600 × 100)%
= 31.25%
शेष उम्मीदवारों को प्राप्त कुल मत = 1600 − 500 = 1100
यदि कुल 3 उम्मीदवार होते, तो शेष 2 उम्मीदवारों में से कम-से-कम एक को 550 या उससे अधिक मत मिलते। तब 500 मत पाने वाला उम्मीदवार विजेता नहीं होता।
4 उम्मीदवार होने पर मत इस प्रकार हो सकते हैं: 500, 400, 350 और 350। इनका योग 1600 है और 500 सबसे अधिक हैं।
अतः उम्मीदवारों की न्यूनतम संख्या 4 है।
8. वर्ष 2024 में 1 kg चावल का मूल्य ₹38 था। वर्ष 2025 में यह मूल्य ₹42 प्रति kg था। बताइए कि मुद्रास्फीति की दर क्या होगी? (मुद्रास्फीति मूल्य में प्रतिशत वृद्धि है)।
उत्तर:
मूल्य में वृद्धि = ₹42 − ₹38 = ₹4
मुद्रास्फीति की दर = (4/38 × 100)%
= (200/19)%
≈ 10.53%
अतः मुद्रास्फीति की दर लगभग 10.53% है।
9. किसी संख्या में 20% की वृद्धि होने पर यह 90 हो जाती है। बताइए कि यह संख्या क्या होगी?
उत्तर:
मूल संख्या का (100 + 20)% = 90
मूल संख्या का 120% = 90
मूल संख्या = 90 × 100/120
= 75
अतः मूल संख्या 75 है।
10. एक दूधवाले ने दो भैंसों में से प्रत्येक भैंस को ₹80,000 में बेचा। उनमें से एक भैंस पर उसने 5% लाभ और दूसरी पर 10% हानि अर्जित की। कुल लाभ या हानि ज्ञात कीजिए?
उत्तर:
पहली भैंस का विक्रय मूल्य उसके क्रय मूल्य का 105% है।
पहली भैंस का क्रय मूल्य = ₹80,000 × 100/105
= ₹16,00,000/21
दूसरी भैंस का विक्रय मूल्य उसके क्रय मूल्य का 90% है।
दूसरी भैंस का क्रय मूल्य = ₹80,000 × 100/90
= ₹8,00,000/9
कुल क्रय मूल्य = ₹(16,00,000/21 + 8,00,000/9)
= ₹1,04,00,000/63
कुल विक्रय मूल्य = ₹80,000 + ₹80,000 = ₹1,60,000
कुल क्रय मूल्य अधिक है, इसलिए हानि हुई।
हानि = ₹(1,04,00,000/63 − 1,60,000)
= ₹3,20,000/63
≈ ₹5,079.37
अतः दूधवाले को लगभग ₹5,079.37 की कुल हानि हुई।
11. गत एक दशक में एक राष्ट्रीय उद्यान में हाथियों की संख्या में 5% की वृद्धि हुई। यदि गत दशक में हाथियों की संख्या p थी तो अब हाथियों की संख्या कितनी है?
(i) p × 0.5 (ii) p × 0.05 (iii) p × 1.5
(iv) p × 1.05 (v) p + 1.50
उत्तर:
हाथियों की संख्या में वृद्धि = p का 5% = 0.05p
अब हाथियों की संख्या = p + 0.05p
= 1.05p
अतः सही विकल्प (iv) p × 1.05 है।
12. निम्नलिखित कथन (कथनों) में से कौन-सा कथन इस कथन के अनुरूप है- “विगत एक दशक की अवधि में कैमरों की माँग में 85% की कमी आई है?”
(i) वर्तमान माँग गत दशक की माँग का 85% है।
(ii) गत दशक की माँग वर्तमान माँग का 85% है।
(iii) वर्तमान माँग गत एक दशक की माँग का 15% है।
(iv) गत दशक की माँग वर्तमान की माँग का 15% है।
(v) गत दशक की माँग वर्तमान माँग का 185% है।
(vi) वर्तमान माँग गत दशक की माँग का 185% है।
उत्तर:
गत दशक की माँग को 100% लेते हैं।
85% की कमी के बाद वर्तमान माँग = 100% − 85%
= 15%
इसलिए वर्तमान माँग गत दशक की माँग का 15% है।
अतः केवल कथन (iii) सही है।
कक्षा 8 गणित प्रकाश भाग 2 के पेज 22 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:
पेज 22 – आइए, पता लगाएँ
1. याहापुर बैंक 10% वार्षिक ब्याज देने का ऑफर देता है। तुलना कीजिए कि यदि कोई व्यक्ति ₹20,000 की धनराशि 2 वर्षों के लिए जमा करता है तो वार्षिक साधारण ब्याज और चक्रवृद्धि ब्याज की स्थिति में उसे कितनी धनराशि (मिश्रधन) प्राप्त होगी?
