एनसीईआरटी समाधान कक्षा 12 गणित अध्याय 3 प्रश्नावली 3.3

इस अनुच्छेद में हम आव्यूहों पर कुछ संक्रियाओं को प्रस्तुत करेंगे जैसे आव्यूहों का योग, किसी आव्यूह का एक अदिश से गुणा, आव्यूहों का व्यवकलन तथा गुणा के बारे में सीखेंगे.

दो आव्यूहों का योगफलए प्रदत्त आव्यूहों के संगत अवयवों को जोड़ने से प्राप्त होने वाला आव्यूह होता है। इसके अतिरिक्त, योग के लिए दोनों आव्यूहों को समान कोटि का होना चाहिए।
व्यापक रूप से, मान लीजिए कि A = [aᵢⱼ]ₘₙ तथा B = [bᵢⱼ]ₘₙ, दो समान कोटि, m × n वाले आव्यूह हैं तो A तथा B दोनों आव्यूहों का योगफल, आव्यूह C = [cᵢⱼ]ₘₙ द्वारा परिभाषित होता है, जहाँ cᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ, i तथा j के सभी संभव मानों को व्यक्त करता है।

ध्यान दें:
1. हम इस बात पर बल देते हैं कि यदि A तथा B समान कोटि वाले आव्यूह नहीं हैं तो A + B परिभाषित नहीं है।
2. हम देखते हैं कि आव्यूहों का योग, समान कोटि वाले आव्यूहों के समुच्चय में द्विआधारी संक्रिया का एक उदाहरण है।

किसी आव्यूह के एक अदिश से गुणन को, निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित करते हैं।
यदि A = [aᵢⱼ]ₘₙ एक आव्यूह है तथा k एक अदिश है तो kA एक ऐसा आव्यूह है जिसे A के प्रत्येक अवयव को अदिश k से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।

दूसरे शब्दों में,
kA = k[aᵢⱼ]ₘₙ = [k(aᵢⱼ)]ₘₙ
अर्थात् kA का (i, j)वाँ अवयव, i तथा j के हर संभव मान के लिए, kᵢⱼ होता है।

किसी आव्यूह A का ऋण आव्यूह –A से निरूपित होता है। हम –A को –A = (–1)A द्वारा परिभाषित करते हैं।

यदि A = [aᵢⱼ]ₘₙ तथा B = [bᵢⱼ]ₘₙ समान कोटि m × n वाले दो आव्यूह हैं तो इनका अंतर A – B, एक आव्यूह D = [dᵢⱼ]ₘₙ,, जहाँ i तथा j के समस्त मानों के लिए dᵢⱼ = aᵢⱼ – bᵢⱼ, द्वारा परिभाषित होता है।

दूसरे शब्दों में,
D = A – B
= A + (-B),
अर्थात् आव्यूह A तथा आव्यूह -B का योगफल।