एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित अध्याय 10 विविध प्रश्नावली

एक दीर्घवृत्त का समीकरण सरलतम होता है यदि दीर्घवृत्त का केंद्र मूल बिंदु पर हो और नाभियाँ x-अक्ष या y-अक्ष पर स्थित हों। दीर्घवृत्त, जिसकी नाभियाँ x-अक्ष पर स्थित हैं, का समीकरण व्युत्पन्न करेंगें।
मान लीजिए F₁ और F₂ नाभियाँ हैं और रेखाखंड F₁F₂ का मध्य बिंदु O है। मान लीजिए O मूल बिंदु है और O से F₂ की ओर धनात्मक x-अक्ष व O से F₁ की ओर ऋणात्मक x-अक्ष है। माना O से x-अक्ष पर लंब रेखा y-अक्ष है। F₁ के निर्देशांक (- c, 0) तथा F₂ के निर्देशांक (c, 0) मान लेते हैं।
मान लीजिए दीर्घवृत्त पर कोई बिंदु P (x, y) इस प्रकार है कि p से दोनों नाभियों की दूरियों का योग 2a है अर्थात्
PF₁ + PF₂ = 2a (1)

दूरी सूत्र के अनुसार
√{(x + c)² + y²} + √{(x – c)² + y²} = 2a
अर्थात् √{(x + c)² + y²} = 2a – √{(x – c)² + y²}
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं
(x + c)² + y² = 4a² – 4a√{(x – c)² + y²} + (x – c)² + y²
√{(x – c)² + y²} = a – (c/a)x
पुनः वर्ग करने व सरल करने पर हमें प्राप्त होता है:
x²/ a² + y²/( a² – c²) = 1
अर्थात् x²/ a² + y²/ b² = 1 (क्योंकि a² – c² = b²)
अतः दीर्घवृत्त पर कोई बिंदु x²/ a² + y²/ b² = 1 को संतुष्ट करता है।

दीर्घवृत्त की नाभियों से जाने वाली और दीर्घ अक्ष पर लंबवत रेखाखंड जिसके अंत्य बिंदु दीर्घवृत्त पर हों, को दीर्घवृत्त की नाभिलंब जीवा कहते हैं।
दीर्घवृत्त x²/ a² + y²/ b² = 1 की नाभिलंब जीवा ज्ञात करना
माना AF₂ की लंबाई l है तब A के निर्देशांक (c, l), अर्थात् (ae, l) है।
क्योंकि A, दीर्घवृत्त x²/ a² + y²/ b² = 1 पर स्थित है। इससे हमें प्राप्त होता हैः
(ae)²/ a² + l²/ b² = 1
⟹ l² = b² (1 – e²)
परन्तु
e² = c²/a² = (a² – b²)/a² = 1 – b²/a²
इसलिए, l² = b⁴/ a²
अर्थात् l = b²/a

उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसकी नाभियों के निर्देशांक (±5, 0) तथा शीर्षों के निर्देशांक (±13, 0) हैं।
हल:
क्योंकि दीर्घवृत्त का शीर्ष x-अक्ष पर स्थित है अतः इसका समीकरण x²/ a² + y²/ b² = 1 के अनुरूप होगा, जहाँ अर्ध-दीर्घ अक्ष की लंबाई a है। हमें ज्ञात है, कि, a = 13, c = ± 5.
अतः c² = a² – b² के सूत्र से हमें प्राप्त होता है, 25 = 169 – b² या b = 12
अतः दीर्घवृत्त का समीकरण
x²/ 169 + y²/ 144 = 1 है।

उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसके दीर्घ अक्ष की लंबाई 20 है तथा नाभियाँ (0, ±5) हैं।
हल:
क्योंकि नाभियाँ y-अक्ष पर स्थित हैं, इसलिए दीर्घवृत्त का समीकरण x²/ b² + y²/ a² = 1 के अनुरूप है।
दिया है a = अर्ध दीर्घवृत्त का अक्ष = 20/2 = 10
और सूत्र c² = a² – b² से प्राप्त होता है,
5² = 10² – b²
या b² = 75
अतः x²/ 75 + y²/ 100 = 1