उत्तर:
साधारण ब्याज की स्थिति में:
एक वर्ष का ब्याज = ₹20,000 × 10/100 = ₹2,000
दो वर्षों का ब्याज = ₹2,000 × 2 = ₹4,000
मिश्रधन = ₹20,000 + ₹4,000 = ₹24,000
वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की स्थिति में:
पहले वर्ष के बाद मिश्रधन = ₹20,000 × 1.10 = ₹22,000
दूसरे वर्ष के बाद मिश्रधन = ₹22,000 × 1.10 = ₹24,200
चक्रवृद्धि ब्याज = ₹24,200 − ₹20,000 = ₹4,200
दोनों मिश्रधनों का अंतर = ₹24,200 − ₹24,000 = ₹200
अतः साधारण ब्याज पर ₹24,000 और वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर ₹24,200 मिलेंगे। चक्रवृद्धि की स्थिति में ₹200 अधिक मिलेंगे।
2. वाहापुर बैंक 5% वार्षिक ब्याज देने का ऑफर देता है। तुलना कीजिए कि यदि कोई व्यक्ति ₹20,000 की धनराशि 4 वर्षों के लिए जमा करता है तो वार्षिक साधारण ब्याज और चक्रवृद्धि ब्याज की स्थिति में उसे कितनी धनराशि (मिश्रधन) प्राप्त होगी?
उत्तर:
साधारण ब्याज की स्थिति में:
एक वर्ष का ब्याज = ₹20,000 × 5/100 = ₹1,000
चार वर्षों का ब्याज = ₹1,000 × 4 = ₹4,000
मिश्रधन = ₹20,000 + ₹4,000 = ₹24,000
वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की स्थिति में:
पहले वर्ष के बाद मिश्रधन = ₹20,000 × 1.05 = ₹21,000
दूसरे वर्ष के बाद मिश्रधन = ₹21,000 × 1.05 = ₹22,050
तीसरे वर्ष के बाद मिश्रधन = ₹22,050 × 1.05 = ₹23,152.50
चौथे वर्ष के बाद मिश्रधन = ₹23,152.50 × 1.05 = ₹24,310.125
पैसे तक सन्निकट करने पर मिश्रधन = ₹24,310.13
चक्रवृद्धि ब्याज = ₹24,310.125 − ₹20,000 = ₹4,310.125
दोनों मिश्रधनों का अंतर = ₹24,310.125 − ₹24,000
= ₹310.125
≈ ₹310.13
अतः साधारण ब्याज पर ₹24,000 और वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर लगभग ₹24,310.13 मिलेंगे। चक्रवृद्धि की स्थिति में लगभग ₹310.13 अधिक मिलेंगे।
3. क्या आपने उपर्युक्त दोनों प्रश्नों को हल करते समय कुछ रोचकता देखी? अपने विचार साझा कीजिए और उन पर चर्चा कीजिए।
उत्तर:
हाँ, दोनों प्रश्नों में मूलधन ₹20,000 है।
पहले प्रश्न में दर × समय = 10 × 2 = 20
दूसरे प्रश्न में दर × समय = 5 × 4 = 20
इसलिए दोनों में साधारण ब्याज ₹4,000 और मिश्रधन ₹24,000 मिलता है।
लेकिन चक्रवृद्धि ब्याज की स्थिति में पहले प्रश्न का मिश्रधन ₹24,200 है और दूसरे प्रश्न का मिश्रधन ₹24,310.125 है।
अंतर = ₹24,310.125 − ₹24,200
= ₹110.125
≈ ₹110.13
दूसरे प्रश्न में दर आधी और समय दोगुना है। फिर भी वार्षिक चक्रवृद्धि से लगभग ₹110.13 अधिक मिलते हैं। इसमें ब्याज चार वर्षों तक मूलधन में जुड़ता रहता है और जुड़े हुए ब्याज पर भी ब्याज मिलता है।
कक्षा 8 गणित प्रकाश भाग 2 के पेज 24 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:
पेज 24 – आइए, पता लगाएँ
1. जैस्मिन ‘p’ धनराशि 6% वार्षिक ब्याज दर से 4 वर्षों के लिए निवेश करती है। निम्नलिखित व्यंजक या व्यंजकों में से कौन-सा व्यंजक यह दर्शाता है कि 4 वर्षों के पश्चात जैस्मिन कुल कितनी धनराशि प्राप्त करेगी जबकि यहाँ चक्रवृद्धि ब्याज लागू नहीं हो रहा है?
