एनसीईआरटी समाधान कक्षा 6 गणित प्रकाश अध्याय 3 संख्याओं का खेल

त्वरित लिंक:

• आइए, पता लगाएँ: पेज 57
• आइए, पता लगाएँ: पेज 59
• आइए, पता लगाएँ: पेज 60
• आइए, पता लगाएँ: पेज 64
• आइए, पता लगाएँ: पेज 66
• आइए, पता लगाएँ: पेज 69
• आइए, पता लगाएँ: पेज 72

कक्षा 6 गणित प्रकाश के पाठ 3 में महाकोष्ठ, विलोमाक्षर संख्याएँ, कापरेकर की जादुई संख्या, घड़ी और तिथिपत्र की संख्याएँ, मानसिक गणित, सरल आकलन और अब तक अनसुलझा कोलाट्ज अनुमान सम्मिलित हैं। प्रश्नों के हल सत्र 2026-27 की पुस्तक के अनुसार तर्क सहित दिए गए हैं।
कक्षा 6 गणित प्रकाश के पेज 57 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:

उत्तर:
किसी कोष्ठ की संख्या उसके बगल के सभी कोष्ठों की संख्याओं से बड़ी हो, तो वह महाकोष्ठ होता है।

6828 > 670, इसलिए 6828 वाला पहला कोष्ठ महाकोष्ठ है।
9435 > 670 और 9435 > 3780, इसलिए 9435 वाला कोष्ठ महाकोष्ठ है।
8000 > 7308 और 8000 > 5583, इसलिए 8000 वाला कोष्ठ महाकोष्ठ है।

इसलिए 6828, 9435 और 8000 वाले कोष्ठों को रंगेंगे। कुल 3 महाकोष्ठ हैं।

उत्तर:
सारणी को इस प्रकार भर सकते हैं-

8000, अपने दोनों पड़ोसियों 5346 और 1100 से बड़ा है।
1258, अपने दोनों पड़ोसियों 1100 और 1000 से बड़ा है।
9999, अपने एकमात्र पड़ोसी 9635 से बड़ा है।

इसलिए केवल रंगीन कोष्ठ ही महाकोष्ठ हैं। सभी भरी गई संख्याएँ चार अंकों की हैं।

उत्तर:
मैंने एक बड़ी संख्या के बाद एक छोटी संख्या रखी है। सारणी की शुरुआत और अंत में भी बड़ी संख्या रखी है।

यहाँ 900, 800, 700, 600 और 500 वाले कोष्ठ महाकोष्ठ हैं। सभी संख्याएँ 100 और 1000 के बीच हैं तथा कोई संख्या दोहराई नहीं गई है।

दो पास-पास के कोष्ठ महाकोष्ठ नहीं हो सकते, क्योंकि दोनों संख्याएँ एक-दूसरे से बड़ी नहीं हो सकतीं। इसलिए 9 कोष्ठों में अधिकतम 5 महाकोष्ठ बन सकते हैं।

उत्तर:
ऊपर भरी गई सारणी में 5 महाकोष्ठ हैं। ये पहले, तीसरे, पाँचवें, सातवें और नौवें स्थान पर हैं।

क्या आपको इनमें कोई पैटर्न दिखाई देता है? दी गई सारणी को भरने का वह कौन-सा तरीका होगा जिससे हमें अधिक से अधिक महाकोष्ठ प्राप्त हों? ढूँढ़िए और अपनी योजना को साझा कीजिए।

उत्तर:
दो महाकोष्ठों के बीच कम-से-कम एक छोटा कोष्ठ होना चाहिए। इसलिए बड़ी और छोटी संख्याओं को बारी-बारी रखने से सबसे अधिक महाकोष्ठ मिलते हैं।

उदाहरण के लिए, 4 कोष्ठों में अधिकतम 2, 5 कोष्ठों में 3, 6 कोष्ठों में 3 और 7 कोष्ठों में 4 महाकोष्ठ बन सकते हैं।

