एनसीईआरटी समाधान कक्षा 12 गणित अध्याय 4 प्रश्नावली 4.2

हमने पिछली कक्षाओं में सीखा है कि एक त्रिभुज जिसके शीर्षबिदु (x₁, y₁), (x₂, y₂) तथा (x₃, y₃) हों तो उसका क्षेत्रफल व्यंजक ½ [x₁ (y₂–y₃) + x₂ (y₃–y₁) + x₃ (y₁–y₂)], द्वारा व्यक्त किया जाता है। त्रिभुज का क्षेत्रफल सारणीक के माध्यम से भी ज्ञात किया जा सकता है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते समय ध्यान रखें:

• (i) क्योंकि क्षेत्रफल एक धनात्मक राशि होती है इसलिए हम सदैव (∆) में सारणिक का निरपेक्ष मान लेते हैं।
• (ii) यदि क्षेत्रफल दिया हो तो गणना के लिए सारणिक का धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मानों का प्रयोग कीजिए।
• (iii) तीन संरेख बिदुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होगा।

उदाहरण के लिए बिंदुओं A(1, 3) और B (0, 0) को मिलाने वाली रेखा का समीकरण निम्नलिखित विधि से ज्ञात कर सकते हैं।
मान लीजिये AB पर कोई बिंदु P (x, y) है इनसे निर्मित त्रिभुज ∆ का क्षेत्रफल होगा
½ (y – 3x) = 0
या y = 3x
जो अभीष्ट रेखा AB का समीकरण है।

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष A (3, 8), B (-4, 2) और C (5, 1) हैं।
हल:
त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ [3 (2 – 1) – 4 (1 – 8) + 5 (8 – 2)]
= ½ [3 x 1 + 4 x -7 + 5 x 6]
= ½ [3 – 28 + 30]
= ½ [61]
= 61/2

नोट:
सारणीक के माध्यम से त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सारणीक को 3 x 3 का बनाते हैं। C₁ औए C₂ दिए गए दिए गए बिंदुओं से प्राप्त होते हैं तथा C₃ को इकाई के रूप में लिखते हैं। इसके लिए C₃ का मान (1, 1, 1) लेते हैं।

यदि शीर्ष (2, -6), (5, 4) और (k, 4) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 35 वर्ग इकाई हो तो k का मान हैः
∆ का क्षेत्रफल = ½ [x₁ (y₂–y₃) + x₂ (y₃–y₁) + x₃ (y₁–y₂)]
= ½ [2 (4 – 4) + 5 (4 + 6) + k (- 6 – 4)]
= ½ [2 x 0 + 5x 10 + k x – 10)]
= ½ (0 + 50 -10 k) = 35 (दिया गया है)
इसलिए 50 – 10 क = 70
10 k = – 20
या k = – 2
अतः कह सकते है कि k के मान – 2 के लिए त्रिभुज का क्षेत्रफल 35 इकाई होगा