(i) p × 6 × 4
(ii) p × 0.6 × 4
(iii) p × (0.6/100) × 4
(iv) p × (0.06/100) × 4
(v) p × 1.6 × 4
(vi) p × 1.06 × 4
(vii) p + (p × 0.06 × 4)
उत्तर:
एक वर्ष का साधारण ब्याज = p × 6/100 = 0.06p
चार वर्षों का साधारण ब्याज = p × 0.06 × 4 = 0.24p
कुल धनराशि = मूलधन + ब्याज
= p + (p × 0.06 × 4)
= 1.24p
अतः सही विकल्प (vii) है।
2. एक डाकघर 7% प्रति वर्ष की दर से ब्याज प्रदान करने का ऑफर देता है। साधारण ब्याज की स्थिति में यदि कोई व्यक्ति 3 वर्षों के लिए ₹50,000 का निवेश करता है तो बताइए कि ब्याज के रूप में वह कितनी धनराशि प्राप्त करेगा? इसके साथ यह भी बताइए कि चक्रवृद्धि ब्याज की स्थिति में उसे कितनी धनराशि प्राप्त होगी?
उत्तर:
साधारण ब्याज = ₹50,000 × 7/100 × 3
= ₹10,500
साधारण ब्याज सहित कुल धनराशि = ₹50,000 + ₹10,500
= ₹60,500
वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की स्थिति में:
पहले वर्ष के बाद धनराशि = ₹50,000 × 1.07 = ₹53,500
दूसरे वर्ष के बाद धनराशि = ₹53,500 × 1.07 = ₹57,245
तीसरे वर्ष के बाद धनराशि = ₹57,245 × 1.07 = ₹61,252.15
चक्रवृद्धि ब्याज = ₹61,252.15 − ₹50,000
= ₹11,252.15
चक्रवृद्धि से अधिक प्राप्त ब्याज = ₹11,252.15 − ₹10,500
= ₹752.15
अतः साधारण ब्याज ₹10,500 और चक्रवृद्धि ब्याज ₹11,252.15 होगा। चक्रवृद्धि ब्याज सहित कुल ₹61,252.15 मिलेंगे।
3. गिरिधर 12% वार्षिक ब्याज की दर से ₹12,500 साधारण ब्याज पर ऋण लेता है। जबकि राघव समान धनराशि समान वर्षों के लिए 10% वार्षिक दर से चक्रवृद्धि ब्याज के साथ ऋण लेता है। बताइए कि इन दोनों में से कौन अधिक ब्याज का भुगतान करेगा और इनके ब्याज का अंतर कितना होगा?
उत्तर:
ऋण की अवधि नहीं दी गई है, इसलिए एक निश्चित उत्तर नहीं निकाला जा सकता।
दोनों ऋणों की अवधि 3 वर्ष मानकर:
गिरिधर का साधारण ब्याज = ₹12,500 × 12/100 × 3
= ₹4,500
राघव की धनराशि हर वर्ष 1.10 गुनी होगी।
तीन वर्षों के बाद मिश्रधन = ₹12,500 × 1.10 × 1.10 × 1.10
= ₹16,637.50
राघव का चक्रवृद्धि ब्याज = ₹16,637.50 − ₹12,500
= ₹4,137.50
ब्याज का अंतर = ₹4,500 − ₹4,137.50
= ₹362.50
अतः यदि दोनों ऋण 3 वर्षों के लिए हों, तो गिरिधर ₹362.50 अधिक ब्याज देगा। ऋण की अवधि बदलने पर तुलना का परिणाम भी बदल सकता है।
4. ₹1000 की धनराशि लेते हैं। यदि इसमें 10% की वार्षिक दर से वृद्धि होती है तो बताइए कि ब्याज चक्रवृद्धि होने एवं चक्रवृद्धि ना होने, दोनों स्थितियों में इसे दोगुना होने में कितना समय लगेगा? क्या चक्रवृद्धि ब्याज घातांकी वृद्धि का उदाहरण है? विचार कीजिए कि साधारण ब्याज रेखीय वृद्धि का उदाहरण है?