यदि कोष्ठों की संख्या सम हो, तो उसके आधे महाकोष्ठ बन सकते हैं। यदि कोष्ठों की संख्या विषम हो, तो उसमें 1 जोड़कर आधा करने पर अधिकतम महाकोष्ठों की संख्या मिलती है।

मेरी योजना है कि पहले कोष्ठ में बड़ी संख्या, दूसरे में छोटी, तीसरे में बड़ी और इसी तरह आगे संख्याएँ रखूँ।

उत्तर:
नहीं, ऐसा नहीं कर सकते।

सारणी में कोई एक संख्या सबसे बड़ी होगी। संख्याएँ दोहराई नहीं गई हैं, इसलिए यह संख्या अपने बगल की प्रत्येक संख्या से बड़ी होगी। उसका कोष्ठ महाकोष्ठ बनेगा।
अतः सारणी में कम-से-कम एक महाकोष्ठ अवश्य होगा।

उत्तर:
यहाँ हम संख्याओं को बिना दोहराए लिख रहे हैं। इसलिए सबसे बड़ी संख्या वाला कोष्ठ हमेशा महाकोष्ठ होगा, क्योंकि उसके सभी पड़ोसियों की संख्याएँ उससे छोटी होंगी।

सबसे छोटी संख्या वाला कोष्ठ महाकोष्ठ नहीं हो सकता, क्योंकि उसके बगल की संख्या उससे बड़ी होगी।

उत्तर:
सारणी को इस प्रकार भर सकते हैं-

इसमें सबसे बड़ी संख्या 500 और दूसरी सबसे बड़ी संख्या 400 है। 400 के बगल में उससे बड़ी संख्या 500 है। इसलिए 400 वाला कोष्ठ महाकोष्ठ नहीं है।

उत्तर:
हाँ, यह संभव है।

दूसरी सबसे बड़ी संख्या 400 है। उसके बगल में 500 है, इसलिए 400 वाला कोष्ठ महाकोष्ठ नहीं है।

दूसरी सबसे छोटी संख्या 200 है। उसे पहले कोष्ठ में रखा है। उसका केवल एक पड़ोसी 100 है और 200 > 100 है। इसलिए 200 वाला कोष्ठ महाकोष्ठ है।

उत्तर:
मैंने ये दो पहेलियाँ बनाईं—

(क) 100 से 1000 के बीच की 7 अलग-अलग संख्याओं से ऐसी सारणी बनाइए जिसमें 4 महाकोष्ठ हों।

इसका एक हल है—

इस सारणी में 900, 800, 700 और 600 वाले 4 कोष्ठ महाकोष्ठ हैं।

(ख) 10, 20, 30, 40, 50 और 60 को एक-एक बार लिखकर ऐसी सारणी बनाइए जिसमें 3 महाकोष्ठ हों।

इसका एक हल है—

इस सारणी में 60, 50 और 40 वाले 3 कोष्ठ महाकोष्ठ हैं।

कक्षा 6 गणित प्रकाश के पेज 59 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:

उपरोक्त अनुक्रमों में सबसे छोटी संख्या पर गोला लगाइए तथा सबसे बड़ी संख्या पर बॉक्स बनाइए।

उत्तर:
संख्या रेखा पर बराबर दूरी के दो निशानों के बीच संख्याओं का अंतर समान होता है। इसी अंतर से हम आगे की संख्याएँ जोड़कर और पीछे की संख्याएँ घटाकर लिखेंगे।

(a) 2010 और 2020 के बीच दो बराबर अंतर हैं। इसलिए हर अंतर का मान = (2020 − 2010) ÷ 2 = 5 है।
अनुक्रम: 1990, 1995, 2000, 2005, 2010, 2015, 2020, 2025, 2030, 2035।
सबसे छोटी संख्या 1990 और सबसे बड़ी संख्या 2035 है।

(b) 9997 − 9996 = 1। इसलिए हर अगली संख्या में 1 जोड़ेंगे।
अनुक्रम: 9993, 9994, 9995, 9996, 9997, 9998, 9999, 10,000, 10,001, 10,002।
सबसे छोटी संख्या 9993 और सबसे बड़ी संख्या 10,002 है।

