एनसीईआरटी समाधान कक्षा 12 गणित अध्याय 3 प्रश्नावली 3.4
एनसीईआरटी समाधान कक्षा 12 गणित अध्याय 3 प्रश्नावली 3.4 आव्यूह के सवाल जवाब सीबीएसई सत्र 2024-25 के लिए यहाँ दिए गए हैं। 12वीं कक्षा के अभ्यास 3.4 में विद्यार्थी आव्यूह का व्युत्क्रम प्राप्त करना सीखते हैं। इसे हम प्रारंभिक रूपांतरण के माध्यम से करते हैं। विद्यार्थी व्युत्क्रम प्राप्त करने के लिए एक्सरसाइज 3.4 के विडियो समाधान की मदद ले सकते हैं जिसमें इसे आसान तरीके से समझाया गया है।
कक्षा 12 गणित प्रश्नावली 3.4 के लिए एनसीईआरटी समाधान
कक्षा 12 गणित अध्याय 3 प्रश्नावली 3.4 आव्यूह एनसीईआरटी समाधान
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आव्यूहों के योग के गुणधर्म
आव्यूहों के योग की संक्रिया निम्नलिखित गुणधर्मों (नियमों) को संतुष्ट करती हैः
क्रम-विनिमेय नियम
यदि A = [aᵢⱼ] तथा B = [bᵢⱼ] समान कोटि m × n, वाले आव्यूह हैं, तो A + B = B + A होगा।
अब A + B = [aᵢⱼ] + [bᵢⱼ] = [aᵢⱼ + bᵢⱼ] = [bᵢⱼ + aᵢⱼ], (संख्याओं का योग क्रम-विनिमेय है।)
= [bᵢⱼ] + [aᵢⱼ] = B + A
साहचर्य नियम
समान कोटि m × n वाले किन्हीं भी तीन आव्यूहों A = [aᵢⱼ], B = [bᵢⱼ], C = [cᵢⱼ] के लिए
(A + B) + C = A + (B + C)
अब (A + B) + C = ([aᵢⱼ] + [bᵢⱼ]) + [cᵢⱼ] = [aᵢⱼ + bᵢⱼ] + [cᵢⱼ] = [(aᵢⱼ + bᵢⱼ) + cᵢⱼ]
= [aᵢⱼ + (bᵢⱼ + cᵢⱼ)] = [aᵢⱼ] + [(bᵢⱼ + cᵢⱼ)] = [aᵢⱼ] + ([bᵢⱼ] + [cᵢⱼ]) = A + (B + C)
योग के तत्समक का अस्तित्व
मान लीजिए कि
A = [aᵢⱼ], एक m × n आव्यूह है और O एक m × n शून्य आव्यूह है, तो A + O = O + A = A होता है। दूसरे शब्दों में, आव्यूहों के योग संक्रिया का तत्समक शून्य आव्यूह O है।
योग के प्रतिलोम का अस्तित्व
मान लीजिए कि A = [aᵢⱼ]m × n एक आव्यूह है, तो एक अन्य आव्यूह – A = [– aᵢⱼ]m × n इस प्रकार का है कि A + (– A) = (– A) + A= O, अतएव आव्यूह – A आव्यूह A का योग के अंतर्गत प्रतिलोम आव्यूह अथवा ऋण आव्यूह है।
एक आव्यूह के अदिश गुणन के गुणधर्म
यदि A = [aᵢⱼ] तथा B = [bᵢⱼ] समान कोटि m × n वाले दो आव्यूह हैं और k तथा l अदिश हैं, तो
(i) k (A +B) = k A + kB,
k (A + B) = k ([aᵢⱼ] + [bᵢⱼ])
= k [aᵢⱼ + bᵢⱼ] = [k (aᵢⱼ + bᵢⱼ)] = [(k aᵢⱼ) + (k bᵢⱼ)]
= [k aᵢⱼ] + [k bᵢⱼ] = k [aᵢⱼ] + k [bᵢⱼ] = kA + kB
(ii) (k + l) A = k A + l A
= (k + l) [aᵢⱼ]
= [(k + l) aᵢⱼ] = [k aᵢⱼ] + [l aᵢⱼ] = k [aᵢⱼ] + l [aᵢⱼ] = k A + l A.