उत्तर:
साधारण ब्याज की स्थिति में:
हर वर्ष का ब्याज = ₹1000 × 10/100 = ₹100
दोगुना होने के लिए आवश्यक वृद्धि = ₹2000 − ₹1000 = ₹1000
आवश्यक समय = 1000 ÷ 100 = 10 वर्ष
वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की स्थिति में:
हर वर्ष धनराशि 1.10 गुनी होती है।
7 वर्षों के बाद धनराशि = ₹1000 × (1.10)⁷
= ₹1948.7171
8 वर्षों के बाद धनराशि = ₹1000 × (1.10)⁸
= ₹2143.58881
7 वर्षों के बाद धनराशि ₹2000 से कम है, लेकिन 8वें वर्ष के अंत में पहली बार ₹2000 से अधिक हो जाती है। इसलिए वार्षिक चक्रवृद्धि की स्थिति में धनराशि दोगुनी या उससे अधिक होने के लिए 8 वर्ष लगेंगे।
हाँ, चक्रवृद्धि ब्याज घातांकी वृद्धि का उदाहरण है, क्योंकि हर वर्ष धनराशि एक ही गुणक 1.10 से बढ़ती है। t वर्षों के बाद धनराशि 1000 × (1.10)ᵗ होती है।
साधारण ब्याज रेखीय वृद्धि का उदाहरण है, क्योंकि हर वर्ष समान राशि ₹100 जुड़ती है। t वर्षों के बाद धनराशि 1000 + 100t होती है।
5. एक नगर की जनसंख्या में प्रति वर्ष 3% की वृद्धि हो रही है। यदि वर्तमान जनसंख्या 1.5 करोड़ है तो बताइए कि आगामी 3 वर्षों में अनुमानित जनसंख्या कितनी होगी?
उत्तर:
वर्तमान जनसंख्या = 1.5 करोड़ = 1,50,00,000
हर वर्ष जनसंख्या 103/100 = 1.03 गुनी हो जाती है।
एक वर्ष के बाद जनसंख्या = 1,50,00,000 × 1.03
= 1,54,50,000
दो वर्षों के बाद जनसंख्या = 1,54,50,000 × 1.03
= 1,59,13,500
तीन वर्षों के बाद जनसंख्या = 1,59,13,500 × 1.03
= 1,63,90,905
अतः आगामी 3 वर्षों के बाद अनुमानित जनसंख्या 1,63,90,905 होगी।
6. एक प्रयोगशाला में किसी प्रयोग के समय जीवाणुओं की संख्या में 2.5% प्रति घंटे की दर से वृद्धि होती है। 2 घंटे में जीवाणुओं की संख्या में कितनी वृद्धि हुई यदि प्रारंभ में इसकी संख्या 5,06,000 थी।
उत्तर:
हर घंटे जीवाणुओं की संख्या (100 + 2.5)/100 = 1.025 गुनी होती है।
एक घंटे के बाद संख्या = 5,06,000 × 1.025
= 5,18,650
दो घंटे के बाद संख्या = 5,18,650 × 1.025
= 5,31,616.25
दो घंटे में वृद्धि = 5,31,616.25 − 5,06,000
= 25,616.25
अतः जीवाणुओं की संख्या में लगभग 25,616 की वृद्धि हुई। दो घंटे के बाद उनकी संख्या लगभग 5,31,616 होगी।
कक्षा 8 गणित प्रकाश भाग 2 के पेज 28 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:
पेज 28 – आइए, पता लगाएँ
1. वर्ष 2025 में बेंगलुरु की जनसंख्या, वर्ष 2000 की जनसंख्या का लगभग 250% है। यदि वर्ष 2000 में जनसंख्या 50 लाख थी तो बताइए वर्ष 2025 में जनसंख्या कितनी होगी?
उत्तर:
वर्ष 2025 में जनसंख्या = 50 लाख का 250%
= 250/100 × 50 लाख
= 125 लाख।
अतः वर्ष 2025 में बेंगलुरु की जनसंख्या लगभग 1 करोड़ 25 लाख होगी।
2. वर्ष 2025 में विश्व की जनसंख्या 8.2 अरब (820 करोड़) है। वर्ष 2025 में विश्व के कुछ देशों की जनसंख्या निम्नलिखित है। उनका मिलान वैश्विक जनसंख्या में उनके अनुमानित प्रतिशत भाग से कीजिए। [संकेत — इन संख्याओं को इनके मानक रूप में लिखिए। इससे आकलन में सहायता प्राप्त हो सकती है।]
उत्तर:
विश्व की जनसंख्या = 8.2 बिलियन = 8200 मिलियन।
(i) जर्मनी का प्रतिशत भाग = 83/8200 × 100
≈ 1.01%।
अतः जर्मनी का मिलान 1% से होगा।
(ii) बांग्लादेश का प्रतिशत भाग = 175/8200 × 100
≈ 2.13%।
अतः बांग्लादेश का मिलान 2% से होगा।
(iii) सं.रा.अमरीका का प्रतिशत भाग = 347/8200 × 100
≈ 4.23%।
अतः इसका अनुमानित भाग 4% है, लेकिन 4% का विकल्प नहीं है।
(iv) भारत के लिए 146 बिलियन लेने पर,
प्रतिशत भाग = 146/8.2 × 100
≈ 1780.49%।
यह विश्व की पूरी जनसंख्या से भी अधिक है। इसलिए भारत की जनसंख्या में त्रुटि है। यदि यह 1.46 बिलियन हो, तो
प्रतिशत भाग = 1.46/8.2 × 100
≈ 17.80%
≈ 18%।
इस प्रकार, भारत की जनसंख्या 1.46 बिलियन होने पर उसका मिलान 18% से होगा।
3. एक मोबाइल फोन का मूल्य ₹8,250 है। इसके मूल्य में 18% वस्तु एवं सेवा कर (जी.एस.टी.) जोड़ा गया है। निम्नलिखित में कौन-सा विकल्प वस्तु एवं सेवा कर सहित फोन का अंतिम मूल्य दर्शाता है?