(c) 15,078 − 15,077 = 1। इसलिए यहाँ भी हर अगली संख्या में 1 जोड़ेंगे।
अनुक्रम: 15,077, 15,078, 15,079, 15,080, 15,081, 15,082, 15,083, 15,084, 15,085, 15,086।
सबसे छोटी संख्या 15,077 और सबसे बड़ी संख्या 15,086 है।

(d) 87,705 − 86,705 = 1000। इसलिए हर अगली संख्या में 1000 जोड़ेंगे।
अनुक्रम: 83,705, 84,705, 85,705, 86,705, 87,705, 88,705, 89,705, 90,705, 91,705, 92,705।
सबसे छोटी संख्या 83,705 और सबसे बड़ी संख्या 92,705 है।

पूरी की गई संख्या रेखाओं में प्रत्येक अनुक्रम की सबसे छोटी संख्या पर गोला और सबसे बड़ी संख्या पर बॉक्स बनाया है।

कक्षा 6 गणित प्रकाश के पेज 60 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:

a. अन्य संख्याएँ लिखिए जिनके अंकों का योगफल 14 है।
b. वह सबसे छोटी संख्या कौन-सी है, जिसके अंकों का योगफल 14 है?
c. 5 अंकों की वह सबसे बड़ी संख्या कौन-सी है, जिसके अंकों का योगफल 14 है?
d. वह बड़ी से बड़ी कौन-सी संख्या बनाई जा सकती है, जिसके अंकों का योगफल 14 है? क्या आप इससे भी बड़ी संख्या बता सकते हैं?
उत्तर:
(a) ऐसी कुछ संख्याएँ 59, 77, 86, 95 और 149 हैं।
5 + 9 = 14
7 + 7 = 14
8 + 6 = 14
9 + 5 = 14
1 + 4 + 9 = 14

(b) सबसे छोटी संख्या 59 है।
एक अंक की संख्या के अंकों का योग अधिक से अधिक 9 हो सकता है। इसलिए हमें कम-से-कम दो अंकों की संख्या चाहिए।
दहाई का अंक 4 या उससे छोटा रखने पर, इकाई का अंक 9 रखने से भी योग 14 नहीं होगा। दहाई में 5 और इकाई में 9 रखने पर 5 + 9 = 14 मिलता है। इसलिए 59 सबसे छोटी संख्या है।

(c) पाँच अंकों की सबसे बड़ी संख्या 95,000 है।
सबसे बड़ा अंक 9 सबसे बाईं ओर रखेंगे। अब 14 − 9 = 5 बचता है। इसे अगले स्थान पर और बाकी स्थानों पर 0 रखेंगे।
जाँच: 9 + 5 + 0 + 0 + 0 = 14।

(d) ऐसी कोई सबसे बड़ी संख्या नहीं है।
उदाहरण के लिए, 59, 590, 5900 और 59,000 के अंकों का योग 14 है। किसी भी ऐसी संख्या के अंत में एक और 0 लगाने से उससे बड़ी संख्या मिलती है, जबकि अंकों का योग नहीं बदलता।

उत्तर:
हर संख्या के दोनों अंक जोड़ेंगे। जैसे, 46 के लिए 4 + 6 = 10 और 59 के लिए 5 + 9 = 14।
सारणी में n संख्या है और s उसके अंकों का योगफल है।

मैंने देखा कि एक ही दहाई वाली संख्याओं में हर अगली संख्या के अंकों का योग 1 बढ़ता है। जैसे, 40, 41 और 42 के लिए योग 4, 5 और 6 हैं।
जब इकाई का अंक 9 से 0 होता है, तो अंकों का योग 8 घट जाता है। जैसे, 49 के लिए योग 13 और 50 के लिए योग 5 है। यही बात 59 से 60 तथा 69 से 70 पर भी होती है।

उत्तर:
बढ़ते क्रम में क्रमागत अंकों वाली तीन अंकों की संख्याएँ 123, 234, 345, 456, 567, 678 और 789 हैं। इनके अंकों का योग इस प्रकार है। सारणी में n संख्या है और s उसके अंकों का योगफल है।

