एनसीईआरटी समाधान कक्षा 12 गणित अध्याय 2 प्रश्नावली 2.1

किसी फलन f का प्रतीक f⁻¹ द्वारा निरूपित प्रतिलोम फलन का अस्तित्व केवल तभी है यदि f एकैकी तथा आच्छादक हो। त्रिकोणमितीय फलन अपने स्वाभाविक (सामान्य) प्रांत और परिसर में एकैकी तथा आच्छादक नहीं होते हैं और इसलिए उनके प्रतिलोमों का अस्तित्व नहीं होता है।

त्रिकोणमितीय फलन सम्बन्धी आधारभूत संकल्पनाएँ जो निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित हैं:
sine फलन, अर्थात्, sin : R ⟶ [-1, 1]
cosine फलन, अर्थात्, cos : R ⟶ [-1, 1]
tangent फलन, अर्थात्, tan : R – {x : x = (2n + 1)π/2, n ∈ Z} ⟶ R
cotangent फलन, अर्थात्, cot : R – {x : x = n π, n ∈ Z} ⟶ R
secant फलन, अर्थात्, sec : R – {x : x = (2n + 1)π/2, n ∈ Z} ⟶ R – [-1, 1]
cosecant फलन, अर्थात्, cosec : R – {x : x = n π, n ∈ Z} ⟶ R – [-1, 1]

प्रतिलोम फलन की परिभाषा द्वारा, यह निष्कर्ष निकलता है कि sin (sin⁻¹x) = x, यदि -1 ≤ x ≤ 1 तथा sin⁻¹ (sin x) = x यदि –π/2 ≤ x ≤ π/2 है। दूसरे शब्दों में, यदि y = sin⁻¹x हो तो sin y = x होता है।

फलन के प्रांत और परिसर

1. sin⁻¹ : [-1, 1] ⟶ [-π/2, π/2]
2. cos⁻¹ : [-1, 1] ⟶ [0, π]
3. cosec⁻¹ : R – (-1, 1) ⟶ [-π/2, π/2] – {0}
4. sec⁻¹ : R – (-1, 1) ⟶ [0, π] – { π/2}
5. tan⁻¹ : R ⟶ [-π/2, π/2]
6. cot⁻¹ : R ⟶ [0, π]

त्रिकोणमितीय फलनों के सम्बन्ध निम्नलिखित हैं:

• 1. tan x = sin x/ cos x
• 2. cot x = cos x/ sin x
• 3. sec x = 1 / cos x
• 4. cosec x = 1 / sin x

कक्षा 12 गणित अध्याय 2 प्रश्नावली 2.1 के कुछ स्मरणीय तथ्य:

• 1. sin⁻¹ x से (sin x)⁻¹ की भ्रान्ति नहीं होनी चाहिए। वास्तव में (sin x)⁻¹ = 1/ sin x और इसी प्रकार यह तथ्य अन्य त्रिकोणमितीय फलनों के लिए सत्य होता है।
• 2. किसी प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का वह मान, जो उसकी मुख्य शाखा में स्थित होता है, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का मुख्य मान कहलाता है।