एनसीईआरटी समाधान कक्षा 7 गणित प्रश्नावली 6.5

एनसीईआरटी समाधान कक्षा 7 गणित प्रश्नावली 6.5 त्रिभुज और उसके गुण के सभी प्रश्नों के हल हिंदी और अंग्रेजी में सीबीएसई तथा राजकीय बोर्ड सत्र 2022-2023 के अनुसार संशोधित किया गया है। कक्षा 7 गणित अध्याय 6.5 के प्रश्नों के हल पीडीएफ तथा विडियो के माध्यम से सरल रूप में दिए गए हैं ताकि सभी छात्र आसानी से समझ सकें।

एनसीईआरटी समाधान कक्षा 7 गणित प्रश्नावली 6.5

समकोण त्रिभुज तथा पाइथागोरस गुण

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार एक समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। ∆ ABC में शीर्ष B पर समकोण बना है। अतः, AC इसका कर्ण है। AB तथा BC समकोण त्रिभुज ABC के दो पाद हैं।
अर्थात AC² = AB² + BC²
यदि किसी त्रिभुज पर पाइथागोरस गुण प्रयुक्त होता है, तभी वह एक समकोण त्रिभुज होगा।

पाइथागोरस गुण

एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल = पादों पर बने दोनों वर्गों के क्षेत्रफलों का योग
इसके अनुसार, किसी समकोण त्रिभुज में कर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल दोनों
पादों पर बने वर्गों के क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है। एक वर्गाकार कागज लेकर, उस पर एक समकोण त्रिभुज बनाइए। इसकी भुजाओं पर वर्गों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए और इस साध्य की व्यावहारिक रूप से जाँच कीजिए।
यदि कोई त्रिभुज, समकोण त्रिभुज है तब उस पर पाइथागोरस गुण प्रयुक्त होता है। अब यदि किसी त्रिभुज पर पाइथागोरस गुण सत्य है तो क्या यह एक समकोण त्रिभुज होगा? हाँ यह एक समकोण त्रिभुज होगा।
इस प्रक्रिया से पता चलता है कि पाइथागोरस गुण केवल तभी प्रयुक्त होता है जब कि त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज होगा।

अभ्यास के लिए प्रश्न उत्तर

एक त्रिभुज की भुजाएँ 3 cm, 4 cm तथा 5 cm लंबी हैं। निर्धारित कीजिए कि क्या वह एक समकोण त्रिभुज है?
हल:
3² = 3 × 3 = 9; 4² = 4 × 4 = 16; 5² = 5 × 5 = 25
हम देखते हैं कि 3² + 4² = 5²
अतः, यह त्रिभुज, एक समकोण त्रिभुज है।
ध्यान दीजिए: किसी भी समकोण त्रिभुज में कर्ण सबसे लंबी भुजा होती है। इस उदाहरण में 5 cm लंबी भुजा ही कर्ण है।

महत्वपूर्ण प्रश्नों के हल

∆ABC का C एक समकोण है। यदि AC = 5 cm तथा BC = 12 cm, तब AB की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल:
पाइथागोरस गुण से,
AB² = AC² + BC²
= 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²
अर्थात AB² = 13²
AB = 13
अर्थात AB की लम्बाई 13 cm है।

सार संकलन
1. समकोण त्रिभुज में समकोण के सामने वाली भुजा कर्ण तथा अन्य दोनों भुजाएँ उसके पाद कहलाती हैं।
2. पाइथागोरस गुण: एक समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग = उसके पादों के वर्गों का योग।
यदि एक त्रिभुज, समकोण त्रिभुज नहीं है तब यह गुण प्रयुक्त नहीं होता है। यह गुण इस बात को तय करने में उपयोगी होता है कि कोई दिया गया त्रिभुज समकोण त्रिभुज है या नहीं ।

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