अंकों के योग 6, 9, 12, 15, 18, 21 और 24 हैं। हर अगला योग 3 बढ़ता है, क्योंकि तीनों अंक 1-1 बढ़ते हैं। हर योग बीच के अंक का 3 गुना भी है। जैसे, 345 में 3 + 4 + 5 = 12 और 4 × 3 = 12।
यह पैटर्न 789 तक चलता है। इसके बाद अगला अंक 10 होगा, जो एक अंक नहीं है। इसलिए इसी तरह की तीन अंकों की कोई अगली संख्या नहीं बनेगी।
इन सात संख्याओं का कुल योगफल 123 + 234 + 345 + 456 + 567 + 678 + 789 = 3192 है।

कक्षा 6 गणित प्रकाश के पेज 64 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:

a. सबसे बड़ी तथा सबसे छोटी संख्या का अंतर 5085 से अधिक हो।
b. सबसे बड़ी तथा सबसे छोटी संख्या का अंतर 5085 से कम हो।
c. सबसे बड़ी तथा सबसे छोटी संख्या का योगफल 9779 से अधिक हो।
d. सबसे बड़ी तथा सबसे छोटी संख्या का योगफल 9779 से कम हो।
उत्तर:
चुने हुए अंकों को घटते क्रम में रखने से सबसे बड़ी और बढ़ते क्रम में रखने से सबसे छोटी संख्या मिलेगी।

(a) मैंने 9, 8, 7 और 1 चुने।
सबसे बड़ी संख्या = 9871
सबसे छोटी संख्या = 1789
अंतर = 9871 − 1789 = 8082
8082 > 5085। इसलिए ये अंक सही हैं।

(b) मैंने 4, 3, 2 और 1 चुने।
सबसे बड़ी संख्या = 4321
सबसे छोटी संख्या = 1234
अंतर = 4321 − 1234 = 3087
3087 < 5085। इसलिए ये अंक सही हैं।

(c) मैंने 9, 8, 7 और 6 चुने।
सबसे बड़ी संख्या = 9876
सबसे छोटी संख्या = 6789
योगफल = 9876 + 6789 = 16,665 16,665 > 9779।
इसलिए ये अंक सही हैं।

(d) मैंने 4, 3, 2 और 1 चुने।
सबसे बड़ी संख्या = 4321
सबसे छोटी संख्या = 1234
योगफल = 4321 + 1234 = 5555
5555 < 9779। इसलिए ये अंक सही हैं।

उत्तर:
पैलिंड्रोम संख्या दोनों ओर से पढ़ने पर समान होती है।
पाँच अंकों का सबसे बड़ा पैलिंड्रोम = 99,999
पाँच अंकों का सबसे छोटा पैलिंड्रोम = 10,001

योगफल = 99,999 + 10,001 = 1,10,000
अंतर = 99,999 − 10,001 = 89,998

इसलिए उनका योगफल 1,10,000 और अंतर 89,998 होगा।

उत्तर:
10:01 के बाद अगला पैलिंड्रोम समय 11:11 है, क्योंकि 1111 दोनों ओर से पढ़ने पर समान है।
10:01 से 11:01 तक = 60 मिनट
11:01 से 11:11 तक = 10 मिनट
कुल समय = 60 + 10 = 70 मिनट

इसके बाद अगला पैलिंड्रोम समय 12:21 होगा। 11:11 से 12:21 तक भी 70 मिनट लगेंगे।

उत्तर:
हर चरण में अंकों से सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्या बनाकर, बड़ी में से छोटी संख्या घटाएँगे। जहाँ 0 आएगा, वहाँ भी चार स्थान पूरे रखेंगे।

चरण 1: 8653 − 3568 = 5085
चरण 2: 8550 − 0558 = 7992
चरण 3: 9972 − 2799 = 7173
चरण 4: 7731 − 1377 = 6354
चरण 5: 6543 − 3456 = 3087
चरण 6: 8730 − 0378 = 8352
चरण 7: 8532 − 2358 = 6174

