एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 3.6

हम ऐसे समीकरणों के युग्मों के बारे में चर्चा करेंगे जो रैखिक नहीं है, परंतु कुछ उपयुक्त प्रतिस्थापनों द्वारा इन्हें रैखिक समीकरणों के रूप में बदला जा सकता है। इस प्रक्रिया को कुछ उदाहरणों द्वारा समझाएँगे।

उदाहरण
समीकरणों के निम्न युग्म को हल कीजिए:
2/x + 3/y = 13
5/x – 4/y = -2

दिए गए समीकरणों के युग्म को इस प्रकार से लिखते हैं:
2(1/x) + 3(1/y) = 13 (1)
5(1/x) – 4(1/y) = -2 (2)
ये समीकरण ax + by + c= 0 के रूप में नहीं हैं। परंतु, यदि हम समीकरण (1) और (2) में, 1/x = p आयर 1/y = q प्रतिस्थापित करें, तो हम पाते हैंः
2p + 3q = 13 (3)
5p – 4q = -2 (4)

अतः, समीकरणों को रैखिक समीकरणों के युग्म के रूप में व्यक्त कर दिया है। अब इन्हें किसी भी विधि से हल करके p = 2, q = 3 प्राप्त कर सकते हैं।
यहाँ p = 1/x और q = 1/y है
इसलिए, 1/x = 2 और 1/y = 3
अर्थात् x = ½ और y = 1/3

सत्यापन:
दोनों समीकरणों में x = ½ तथा y = 1/3 रखने पर, हम पाते हैं कि दोनों समीकरण संतुष्ट हो जाते हैं।
इसे एक और व्यवहारिक उदाहरण से समझने कि कोशिश करते हैं:

एक नाव 10 घंटे में धारा के प्रतिकूल 30 km तथा धारा के अनुकूल 44 km जाती है। 13 घंटे में वह 40 km धारा के प्रतिकूल एवं 55 km धारा के अनुकूल जाती है। धारा की चाल तथा नाव की स्थिर पानी में चाल ज्ञात कीजिए।

माना नाव की स्थिर जल में चाल x km/h है तथा धारा की चाल y km/h है। साथ ही, नाव की धारा के अनुकूल चाल = (x + y) km/h तथा नाव की धारा के प्रतिकूल चाल = (x – y) km/h होगी।
साथ ही, समय = दूरी/चाल
प्रथम स्थिति में, जब नाव 30 km धारा के प्रतिकूल चलती है, माना घंटों में लिया गया समय
ज1 है। तबचाल
प्रथम स्थिति में, जब नाव 30 शउ धारा के प्रतिकूल चलती है, माना घंटों में लिया गया समय t₁ है। तब
t₁ = 30/(x – y)
माना t₂ घंटों में वह समय है जिसमें नाव 44 km धारा के अनुकूल चलती है। तब, t₂ = 44/(x + y) है। कुल लगा समय t₁ + t₂, 10 घंटा है। अतः, हमें समीकरण मिलता हैः
30/(x – y) + 44/(x + y) = 10 (1)

दूसरी स्थिति में, 13 घंटों में वह 40 km धारा के प्रतिकूल और 55 km धारा के अनुकूल चलती है। हम इससे समीकरण प्राप्त करते हैं:
40/(x – y) + 55/(x + y) = 13 (2)
उपरोक्त समीकरणों को रैखिक समीकरणों के युग्म के रूप में व्यक्त करने के लिए
1/(x – y) = u और 1/(x + y) = v (3)
30u + 44v = 10 या 30u + 44v – 10 = 0 (4)
40u + 55v = 13 या 40u + 55v – 13 = 0 (5)

समीकरण 3 और 4 को हल करने पर u = 1/5, v = 1/11
अब u, v के इन मानों को समीकरणों (3) में रखने पर, हम पाते हैं:
1/(x – y) = 1/5
और 1/(x + y) = 1/11
अर्थात् x – y = 5 और x + y = 11 (6)
x और y के सापेक्ष समीकरण को हल करने पर
x = 8, y = 3
उत्तर के सत्यापन्न के लिए x और y के मान समीकरण 1 और 2 में रखकर जांच कर सकते हैं।