(i) 8250 + 18
(ii) 8250 + 1800
(iii) 8250 + 18/100
(iv) 8250 × 18
(v) 8250 × 1.18
(vi) 8250 + 8250 × 0.18
(vii) 1.8 × 8250
उत्तर:
जी.एस.टी. = ₹8250 का 18%
= 18/100 × ₹8250
= ₹1485।
अंतिम मूल्य = ₹8250 + ₹1485
= ₹9735।
इसे 8250 × 1.18 या 8250 + 8250 × 0.18 के रूप में लिख सकते हैं।
अतः सही विकल्प (v) और (vi) हैं।
4. एक प्रयोगशाला में चूहों की संख्या में मासिक प्रतिशत परिवर्तन (विगत माह की तुलना में) दिया गया है — प्रथम माह में परिवर्तन +5% था, द्वितीय माह में परिवर्तन −2% था और तृतीय माह में परिवर्तन −3% था। निम्नलिखित में से कौन-सा (कौन-से) कथन सत्य है (हैं)? ध्यान दीजिए कि चूहों की प्रारंभिक संख्या p है।
(i) तीन माह के पश्चात चूहों की संख्या p × 0.05 × 0.02 × 0.03 थी।
(ii) तीन माह के पश्चात चूहों की संख्या p × 1.05 × 0.98 × 0.97 थी।
(iii) तीन माह के पश्चात चूहों की संख्या p + 0.05 − 0.02 − 0.03 थी।
(iv) तीन माह के पश्चात चूहों की संख्या p थी।
(v) तीन माह के पश्चात चूहों की संख्या p से अधिक थी।
(vi) तीन माह के पश्चात चूहों की संख्या p से कम थी।
उत्तर:
पहले माह के बाद संख्या = p × 1.05।
दूसरे माह के बाद संख्या = p × 1.05 × 0.98।
तीसरे माह के बाद संख्या = p × 1.05 × 0.98 × 0.97
= 0.99813p।
चूँकि 0.99813p < p, इसलिए तीन माह के बाद चूहों की संख्या प्रारंभिक संख्या से कम है।
अतः कथन (ii) और (vi) सत्य हैं।
5. एक दुकानदार ने किसी वस्तु का प्रारंभिक मूल्य 35% लाभांश के साथ निर्धारित किया। अत्यंत कम बिक्री होने के कारण दुकानदार ने विक्रय मूल्य पर 30% छूट देने का निर्णय लिया। बताइए कि वह लाभ अर्जित करेगा या हानि? अपने उत्तर के लिए तर्क दीजिए।
उत्तर:
मान लीजिए वस्तु का क्रय मूल्य ₹100 है।
35% लाभ जोड़ने पर मूल्य = ₹100 + ₹35 = ₹135।
छूट = ₹135 का 30%
= 30/100 × ₹135
= ₹40.50।
छूट के बाद विक्रय मूल्य = ₹135 − ₹40.50
= ₹94.50।
हानि = ₹100 − ₹94.50 = ₹5.50।
हानि प्रतिशत = 5.50/100 × 100 = 5.5%।
अतः दुकानदार को 5.5% की हानि होगी।
6. आगे दिए गए चित्र में ‘E’ से चिह्नित क्षेत्र कितने प्रतिशत क्षेत्रफल को घेरता है?