इसलिए 5683 से कापरेकर स्थिरांक 6174 तक पहुँचने में 7 चरण लगेंगे।

कक्षा 6 गणित प्रकाश के पेज 66 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:

क्या आप दी गई सभी स्थितियों के लिए उपयुक्त उदाहरण खोज पाए? यदि नहीं, तो सोचिए और चर्चा कीजिए कि इसका क्या कारण हो सकता है? ऐसे ही कुछ और प्रश्न तैयार कीजिए एवं अपने सहपाठियों को चुनौती दीजिए।
उत्तर:
ऊपर की पंक्ति में बाएँ से दाएँ-

(i) 5 अंकों की दो संख्याओं का योग 5 अंकों का और 90,250 से अधिक:
50,000 + 45,000 = 95,000
95,000 पाँच अंकों की संख्या है और 90,250 से बड़ी है।

(ii) 5 अंकों और 3 अंकों की संख्याओं का योग 6 अंकों का:
99,500 + 500 = 1,00,000
इसलिए यह संभव है।

(iii) 4 अंकों की दो संख्याओं का योग 6 अंकों का:
यह संभव नहीं है। चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या 9999 है।
9999 + 9999 = 19,998, जो केवल पाँच अंकों की संख्या है। इसलिए छह अंकों का योग नहीं मिल सकता।

(iv) 5 अंकों की दो संख्याओं का योग 6 अंकों का:
60,000 + 50,000 = 1,10,000
इसलिए यह संभव है।

(v) 5 अंकों की दो संख्याओं का योग 18,500:
यह संभव नहीं है। पाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या 10,000 है।
10,000 + 10,000 = 20,000
सबसे छोटा संभव योग भी 18,500 से बड़ा है।

नीचे की पंक्ति में बाएँ से दाएँ—

(vi) 5 अंकों की दो संख्याओं का अंतर 56,503 से छोटा:
60,000 − 10,000 = 50,000
50,000 < 56,503। इसलिए यह संभव है।

(vii) 5 अंकों की संख्या में से 3 अंकों की संख्या घटाने पर 4 अंकों की संख्या:
10,000 − 123 = 9877
इसलिए यह संभव है।

(viii) 5 अंकों की संख्या में से 4 अंकों की संख्या घटाने पर 4 अंकों की संख्या:
15,000 − 6000 = 9000
इसलिए यह संभव है।

(ix) 5 अंकों की दो संख्याओं का अंतर 3 अंकों का:
10,123 − 10,000 = 123
इसलिए यह संभव है।

(x) 5 अंकों की दो संख्याओं का अंतर 91,500:
यह संभव नहीं है। सबसे बड़ा संभव अंतर पाने के लिए सबसे बड़ी संख्या में से सबसे छोटी संख्या घटाएँगे।
99,999 − 10,000 = 89,999
89,999 < 91,500। इसलिए 91,500 का अंतर नहीं मिल सकता।

मैंने अपने सहपाठियों के लिए ये दो प्रश्न बनाए-
• क्या तीन अंकों की दो संख्याओं को जोड़ने पर चार अंकों की संख्या मिल सकती है?
हाँ, 500 + 500 = 1000।
• क्या चार अंकों की संख्या में से तीन अंकों की संख्या घटाने पर तीन अंकों की संख्या मिल सकती है?
हाँ, 1000 − 200 = 800।

नीचे कुछ कथन दिए गए हैं। सोचिए, खोजिए और ज्ञात कीजिए कि क्या प्रत्येक कथन ‘हमेशा सत्य है’, ‘केवल कभी-कभी सत्य है’ ‘या कभी सत्य नहीं है’। आप ऐसा क्यों सोचते हैं? अपने तर्क लिखिए और कक्षा में चर्चा कीजिए।

