एनसीईआरटी समाधान कक्षा 7 गणित प्रश्नावली 6.3

त्रिभुज के तीनों कोणों का आपस में संबंध दर्शाने वाला एक अद्भुत गुण है । इस गुण को आप निम्नलिखित चार क्रियाकलापों द्वारा देख व समझ पाएँगे।

1. एक त्रिभुज खींचिए। इसके तीनों कोणों को काटकर अलग-अलग कीजिए। ये तीनों कोण मिलकर एक कोण बनाते हैं । जिसकी माप 180° है। इस प्रकार, त्रिभुज के तीनों कोणों की मापों का योग 180° होता है।
2. कागज के एक टुकड़े से कोई एक त्रिभुज, जैसे ∆ABC काटिए। इस त्रिभुज को मोड़कर शीर्ष A से गुजरता हुआ शीर्षलंब AM निर्धारित कीजिए। अब इस त्रिभुज के तीनों कोनों को इस प्रकार मोडि़ए जिससे तीनों शीर्ष A, B तथा B बिदु M पर मिलें।
3. आप देखते हैं कि त्रिभुज के तीनों कोण मिलकर एक सरल कोण बनाते हैं। यह क्रियाकलाप पुनः दर्शाता है कि त्रिभुज के तीनों कोणों की मापों का योग 180° होता है।

त्रिभुज के तीनों कोणों की मापों का योग 180° होता है। इस तथ्य को स्थापित करने के लिए हम त्रिभुज के बाह्य कोण के गुण का उपयोग करते हैं ।
दिया है:
∆ ABC के तीन कोण ∠1, ∠2 तथा ∠3 हैं। ∠4 एक बाह्य कोण है जो भुजा BC को D तक बढ़ाने पर बनता है।
उपपति
∠1 + ∠2 = ∠4 (बाह्य कोण का गुण)
∠1 + ∠2 + ∠3 = ∠4 + ∠3 (दोनों पक्षों में ∠3 योग करने पर)
परंतु ∠4 तथा ∠3 एक रैखिक युग्म बनाते हैं। अतः, इनका योग 180° है। अर्थात् ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°
आइए, अब देखें कि त्रिभुज के कोणों के इस गुण को, विभिन्न समस्याएँ हल करने में हम कैसे उपयोग कर सकते हैं।

एक त्रिभुज के दो कोण 30° तथा 80° हैं । इस त्रिभुज का तीसरा कोण ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
माना त्रिभुज ABC में ∠A = 30° तथा ∠B = 80° है।
हम जानते हैं कि ∠A + ∠B + ∠C = 180° होता है।
इसलिए, ∠C = 180° – (∠A + ∠B)
= 180° – 30° + 80° = 180° – 110°
= 70°
इस प्रकार, तीसरा कोण C 70° का होगा।

उदाहरण:
किसी त्रिभुज PQR में ∠P की माप ज्ञात कीजिए यदि ∠Q = 47° तथा ∠R 52° हैं।
हल:
त्रिभुज के कोणों का योग गुण से m∠P + 47° + 52° = 180°
अतः m∠ P = 180° – 47° – 52° = 180° – 99° = 81°

किसी त्रिभुज का एक कोण 80° है तथा शेष दोनों कोण बराबर हैं। बराबर कोणों में प्रत्येक की माप ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
माना त्रिभुज PQR में ∠P = 80° है। शेष दोनों कोण बराबर हैं अर्थात ∠Q = ∠R
हम जानते हैं कि ∠P + ∠Q + ∠R = 180° होता है।
इस प्रकार 80° + 2 ∠Q = 180°
या 2 ∠Q = 180° – 80° = 100°
या Q = 100°/2 = 50°
इसलिए, कह सकते हैं कि ∠Q = ∠R = 50°

• 1. बाह्य कोण का एक गुण:
  त्रिभुज के बाह्य कोण की माप, उसके दो सम्मुख अंतःकोणों के योग के बराबर होती है।
• 2. त्रिभुज के कोणों के योग का गुण:
  एक त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।