उत्तर:
बड़े वर्ग की भुजा 8 इकाई है।
उसका क्षेत्रफल = 8 × 8 = 64 वर्ग इकाई।
क्षेत्र E एक समकोण त्रिभुज है। इसका आधार और ऊँचाई, दोनों 4 इकाई हैं।
क्षेत्र E का क्षेत्रफल = 1/2 × 4 × 4 = 8 वर्ग इकाई।
क्षेत्र E का प्रतिशत क्षेत्रफल = 8/64 × 100
= 12.5%।
अतः क्षेत्र E कुल क्षेत्रफल का 12.5% भाग घेरता है।
7. 40 का 5% कितना है? 5 का 40% कितना है? 12 का 25% कितना है? 25 का 12% कितना है? 60 का 15% कितना है? 15 का 60% कितना है? आपने क्या अवलोकन किया?
क्या आप एक सामान्य कथन बना सकते हैं और उसे बीजगणित के प्रयोग से सिद्ध कर सकते हैं जहाँ y% के x और x% के y की तुलना की जाए।
उत्तर:
40 का 5% = 5/100 × 40 = 2।
5 का 40% = 40/100 × 5 = 2।
12 का 25% = 25/100 × 12 = 3।
25 का 12% = 12/100 × 25 = 3।
60 का 15% = 15/100 × 60 = 9।
15 का 60% = 60/100 × 15 = 9।
प्रत्येक जोड़े में दोनों मान बराबर हैं।
सामान्य कथन: x का y%, y के x% के बराबर होता है।
x का y% = y/100 × x = xy/100।
y का x% = x/100 × y = xy/100।
दोनों मान समान हैं। अतः कथन सिद्ध हुआ।
8. एक विद्यालय अपने विद्यार्थियों के लिए भ्रमण यात्रा का आयोजन कर रहा है। इनमें से 40% विद्यार्थी कक्षा 8 के हैं और शेष विद्यार्थी कक्षा 9 के हैं। कक्षा 8 के इन विद्यार्थियों में 60% लड़कियाँ हैं
[संकेत — कच्चा आरेख बनाना सहायक हो सकता है।]
(i) भ्रमण यात्रा पर जा रहे विद्यार्थियों में कक्षा 8 की लड़कियों का प्रतिशत क्या है?
(ii) यदि भ्रमण यात्रा पर जा रहे विद्यार्थियों की कुल संख्या 160 हो तो बताइए इनमें कक्षा 8 की लड़कियों की संख्या कितनी है?
उत्तर:
(i) कक्षा 8 के विद्यार्थी कुल विद्यार्थियों का 40% हैं। इनमें 60% लड़कियाँ हैं।
कक्षा 8 की लड़कियों का प्रतिशत = 60/100 × 40%
= 24%।
अतः कुल विद्यार्थियों में कक्षा 8 की लड़कियाँ 24% हैं।
आरेख में VIII और IX क्रमशः कक्षा 8 और कक्षा 9 को दर्शाते हैं। G लड़कियों तथा B लड़कों को दर्शाता है।
(ii) कक्षा 8 के विद्यार्थियों की संख्या = 40/100 × 160 = 64।
कक्षा 8 की लड़कियों की संख्या = 60/100 × 64 = 38.4।
लड़कियों की संख्या 38.4 नहीं हो सकती, क्योंकि विद्यार्थियों की संख्या पूर्ण संख्या होती है। इसलिए कुल 160 विद्यार्थियों के साथ ये दोनों प्रतिशत ठीक-ठीक संभव नहीं हैं।
9. एक दुकानदार पेंसिलें इस मूल्य पर विक्रय करता है कि 3 पेंसिलों का विक्रय मूल्य 5 पेंसिलों के क्रय मूल्य के बराबर हो जाता है। वह लाभ अर्जित करता है या हानि? बताइए कि उसका लाभ या हानि प्रतिशत कितना है?
उत्तर:
मान लीजिए एक पेंसिल का क्रय मूल्य ₹1 है।
3 पेंसिलों का क्रय मूल्य = ₹3।
5 पेंसिलों का क्रय मूल्य = ₹5।
इसलिए 3 पेंसिलों का विक्रय मूल्य = ₹5।
लाभ = ₹5 − ₹3 = ₹2।
लाभ प्रतिशत = 2/3 × 100
= 200/3%
= 66 2/3%।
अतः दुकानदार को 66 2/3% लाभ होता है।
10. गत वर्ष बस के किराये में 3% की वृद्धि हुई थी और वर्तमान वर्ष में 4% की वृद्धि हुई। बताइए कि गत दो वर्षों की अवधि में किराये में कुल कितने प्रतिशत की वृद्धि हुई?
उत्तर:
मान लीजिए पहले किराया ₹100 था।
पहले वर्ष के बाद किराया = ₹100 × 1.03 = ₹103।
दूसरे वर्ष के बाद किराया = ₹103 × 1.04 = ₹107.12।
कुल वृद्धि = ₹107.12 − ₹100 = ₹7.12।
वृद्धि प्रतिशत = 7.12/100 × 100 = 7.12%।
अतः दो वर्षों में कुल वृद्धि 7.12% हुई।
11. यदि आयत की लंबाई में 10% की वृद्धि होती है और क्षेत्रफल अपरिवर्तित रहता है तो बताइए कि चौड़ाई में आई कमी का प्रतिशत कितना है?