a. 5 अंकों की संख्या + 5 अंकों की संख्या से प्राप्त होती है, एक 5 अंकों की संख्या।
b. 4 अंकों की संख्या + 2 अंकों की संख्या से प्राप्त होती है, एक 4 अंकों की संख्या।
c. 4 अंकों की संख्या + 2 अंकों की संख्या से प्राप्त होती है, एक 6 अंकों की संख्या।
d. 5 अंकों की संख्या − 5 अंकों की संख्या से प्राप्त होती है, एक 5 अंकों की संख्या।
e. 5 अंकों की संख्या − 2 अंकों की संख्या से प्राप्त होती है, एक 3 अंकों की संख्या।
उत्तर:
(a) केवल कभी-कभी सत्य है।
उदाहरण: 20,000 + 30,000 = 50,000, जो पाँच अंकों की संख्या है।
लेकिन 50,000 + 50,000 = 1,00,000, जो छह अंकों की संख्या है।

(b) केवल कभी-कभी सत्य है।
उदाहरण: 1000 + 10 = 1010, जो चार अंकों की संख्या है।
लेकिन 9999 + 99 = 10,098, जो पाँच अंकों की संख्या है।

(c) कभी सत्य नहीं है।
सबसे बड़ा संभव योग = 9999 + 99 = 10,098। यह भी पाँच अंकों का है। इसलिए छह अंकों की संख्या नहीं मिल सकती।

(d) केवल कभी-कभी सत्य है।
उदाहरण: 50,000 − 20,000 = 30,000, जो पाँच अंकों की संख्या है।
लेकिन 20,000 − 15,000 = 5000, जो चार अंकों की संख्या है।

(e) कभी सत्य नहीं है।
सबसे छोटा संभव अंतर = 10,000 − 99 = 9901। यह चार अंकों की संख्या है। इसलिए तीन अंकों की संख्या नहीं मिल सकती।

कक्षा 6 गणित प्रकाश के पेज 69 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:

अब हम कुछ सरल आकलन करेंगे। यह एक मनोरंजक अभ्यास है और इसके द्वारा आप अपने आस-पास की विभिन्न संख्याओं को जानकर प्रसन्न होंगे। याद रखिए, दिए गए प्रश्नों के लिए सही संख्या जानने में हमारी रुचि नहीं है। अपने आकलन के तरीके को कक्षा के साथ साझा कीजिए।

a. जिस स्थान पर आप बैठे हैं से लेकर कक्षा के दरवाजे तक
b. विद्यालय के मैदान के चारों ओर सिरे से सिरे तक
c. कक्षा के दरवाजे से विद्यालय के दरवाजे तक
d. आपके विद्यालय से आपके घर तक
उत्तर:
मैंने अपने एक सामान्य कदम की लंबाई लगभग आधा मीटर ली। इसलिए लगभग 1 मीटर चलने में मेरे 2 कदम लगते हैं।

a. मेरी सीट से कक्षा के दरवाजे की दूरी लगभग 5 मीटर है।
कदमों की संख्या ≈ 5 × 2 = 10 कदम।

b. विद्यालय के मैदान के चारों ओर एक चक्कर की दूरी लगभग 200 मीटर है।
कदमों की संख्या ≈ 200 × 2 = 400 कदम।

c. कक्षा के दरवाजे से विद्यालय के दरवाजे की दूरी लगभग 50 मीटर है।
कदमों की संख्या ≈ 50 × 2 = 100 कदम।

d. मेरे विद्यालय से मेरे घर की दूरी लगभग 1 किलोमीटर, अर्थात् 1000 मीटर है।
कदमों की संख्या ≈ 1000 × 2 = 2000 कदम।

a. एक मिनट में
b. एक घंटे में
c. एक दिन में
उत्तर:
मैंने अपनी साँसों की संख्या का आकलन किया।

a. एक मिनट में मैंने लगभग 16 साँसें गिनीं।

b. 1 घंटे में 60 मिनट होते हैं। इसी दर से,
एक घंटे में साँसों की संख्या ≈ 16 × 60 = 960।

c. 1 दिन में 24 घंटे होते हैं। इसी दर से,
एक दिन में साँसों की संख्या ≈ 960 × 24 = 23,040।

