एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 10.2

एक परवलय तल के उन सभी बिंदुओं का समुच्चय है जो एक निश्चित सरल रेखा और तल के एक निश्चित बिंदु (जो रेखा पर स्थित नहीं है) से समान दूरी पर है। निश्चित सरल रेखा को परवलय की नियता और निश्चित बिंदु F को परवलय की नाभि कहते हैं। परवलय की नाभि से जाने वाली तथा नियता पर लंब रेखा को परवलय का अक्ष कहा जाता है। परवलय का अक्ष जिस बिंदु पर परवलय को काटता है उसे परवलय का शीर्ष कहते हैं।
टिप्पणी:
यदि निश्चित बिंदु, निश्चित सरल रेखा पर स्थित हो तो तल के उन बिंदुओं का समुच्चय जो निश्चित बिंदु और निश्चित रेखा से समान दूरी पर हैं, निश्चित बिंदु से गुजरने वाली निश्चित रेखा पर लंबवत सरल रेखा होती है। हम इस सरल रेखा को परवलय की अपभ्रष्ट स्थिति कहते हैं।

परवलय का समीकरण सरलतम होता है यदि इसका शीर्ष मूल बिंदु पर हो और इसकी सममित अक्ष, x-अक्ष या y-अक्ष के अनुदिश होता है।
मान लीजिए परवलय पर कोई बिंदु P (x, y) इस प्रकार है कि
PF = PB (1)
यहाँ पर F परवलय की नाभि है जो x-अक्ष पर स्थित है तथा इसके निर्देशांक (a, 0) हैं। रेखा l परवलय की नियता है जिसका समीकरण x + a = 0, परवलय का शीर्ष मूलबिंदु पर है इस प्रकार नाभि से नियता की दूरी 2a है
जहाँ PB रेखा l पर लंब है। B के निर्देशांक (-a, y) हैं। दूरी सूत्र से हम पाते हैं
PF = √{(x – a)² + y²} और PB = √(x + a)²
क्योंकि PF = PB
इसलिए, √{(x – a)² + y²} = √(x + a)²
या (x – a)² + y² = (x + a)²
हल करने पर y² = 4ax (a > 0)
इस प्रकार परवलय पर कोई बिंदु समीकरण y² = 4ax को संतुष्ट करता है।
इस प्रकार, एक परवलय जिसका शीर्ष मूल बिंदु पर नाभि (a, 0) तथा नियता x = – a का समीकरण y² = 4ax होता है।

परवलय के प्रमाणिक समीकरण के निरीक्षण से निम्नांकित निष्कर्ष प्राप्त होते हैंः
1. परवलय, परवलय अक्ष के सापेक्ष सममित होता है। यदि परवलय के समीकरण में y² का पद है तो सममित, x-अक्ष के अनुदिश है और यदि समीकरण में x² का पद है तो सममित अक्ष, y-अक्ष के अनुदिश है।
2. यदि सममित अक्ष, x-अक्ष के अनुदिश हो और
(a) x का गुणांक धनात्मक हो तो परवलय दाईं ओर खुलता है।
(b) x का गुणांक ऋणात्मक हो तो परवलय बाईं ओर खुलता है।
3. यदि सममित अक्ष, y-अक्ष के अनुदिश हो और
(a) y का गुणांक धनात्मक हो तो परवलय ऊपर की ओर खुलता है।
(b) y का गुणांक ऋणात्मक हो तो परवलय नीचे की ओर खुलता है।

यदि एक परवलय का समीकरण y² = 8x है तो नाभि के निर्देशांक, अक्ष, नियता का समीकरण और नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल:
दिए समीकरण में y² का पद है इसलिए परवलय x-अक्ष के परितः सममित है।
क्योंकि समीकरण में पद x का गुणांक धनात्मक है इसलिए परवलय दाहिनी ओर खुलता है। दिए गए समीकरण
y² = 4ax, से तुलना करने पर, a = 2
अतः परवलय की नाभि (2, 0) है और परवलय की नियता का समीकरण x = – 2 है।
नाभिलंब जीवा की लंबाई 4a = 4 × 2 = 8

नाभि (2, 0) और नियता x = – 2 वाले परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
क्योंकि नाभि (2, 0) x-अक्ष पर है इसलिए x-अक्ष स्वयं परवलय का अक्ष है।
अतः परवलय का समीकरण y² = 4ax या y² = – 4ax के रूप में होना चाहिए क्योंकि नियता x = – 2 है और नाभि (2, 0) है, इसलिए परवलय का समीकरण y² = 4ax के रूप में है जहाँ a = 2.
अतः परवलय का अभीष्ट समीकरण y² = 4(2) x = 8x है।