उत्तर:
माना आयत की लंबाई l और चौड़ाई b है।
क्षेत्रफल = lb।
नई लंबाई = 110/100 × l = 11l/10।
क्षेत्रफल समान रखने के लिए नई चौड़ाई = lb ÷ (11l/10)
= 10b/11।
चौड़ाई में कमी = b − 10b/11 = b/11।
कमी प्रतिशत = (b/11)/b × 100
= 100/11%
= 9 1/11%।
अतः चौड़ाई में ठीक 9 1/11% की कमी होगी।
12. चित्र में 65 g के चिप्स के पैकेट पर उत्पाद निर्माण सामग्रियों के प्रतिशत को दर्शाया गया है। इस पैकेट में प्रत्येक सामग्री का भार ज्ञात कीजिए?
उत्तर:
आलू का भार = 65 g का 70%
= 70/100 × 65
= 45.5 g।
वनस्पति तेल का भार = 65 g का 24%
= 24/100 × 65
= 15.6 g।
नमक का भार = 65 g का 3%
= 3/100 × 65
= 1.95 g।
मसालों का भार = 65 g का 3%
= 3/100 × 65
= 1.95 g।
13. तीन दुकानें समान वस्तुओं को समान मूल्य पर विक्रय करती हैं। दुकानदार निम्नलिखित प्रस्ताव देते हैं –
दुकान A — “1 क्रय कीजिए और 1 नि:शुल्क पाइए”
दुकान B — “2 क्रय कीजिए और 2 नि:शुल्क पाइए”
दुकान C — “3 क्रय कीजिए और 1 नि:शुल्क पाइए”
उपर्युक्त के आधार पर निम्नलिखित का उत्तर दीजिए—
(i) यदि एक वस्तु का मूल्य ₹100 है तो प्रत्येक दुकान में प्रति वस्तु का प्रभावी मूल्य क्या होगा? दुकानों को उनके मूल्य के अनुसार (सस्ती से महँगी) क्रम में व्यवस्थित कीजिए।
(ii) प्रत्येक दुकान के लिए वस्तुओं पर प्रतिशत छूट की गणना कीजिए? [संकेत — नि:शुल्क वस्तुओं की तुलना आपको प्राप्त कुल वस्तुओं से कीजिए।]
(iii) मान लीजिए आपको 4 वस्तुओं की आवश्यकता है। बताइए कि आप किस दुकान का चयन करेंगे? और क्यों?
उत्तर:
(i) दुकान A में ₹100 देकर 2 वस्तुएँ मिलती हैं।
प्रति वस्तु प्रभावी मूल्य = ₹100 ÷ 2 = ₹50।
दुकान B में ₹200 देकर 4 वस्तुएँ मिलती हैं।
प्रति वस्तु प्रभावी मूल्य = ₹200 ÷ 4 = ₹50।
दुकान C में ₹300 देकर 4 वस्तुएँ मिलती हैं।
प्रति वस्तु प्रभावी मूल्य = ₹300 ÷ 4 = ₹75।
सस्ती से महँगी का क्रम: A = B < C।
(ii) दुकान A में छूट = 1/2 × 100 = 50%।
दुकान B में छूट = 2/4 × 100 = 50%।
दुकान C में छूट = 1/4 × 100 = 25%।
(iii) मैं दुकान A या दुकान B का चयन करूँगा।
दुकान A में दो बार “1 क्रय कीजिए और 1 नि:शुल्क पाइए” का लाभ लेने पर 4 वस्तुओं का मूल्य ₹200 होगा।
दुकान B में भी 4 वस्तुओं का मूल्य ₹200 होगा।
दुकान C में इन्हीं 4 वस्तुओं के लिए ₹300 देने होंगे।
इसलिए दुकान A और दुकान B, दोनों समान रूप से लाभदायक हैं।
14. 100 व्यक्तियों के कक्ष में 99% व्यक्ति बाएँ हाथ से कार्य करते हैं। बाएँ हाथ से कार्य करने वाले लोगों का प्रतिशत 98% तक लाने के लिए कितने व्यक्तियों को कक्ष से बाहर जाना होगा?