ये मेरी अनुमानित संख्याएँ हैं। खेलने, आराम करने और सोने के समय मेरी साँस लेने की गति बदल जाती है।

a. कुछ हजार है
b. दस हजार से अधिक है
उत्तर:
a. मेरे विद्यालय के पुस्तकालय में लगभग 3000 पुस्तकें हैं। यह संख्या कुछ हजार है।

b. हमारे विद्यालय के भवन में लगी ईंटों की संख्या दस हजार से अधिक है। भवन की बहुत-सी दीवारों में हजारों ईंटें लगी हैं।

कक्षा 6 गणित प्रकाश के पेज 72 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:

उत्तर:
बीच की संख्या 62,871 में 6 और 1 की अदला-बदली करेंगे। इससे नई संख्या 12,876 बनेगी।

अब 39,344, 23,609, 45,306 और 50,319 चारों महाकोष्ठ हैं। प्रत्येक संख्या अपने ठीक ऊपर, नीचे, दाएँ और बाएँ वाले पड़ोसी कोष्ठों की संख्याओं से बड़ी है। तिरछे वाले कोष्ठों को पड़ोसी नहीं गिनेंगे।

उदाहरण के लिए, 23,609 के पड़ोसी 16,200, 12,876 और 19,381 हैं। 23,609 इन तीनों से बड़ा है। इसी प्रकार बाकी तीन चिह्नित कोष्ठ भी महाकोष्ठ हैं।

उत्तर:
मेरा जन्म वर्ष 2015 है। हर चरण में इन्हीं चार अंकों से सबसे बड़ी और सबसे छोटी व्यवस्था बनाकर बड़ी संख्या में से छोटी संख्या घटाऊँगा। चार स्थान बनाए रखने के लिए आवश्यक होने पर शुरुआत में 0 भी लिखूँगा।

चरण 1: 5210 − 0125 = 5085
चरण 2: 8550 − 0558 = 7992
चरण 3: 9972 − 2799 = 7173
चरण 4: 7731 − 1377 = 6354
चरण 5: 6543 − 3456 = 3087
चरण 6: 8730 − 0378 = 8352
चरण 7: 8532 − 2358 = 6174

इस प्रकार, मैं 7 चरणों में कापरेकर स्थिरांक 6174 पर पहुँच गया।

उत्तर:
विषम अंक 1, 3, 5, 7 और 9 हैं। हमें केवल इन्हीं अंकों का उपयोग करना है।

सबसे बड़ी संख्या: 73,999।
पहला अंक 7 लेने पर दूसरा अंक 5 नहीं ले सकते, क्योंकि तब संख्या 75,000 से बड़ी हो जाएगी। इसलिए दूसरा अंक 3 और बाकी अंक 9 लेंगे।

सबसे छोटी संख्या: 35,111।
संख्या 35,000 से बड़ी होनी चाहिए। इसलिए शुरुआत 35 से करके शेष स्थानों पर सबसे छोटा विषम अंक 1 रखेंगे।

50,000 के सबसे निकट संख्या: 51,111।
50,000 से अधिक सबसे छोटी ऐसी संख्या 51,111 है। 50,000 से कम सबसे बड़ी ऐसी संख्या 39,999 है।
51,111 − 50,000 = 1111
50,000 − 39,999 = 10,001

1111 छोटा अंतर है। इसलिए 51,111 सबसे निकट है।

उत्तर:
मेरे विद्यालय में शनिवार और रविवार की छुट्टी रहती है।
52 सप्ताहों में सप्ताहांत की छुट्टियाँ ≈ 52 × 2 = 104 दिन।
मैंने इनके अलावा गर्मी-सर्दी की छुट्टियों और त्योहारों के लिए लगभग 56 दिन जोड़े।
कुल अनुमान ≈ 104 + 56 = 160 दिन।

विद्यालय के कैलेंडर में गिनने पर मुझे 104 सप्ताहांत के दिन, इनके अतिरिक्त 38 दिन की गर्मी-सर्दी की छुट्टियाँ और 16 अन्य छुट्टियाँ मिलीं। मैंने एक ही दिन को दो बार नहीं गिना।
कुल छुट्टियाँ = 104 + 38 + 16 = 158 दिन।

