एनसीईआरटी समाधान कक्षा 9 गणित प्रश्नावली 9.2

हम तीन बिन्दु A, B और C लें, जो एक रेखा पर स्थित न हों या दूसरे शब्दों में, वे संरेखी न हों। AB तथा BC के क्रमशः लम्ब समद्विभाजक PQ और RS खींचिए। मान लीजिए ये लम्ब समद्विभाजक एक बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं (ध्यान दीजिए कि PQ और RS परस्पर प्रतिच्छेद करेंगे, क्योंकि वे समांतर नहीं हैं)।
अब क्योंकि O, AB के लम्ब समद्विभाजक PQ पर स्थित है, इसलिए OA = OB है।

ध्यान दीजिए कि अध्याय 7 में सिद्ध किया गया है कि रेखाखंड के लम्ब समद्विभाजक का प्रत्येक बिन्दु उसके अंत बिन्दुओं से बराबर दूरी पर होता है।
इसी प्रकार, क्योंकि O, BC के लम्ब समद्विभाजक RS पर स्थित हैं, इसलिए आप पाते हैं कि
OB = OC

इसीलिए OA = OB = OC है, जिसका अर्थ है कि बिन्दु A, B और C बिन्दु O से समान दूरी पर हैं। अतः यदि आप O को केन्द्र तथा OA त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचे, तो वह B और B से भी होकर जाएगा। यह दर्शाता है कि तीन बिन्दुओं A, B और C से होकर जाने वाला एक वृत्त है। आप जानते हैं कि दो रेखाएँ (लम्ब समद्विभाजक) केवल एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद कर सकती हैं। दूसरे शब्दों में, A, B और C से होकर जाने वाला एक अद्वितीय वृत्त है। आपने अब निम्न प्रमेय को सिद्ध कर लिया।

नोट: उपरोक्त प्रमेय को पहले ही सिद्ध किया जा चुका है।
टिप्पणी:
यदि ABC एक त्रिभुज हो, तो प्रमेय से शीर्षों A, B और C से होकर एक अद्वितीय वृत्त खींचा जा सकता है। इस वृत्त को ∆ ABC का परिवृत्त कहते हैं। इसका केन्द्र तथा त्रिज्या क्रमशः त्रिभुज के परिकेन्द्र तथा परित्रिज्या कहलाते हैं।

एक वृत्त का चाप दिया हुआ है। इस वृत्त को पूरा कीजिए।
हल:
मान लीजिए एक वृत्त का चाप PQ दिया हुआ है। हमें वृत्त को पूरा करना है। इसका अर्थ है कि हमें इसका केन्द्र एवं त्रिज्या ज्ञात करनी है। चाप पर एक बिन्दु R लीजिए। PR तथा RQ को मिलाइए। इन्हीं केन्द्र तथा त्रिज्या को लेकर वृत्त को पूरा कीजिए।
केंद्र का निर्धारण करने के लिए चाप PQ और RQ पर लम्ब डालते हैं दोनों लम्ब को आगे बढ़ाने पर बिंदु O पर दोनों एक दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं। यह बिंदु वृत्त का केंद्र है तथा OP = OR वृत्त की त्रिज्या हैं। इन सबकी सहायता से वृत्त की रचना करते हैं जो कि बिंदु P, Q और R से होकर गुजरता है।

1. तीन असंरेखीय बिन्दुओं से जाने वाला एक और केवल एक वृत्त होता है।
2. एक वृत्त की (या सर्वांगसम वृत्तों की) बराबर जीवाएँ केन्द्र से (या संगत केन्द्रों से) समान दूरी पर होती हैं।