एनसीईआरटी समाधान कक्षा 9 गणित प्रश्नावली 7.2

विभिन्न गुणों के आधार पर त्रिभुजों का वर्गीकरण निम्न प्रकार से किया जा सकता है:
समद्विबाहु त्रिभुज
एक त्रिभुज जिसकी दो भुजाएँ बराबर हों समद्विबाहु त्रिभुज कहलाता है।

उपपत्ति
हमें एक समद्विबाहु ∆ ABC दिया है, जिसमें AB = AC है। हमें ∠B = ∠C सिद्ध करना है।
आइए ∠A का समद्विभाजक खींचे। मान लीजिए यह BC से D पर मिलता है।
अब ∆ BAD और ∆ CAD में
AB = AC (दिया है)
∠BAD = ∠CAD (रचना से)
AD = AD (उभयनिष्ठ)
अतः, ∆ BAD ≅ ∆ CAD (SAS नियम द्वारा)
इसलिए, ∠ABD = ∠ACD (CPCT)
अर्थात् ∠B = ∠C

(यह प्रमेय 7-2 का विलोम है।)
इस प्रमेय को ASA सर्वांगसमता नियम का प्रयोग करके सिद्ध कर सकते हैं। एक उदाहरण के माध्यम से इसको सिद्ध करने का प्रयास करते हैं।

उदाहरण:
∆ ABC में, ∠A का समद्विभाजक AD भुजा BC पर लम्ब है। दर्शाइए कि AB = AC है और ∆ ABC समद्विबाहु है।
अब ∆ ABD और ∆ ACD में
∠BAD = ∠CAD (दिया है)
AD =AD (उभयनिष्ठ)
∠ ADB = ∠ ADC = 90⁰ (दिया है)
अतः, ∆ ABD ≅ ∆ ACD (SAS नियम द्वारा)
इसलिए, AB = AC (CPCT)
इसी कारण ∆ ABC समद्विबाहु है।

स्मरणीय तथ्य:

1. दो आकृतियाँ सर्वांगसम होती हैं, यदि उनका एक ही आकार हो और एक ही माप हो।
2. समान त्रिज्याओं वाले दो वृत्त सर्वांगसम होते हैं।
3. समान भुजाओं वाले दो वर्ग सर्वांगसम होते हैं।
4. यदि त्रिभजु ABC आरै PQR सगंतता।A↔ P, B ↔ Q और C ↔ R के अंतर्गत सवार्गंसम हों तो उन्हें सांकेतिक रूप में ∆ ABC ≅ ∆ PQR लिखते हैं।
5. यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और अंतर्गत कोण दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और अंतर्गत कोण के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं (SAS सर्वांगसमता नियम)।