एनसीईआरटी समाधान कक्षा 12 गणित अध्याय 4 प्रश्नावली 4.4

इस अनुच्छेद में हम एक आव्यूह के व्युत्क्रम के अस्तित्व के लिए शर्तों की भी व्याख्या करेंगे। A⁻¹ ज्ञात करने के लिए पहले हम एक आव्यूह का सहखंडज परिभाषित करेंगे।

परिभाषा: एक वर्ग आव्यूह A = [aᵢⱼ], का सहखंडज, आव्यूह Aᵢⱼ के परिवर्त के रूप में परिभाषित है, जहाँ Aᵢⱼ अवयव aᵢⱼ का सहखंड है। आव्यूह A के सहखंडज को adj A के द्वारा व्यक्त करते हैं।

नोट:
2 × 2 कोटि के वर्ग आव्यूह A का सहखंडज adj A, a₁₁ और a₂₂ को परस्पर बदलने एवं a₁₂ और a₂₁ के चिह्न परिवर्तित कर देने से भी प्राप्त किया जा सकता है।

सारणिक प्रमेय 1:
यदि A कोई n कोटि का आव्यूह है तो A(adj A) = (adj A) A = ।A। I जहाँ I, n कोटि का तत्समक आव्यूह है।

एक वर्ग आव्यूह A अव्युत्क्रमणीय कहलाता है यदि ।A। = 0 है। उदाहरण के लिए आव्यूह A का सारणिक शून्य है। अतः A अव्युत्क्रमणीय है।

एक वर्ग आव्यूह A व्युत्क्रमणीय कहलाता है यदि ।A। ≠ 0

सारणिक प्रमेय 2:
यदि A तथा B दोनों एक ही कोटि के व्युत्क्रमणीय आव्यूह हों तो AB तथा BA भी उसी कोटि के व्युत्क्रमणीय आव्यूह होते हैं।

सारणिक प्रमेय 3:
आव्यूहों के गुणनफल का सारणिक उनके क्रमशः सारणिकों के गुणनफल के समान होता है अर्थात् ।AB। = ।A। ।B। जहाँ A तथा B समान कोटि के वर्ग आव्यूह हैं।

नोट:
व्यापक रूप से, यदि n कोटि का वर्ग आव्यूह A हो तो (adj A) = ।A।ⁿ ⁻ ¹ होगा।

सारणिक प्रमेय 4:
एक वर्ग आव्यूह A के व्युत्क्रम का अस्तित्व है, यदि और केवल यदि A व्युत्क्रमणीय आव्यूह है।

उपपत्ति
मान लीजिए n कोटि का व्युत्क्रमणीय आव्यूह A है और n कोटि का तत्समक आव्यूह I है। तब n कोटि के एक वर्ग आव्यूह B का अस्तित्व इस प्रकार हो ताकि AB = BA = I
अब AB = I है तो ।AB। = ।I। या ।AB। = 1 (क्योंकि ।I। = 1, ।AB। = ।A। ।B।)
इससे प्राप्त होता है ।A। ≠ 0 अतः A व्युत्क्रमणीय है।