एनसीईआरटी समाधान कक्षा 12 गणित अध्याय 2 विविध प्रश्नावली

(i) sin⁻¹ x + cos⁻¹ x = π/2, x ∈ [-1, 1]
(ii) tan⁻¹ x + cot⁻¹ x = π/2, x ∈ R
(iii) cosec⁻¹ x + sec⁻¹ x = π/2, ।x। ≥ 1

पहले परिणाम को सिद्ध करने के लिए हम sin⁻¹ x = y मान लेते हैं, अर्थात, sin y = x = cos (π/2 – y)
इसलिए cos⁻¹ x = (π/2 – y) = π/2 – sin⁻¹ x
अतः sin⁻¹ x + cos⁻¹ x = π/2
sin⁻¹ 1/x = cosec⁻¹ x
इसी प्रकार अन्य भागों को भी सिद्ध कर सकते हैं।

(i) tan⁻¹ x + tan⁻¹ y = tan⁻¹ (x + y)/(1 – xy), xy < 1 (ii) tan⁻¹ x - tan⁻¹ y = tan⁻¹ (x - y)/ (1 + xy), xy > -1
(iii) tan⁻¹ x + tan⁻¹ y = π + tan⁻¹ (x + y)/ (1 – xy), xy > 1, x > 0, y > 0

पहले परिणाम को सिद्ध करने के लिए मान लीजिये कि tan⁻¹ x = θ और tan⁻¹ y = ∅
तो x = tan θ तथा y = tan ∅
अब tan (θ + ∅) = (tan θ + tan ∅)/ (1 – tan θtan ∅) = (x + y)/(1 – xy)
अतः (θ + ∅) = tan⁻¹ (x + y)/(1 – xy)

इस प्रकार, tan⁻¹ x + tan⁻¹ y = tan⁻¹ (x + y)/(1 – xy),
उपर्युक्त परिणाम में यदि y को –y प्रतिस्थापित करें तो हमें दूसरा परिणाम प्राप्त होता है और y को x से प्रतिस्थापित करने से तीसरा परिणाम परिणाम प्राप्त होता है।

(i) 2tan⁻¹ x = sin⁻¹ 2x / (1 + x²), ।x। ≤ 1
(ii) 2tan⁻¹ x = cos⁻¹ (1 – x²) / (1 + x²), x ≥ 0
(iii) 2tan⁻¹ x = tan⁻¹ 2x / (1 – x²), -1< x < 1

मान लीजिये कि tan⁻¹ x = y, तो x = tan y
अब, sin⁻¹ 2x /(1 + x²) = 2tan y / (1 + tan² y)
= sin⁻¹ (sin 2y) = 2y = 2tan⁻¹ x
इसी प्रकार हम शेष दो भागों को भी सिद्ध कर सकते हैं।