उत्तर:
शुरू में बाएँ हाथ से कार्य करने वाले व्यक्ति = 99।
दाएँ हाथ से कार्य करने वाला व्यक्ति = 1।
जब बाएँ हाथ से कार्य करने वाले 98% होंगे, तब दाएँ हाथ से कार्य करने वाले 2% होंगे। दाएँ हाथ से कार्य करने वाला 1 व्यक्ति कक्ष में ही रहेगा।
इसलिए शेष कुल व्यक्तियों का 2% = 1।
शेष कुल व्यक्ति = 1 × 100/2 = 50।
बाहर जाने वाले व्यक्ति = 100 − 50 = 50।
अतः बाएँ हाथ से कार्य करने वाले 50 व्यक्तियों को बाहर जाना होगा।
15. निम्नलिखित आलेख को देखिए।
बताइए कि आलेख के आधार पर निम्नलिखित में से कौन-सा या कौन-से कथन वैध हैं?
(i) सभी आयु वर्गों में 20–29 आयु वर्ग के लोग सर्वाधिक संगणक (computer) साक्षर हैं।
(ii) सभी आयु वर्गों में महिलाएँ संगणक की उपयोग की क्षमता में पिछड़ी हुई हैं।
(iii) किशोरों की अपेक्षा 20–29 आयु वर्ग के व्यक्ति अधिक हैं।
(iv) 30–39 आयु वर्ग के व्यक्तियों के एक चौथाई से अधिक व्यक्ति संगणक साक्षर हैं।
(v) 60 वर्ष और उससे अधिक आयु के 10 में से 1 से भी कम व्यक्ति संगणक का प्रयोग कर सकते हैं।
(vi) 20–29 आयु वर्ग के व्यक्तियों में से आधे लोग संगणक का प्रयोग कर सकते हैं।
उत्तर:
(i) महिलाओं और पुरुषों के प्रतिशतों की अलग-अलग तुलना करने पर यह कथन वैध है। 20–29 आयु वर्ग में महिलाओं का प्रतिशत 26% और पुरुषों का प्रतिशत 37% है। महिलाओं और पुरुषों, दोनों के लिए ये अपने-अपने वर्ग के सबसे अधिक प्रतिशत हैं।
(ii) वैध है। प्रत्येक आयु वर्ग में संगणक का उपयोग कर सकने वाली महिलाओं का प्रतिशत पुरुषों के प्रतिशत से कम है।
(iii) यह निष्कर्ष नहीं निकाला जा सकता। आलेख प्रतिशत बताता है, प्रत्येक आयु वर्ग में व्यक्तियों की कुल संख्या नहीं।
(iv) वैध नहीं है। इस आयु वर्ग में महिलाओं का प्रतिशत 14% और पुरुषों का प्रतिशत 25% है। इसलिए पूरे आयु वर्ग का प्रतिशत 25% से अधिक नहीं हो सकता। एक चौथाई का अर्थ 25% है।
(v) वैध है। वरिष्ठ आयु वर्ग में महिलाओं का प्रतिशत 2% और पुरुषों का प्रतिशत 4% है। दोनों 10% से कम हैं। अतः 10 में से 1 से भी कम व्यक्ति संगणक का प्रयोग कर सकते हैं।
(vi) वैध नहीं है। इस आयु वर्ग में महिलाओं का प्रतिशत 26% और पुरुषों का प्रतिशत 37% है। इसलिए दोनों को मिलाकर प्रतिशत भी 50% से कम होगा। इन दोनों प्रतिशतों को जोड़ना उचित नहीं है, क्योंकि दोनों अलग-अलग समूहों के प्रतिशत हैं।
अतः वैध कथन (i), (ii) और (v) हैं।
प्रतिशत, लाभ-हानि और ब्याज के प्रश्न हल करने के आसान तरीके
हल शुरू करने से पहले तय करें कि प्रतिशत किस राशि के आधार पर निकालना है। लाभ-हानि प्रतिशत क्रय मूल्य पर निकलता है, इसलिए ₹500 की बोरी ₹750 में बेचने पर लाभ 50% है, 33.33% नहीं। गुणक से गणना छोटी करें: 18% जीएसटी जोड़ना यानी 1.18 से गुणा, और 5% मूल्य ह्रास यानी 0.95 से गुणा। मानसिक गणना में प्रतिशत और संख्या की अदला-बदली से उत्तर नहीं बदलता, इसलिए 25 का 12% निकालना हो तो 12 का 25%, यानी 3, निकाल लें। हर प्रश्न पहले स्वयं हल करें, फिर भिन्न के विविध रूप के ऊपर दिए प्रश्न उत्तरों से मिलान करें। आगे अध्याय 2 के हल देखें, या सभी अध्यायों के लिए कक्षा 8 गणित के एनसीईआरटी समाधान पर जाएँ।
