एनसीईआरटी समाधान कक्षा 12 गणित अध्याय 4 प्रश्नावली 4.3

एनसीईआरटी समाधान कक्षा 12 गणित अध्याय 4 प्रश्नावली 4.3 सारणिक अभ्यास के प्रश्नों के हल विस्तार से यहाँ से प्राप्त किए जा सकते हैं। कक्षा 12 गणित के ये समाधान सीबीएसई सत्र 2023-24 के पाठ्यक्रम के अनुसार संशोधित किए गए हैं ताकि छात्र नवीनतम पाठ्यक्रम के अनुसार पढ़ाई कर सकें। प्रश्नों के हल हिंदी और अंग्रेजी मीडियम में दिए गए हैं जिन्हें पीडीएफ और विडियो की मदद से प्रस्तुत किया गया है।

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उपसारणिक और सहखंड

परिभाषा 1:
सारणिक के अवयव aᵢⱼ का उपसारणिक एक सारणिक है जो i वी पंक्ति और j वाँ स्तंभ जिसमें अवयव aᵢⱼ स्थित है, को हटाने से प्राप्त होता है। अवयव aᵢⱼ के उपसारणिक को Mᵢⱼ के द्वारा व्यक्त करते हैं।

नोट:
n (n ≥ 2) क्रम के सारणिक के अवयव का उपसारणिक n – 1 क्रम का सारणिक होता है।

परिभाषा 2:
एक अवयव aᵢⱼ का सहखंड जिसे Aᵢⱼ द्वारा व्यक्त करते हैं, जहाँ Aᵢⱼ = (- 1)i+j Mᵢⱼ के द्वारा परिभाषित करते हैं जहाँ aᵢⱼ का उपसारणिक Mᵢⱼ है।

सारणिक के उदाहरण

एक सारणीक के अवयव a₁₁ = 1, a₁₂ = -2, a₂₁ = 4 और a₂₂ = 3 हैं इसके सभी अवयवों के उपसारणीक तथा सह्खंड ज्ञात कीजिए।

उदाहरण का हल

अवयव aᵢⱼ का उपसारणीक Mᵢⱼ है।
यहाँ a₁₁ = 1, है इसलिए M₁₁ = a₁₁ का उपसारणीक = 3
M₁₂ = a₁₂ का उपसारणीक = 4
M₂₁ = a₂₁ का उपसारणीक = – 2
M₂₂ = a₂₂ का उपसारणीक = 1

अब aᵢⱼ का सह्खंड Aᵢⱼ है इसलिए
A₁₁ = (- 1)¹ ⁺ ¹ M₁₁ = (- 1)² (3) = 3
A₁₂ = (- 1)¹ ⁺ ² M₁₂ = (- 1)³ (4) = – 4
A₂₁ = (- 1) ² ⁺ ¹ M₂₁ = (- 1)³ (- 2) = 2
A₂₂ = (- 1) ² ⁺ ² M₂₂ = (- 1)⁴ (1) = 1

नोट:
यदि एक पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों को अन्य पंक्ति (या स्तंभ) के सहखंडों से गुणा किया जाए तो उनका योग शून्य होता है।

सारणिक के बारे में स्मरणीय तथ्य
    • 1. दिए गए आव्यूह A के सारणिक के एक अवयव aᵢⱼ का उपसारणिक, i वीं पंक्ति और j वां स्तंभ हटाने से प्राप्त सारणिक होता है और इसे Mᵢⱼ द्वारा व्यक्त किया जाता है।
    • 2. aᵢⱼ का सहखंड Aᵢⱼ = (-1)I + j Mᵢⱼ द्वारा दिया जाता है।
    • 3. A के सारणिक का मान ।A। = a₁₁ A₁₁ + a₁₂ A₁₂ + a₁₃ A₁₃ है और इसे एक पंक्ति या स्तंभ के अवयवों और उनके संगत सहखंडों के गुणनफल का योग करके प्राप्त किया जाता है।
    • 4. यदि एक पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों और अन्य दूसरी पंक्ति (या स्तंभ) के सहखंडों की गुणा कर दी जाए तो उनका योग शून्य होता है।
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