मेरे अनुमान और गिनती में केवल 160 − 158 = 2 दिनों का अंतर है। इसलिए मेरा अनुमान सही संख्या के बहुत समीप है।

उत्तर:
मेरे घर के बर्तनों और टंकी की क्षमता का मेरा आकलन है—

जग: लगभग 2 लीटर।
बाल्टी: लगभग 15 लीटर।
छत पर रखी पानी की टंकी: लगभग 1000 लीटर।

जग में कुछ गिलास पानी आता है, बाल्टी में कई जग पानी आता है और टंकी में बहुत-सी बाल्टियों जितना पानी आता है। इसलिए उनकी क्षमताओं में इतना अंतर है।

उत्तर:
मैंने तीन अंकों की संख्याएँ 500 और 170 लीं।
इनका योग = 500 + 170 = 670।
अब 18,670 − 670 = 18,000, जो पाँच अंकों की संख्या है।

इसलिए एक सही उत्तर है—
18,000 + 500 + 170 = 18,670।

उत्तर:
मैंने 300 चुना। यह 210 और 390 के बीच है।
मैंने बीच में 100 और उसके चारों ओर आठ स्थानों पर 25 लिखा।

आठ बार 25 का योग = 8 × 25 = 200।
पूरे पैटर्न का योग = 100 + 200 = 300।
इस प्रकार मेरा पैटर्न चुना हुआ योगफल देता है।

उत्तर:
2 की घातों का अनुक्रम है:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, …

इसमें 1 के अलावा हर संख्या सम है। किसी भी संख्या को आधा करने पर इस अनुक्रम की ठीक पिछली संख्या मिलती है। बार-बार आधा करने पर अंत में 1 मिलेगा।

उदाहरण: 32 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1।
इसलिए 2 की किसी भी घात से शुरू करने पर कोलाट्ज के नियम से हम 1 तक पहुँच जाते हैं।

उत्तर:
सम संख्या को आधा करेंगे। विषम संख्या को 3 से गुणा करके उसमें 1 जोड़ेंगे।

100 → 50 → 25 → 76 → 38 → 19 → 58 → 29 → 88 → 44 → 22 → 11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

उदाहरण के लिए, 25 विषम है, इसलिए 3 × 25 + 1 = 76। फिर 76 सम है, इसलिए उसका आधा 38 है।

इस प्रकार 100 से शुरू करने पर भी हम 1 तक पहुँच जाते हैं। इसलिए इस संख्या के लिए कोलाट्ज अनुमान सही है।

उत्तर:
पहला खिलाड़ी सही युक्ति से हमेशा जीत सकता है।

पहली बारी में वह 2 जोड़े। इसके बाद उसकी हर बारी के अंत में योग ये संख्याएँ होना चाहिए—
2, 6, 10, 14, 18, 22।

हर दो बारी में कुल 4 जोड़ना है। इसलिए—
दूसरा खिलाड़ी 1 जोड़े, तो पहला खिलाड़ी 3 जोड़े।
दूसरा खिलाड़ी 2 जोड़े, तो पहला खिलाड़ी भी 2 जोड़े।
दूसरा खिलाड़ी 3 जोड़े, तो पहला खिलाड़ी 1 जोड़े।

इस तरह पहला खिलाड़ी 18 तक पहुँच जाएगा। उसके बाद दूसरा खिलाड़ी 19, 20 या 21 तक ही पहुँच सकता है। पहला खिलाड़ी आवश्यक 3, 2 या 1 जोड़कर 22 पर पहुँच जाएगा और जीत जाएगा।

अध्याय 3 में मानसिक गणित और आकलन के कुछ प्रश्न प्रतिदिन हल करें तथा अलग-अलग अंकों वाली किसी चार अंकीय संख्या से कापरेकर की प्रक्रिया करके देखें कि उत्तर 6174 तक कैसे पहुँचता है। शेष अध्यायों के समाधान कक्षा 6 गणित एनसीईआरटी समाधान पृष्ठ पर क्रमवार उपलब्ध हैं।