एनसीईआरटी समाधान कक्षा 12 गणित अध्याय 4 प्रश्नावली 4.3

परिभाषा 1:
सारणिक के अवयव aᵢⱼ का उपसारणिक एक सारणिक है जो i वी पंक्ति और j वाँ स्तंभ जिसमें अवयव aᵢⱼ स्थित है, को हटाने से प्राप्त होता है। अवयव aᵢⱼ के उपसारणिक को Mᵢⱼ के द्वारा व्यक्त करते हैं।

नोट:
n (n ≥ 2) क्रम के सारणिक के अवयव का उपसारणिक n – 1 क्रम का सारणिक होता है।

परिभाषा 2:
एक अवयव aᵢⱼ का सहखंड जिसे Aᵢⱼ द्वारा व्यक्त करते हैं, जहाँ Aᵢⱼ = (- 1)i+j Mᵢⱼ के द्वारा परिभाषित करते हैं जहाँ aᵢⱼ का उपसारणिक Mᵢⱼ है।

एक सारणीक के अवयव a₁₁ = 1, a₁₂ = -2, a₂₁ = 4 और a₂₂ = 3 हैं इसके सभी अवयवों के उपसारणीक तथा सह्खंड ज्ञात कीजिए।

अवयव aᵢⱼ का उपसारणीक Mᵢⱼ है।
यहाँ a₁₁ = 1, है इसलिए M₁₁ = a₁₁ का उपसारणीक = 3
M₁₂ = a₁₂ का उपसारणीक = 4
M₂₁ = a₂₁ का उपसारणीक = – 2
M₂₂ = a₂₂ का उपसारणीक = 1

अब aᵢⱼ का सह्खंड Aᵢⱼ है इसलिए
A₁₁ = (- 1)¹ ⁺ ¹ M₁₁ = (- 1)² (3) = 3
A₁₂ = (- 1)¹ ⁺ ² M₁₂ = (- 1)³ (4) = – 4
A₂₁ = (- 1) ² ⁺ ¹ M₂₁ = (- 1)³ (- 2) = 2
A₂₂ = (- 1) ² ⁺ ² M₂₂ = (- 1)⁴ (1) = 1

नोट:
यदि एक पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों को अन्य पंक्ति (या स्तंभ) के सहखंडों से गुणा किया जाए तो उनका योग शून्य होता है।

• 1. दिए गए आव्यूह A के सारणिक के एक अवयव aᵢⱼ का उपसारणिक, i वीं पंक्ति और j वां स्तंभ हटाने से प्राप्त सारणिक होता है और इसे Mᵢⱼ द्वारा व्यक्त किया जाता है।
• 2. aᵢⱼ का सहखंड Aᵢⱼ = (-1)I + j Mᵢⱼ द्वारा दिया जाता है।
• 3. A के सारणिक का मान ।A। = a₁₁ A₁₁ + a₁₂ A₁₂ + a₁₃ A₁₃ है और इसे एक पंक्ति या स्तंभ के अवयवों और उनके संगत सहखंडों के गुणनफल का योग करके प्राप्त किया जाता है।
• 4. यदि एक पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों और अन्य दूसरी पंक्ति (या स्तंभ) के सहखंडों की गुणा कर दी जाए तो उनका योग शून्य होता है।